М.Л. Сердобольская - Методы функционального анализа в задачах редукции (учебное пособи (1183905), страница 4
Текст из файла (страница 4)
е. равенствоy ⊥ = Ax1 = Ax2 возможно при x1 6= x2 . Однако легко понять, что в этом случаес необходимостью x1 − x2 ∈ N (A). Таким образом, если мы теперь применим0⊥0разложение (2.1) к элементам x1,2 ∈ D(A) и напишем x1 = x⊥1 + x1 и x2 = x2 + x2 ,то⊥00x1 − x2 = (x⊥1 − x2 ) + (x1 − x2 ) ∈ N (A)=⇒⊥x⊥1 − x2 = 0.Другими словами, для любого y ⊥ ∈ R(A) все его прообразы в D(A) имеют однуи ту же составляющую x⊥ ∈ N ⊥ (A) ∩ D(A). При этом, разумеется, имеет месторавенство y ⊥ = A(x⊥ + x0 ) = Ax⊥ .e найдутся единственные составляюТаким образом, для любого элемента y ∈ Dщие y 0 ∈ N (A∗ ) и y = y ⊥ ∈ R(A) такие, что y = y ⊥ + y 0 , а для каждого y ⊥ ∈ R(A)существует единственный элемент x⊥ ∈ N ⊥ (A) ∩ D(A) такой, что y ⊥ = Ax⊥ .
В результате соответствие y 7→ x⊥ задаёт оператор.Определение. Оператор A− , заданный на множествеe = R(A) ⊕ N (A∗ ) = R(A) ⊕ R⊥ (A)Dравенством x⊥ = A− y, называется псевдообратным к оператору A.18(2.2)Напишем ещё раз цепочку равенств, задающих действие псевдообратного оператора: для y ∈ R(A) ⊕ N (A∗ )A− y = A− (y ⊥ + y 0) = A− (Ax + y 0 ) = A− (A(x⊥ + x0 ) + y 0) = x⊥ ,(2.3)где y ⊥ ∈ R(A) y 0 ∈ N (A∗ ), x ∈ D(A), x⊥ ∈ N ⊥ (A) ∩ D(A) и x0 ∈ N (A).2.2. Простейшие свойства псевдообратного оператора.
Приведем свойства, вытекающие непосредственно из определения псевдообратного оператора.Свойство 1.Оператор A− линеен, плотно определён и замкнут.Доказательство. Покажем линейность. Множество D(A− ) = R(A) ⊕ N (A∗ )e поскольку R(A) и N (A∗ ) суть линейные многоесть линейное многообразие в R,0−образия. Предположим, что элементы y1,2 = Ax⊥1,2 + y1,2 ∈ D(A ). Тогда в силулинейности подпространств R(A), N ⊥ (A), N (A∗ ) и линейности оператора A⊥00A− (α1 y1 + α2 y2 ) = A− (α1 Ax⊥1 + α2 Ax2 ) + (α1 y1 + α2 y2 ) =⊥00= A− A(α1 x⊥1 + α2 x2 ) + (α1 y1 + α2 y2 ) ,Разложение элемента α1 y1 + α2 y2 в сумму ортогональных слагаемых единственно,поэтому составляющие этого элемента, которые лежат в R(A) и N (A∗ ), суть со⊥00ответственно A(α1 x⊥1 + α2 x2 ) и α1 y1 + α2 y2 .
В силу единственности соответствияR(A) 7→ N ⊥ (A) ∩ D(A)⊥−−A− (α1 y1 + α2 y2 ) = α1 x⊥1 + α2 x2 = α1 A y1 + α2 A y2 ,и оператор A− линейный.Покажем, что оператор A− плотно определён. Рассмотрим произвольный элеe и разложим его в соответствии с представлением Re = R(A) ⊕ N (A∗ )мент y ∈ Rкак y = y ⊥ + y 0 , y ⊥ ∈ R(A). Найдется последовательность {Axn }n такая, чтоy ⊥ = lim Axn . Положим yn = Axn + y 0 , тогда в силу ортогональности слагаемыхмы имеемky − yn k2 = ky ⊥ − Axn k2 → 0,yn = Axn + y 0 ∈ D(A− ),e сколь угодно точно приближается элементами из D(A− ),т.
е. любой элемент y ∈ Reи D(A− ) плотно в пространстве R.Покажем замкнутость оператора A− : выведем, что условия {yn } ⊂ D(A− )и hyn , A− yn i → hy, xi влекут hy, xi ∈ Γ(A− ), т. е. y ∈ D(A− ) и x = A− y.19Итак, пусть yn → y и A− yn → x. Выполним разложения элементов yn ∈ D(A− ),e и x ∈ R по ортогональным составляющим:y∈R0yn = Ax⊥n + yn ,y = y ⊥ + y 0,x = x⊥ + x0 ,⊥0∗x⊥n ∈ N (A) ∩ D(A), yn ∈ N (A ),y ⊥ ∈ R(A),x⊥ ∈ N ⊥ (A),y 0 ∈ N (A∗ )x0 ∈ N (A).Тогда в силу сходимостей yn → y и A− yn = x⊥n → x получаем⊥ 200 2kyn − yk2 = kAx⊥n − y k + kyn − y k → 0,2⊥⊥ 20 2kA− yn − xk2 = kx⊥n − xk = kxn − x k + kx k → 0,⊥⊥⊥000следовательно, x⊥n → x , Axn → y и x = 0 (кроме того, разумеется, yn → y , ноэто в данном случае не имеет значения).
Первые две из указанных сходимостей⊥⊥⊥могут быть записаны как hx⊥n , Axn i → hx , y i. В силу замкнутости оператора Aотсюда следует, что что x⊥ ∈ D(A) и y ⊥ = Ax⊥ . Таким образом, предельныйэлемент y = Ax⊥ + y 0 ∈ D(A− ) и x⊥ ∈ N ⊥ (A) ∩ D(A), поэтому A− y = x⊥ =x − x0 = x. Замкнутость псевдообратного оператора доказана.Свойство 2.Нуль-пространство и пространство значений оператора A− сутьN (A− ) = N (A∗),R(A− ) = N ⊥ (A) ∩ D(A).(2.4)Доказательство. Рассмотрим первое равенство.
Если y ∈ N (A∗ ), то в силуединственности разложения y = y ⊥ + y 0 следует написать y = A0 + y, где нулевойэлемент, очевидно, принадлежит N ⊥ (A) ∩ D(A), что означает A− y = 0. Такимобразом, N (A∗ ) ⊂ N (A− ). С другой стороны, пусть A− y = 0 для некоторогоy ∈ R(A) ⊕ N (A∗ ), тогда y = Ax⊥ + y 0, причём x⊥ = A− y = 0.
Таким образом,y = y 0 ∈ N (A∗ ) и N (A− ) ⊂ N (A∗ ). Первое равенство доказано.Докажем второе равенство. Включение R(A− ) ⊂ N ⊥ (A) ∩ D(A) вытекает непосредственно из определения оператора A− . Покажем обратное включение. Пустьэлемент x ∈ N ⊥ (A) ∩ D(A), тогда Ax ∈ R(A) ⊂ D(A− ), и на Ax можно подействовать псевдообратным оператором. Но в этом случае A− Ax = A− (Ax + 0) = x,поскольку x принадлежит N ⊥ (A). Таким образом, x есть результат действия оператора A− на элемент Ax, т. е. x ∈ R(A− ).Свойство 3.Имеют место операторные равенстваAA− A = A,A− AA− = A− .20(2.5)Доказательство.
Прежде всего докажем, что D(AA− A) = D(A), т. е. для любого x ∈ D(A) определен элемент AA− Ax. Имеем для x ∈ D(A) цепочку включенийAx ∈ R(A) ⊂ D(A− ) = R(A) ⊕ N (A∗ ),A− Ax ∈ R(A− ) = N ⊥ (A) ∩ D(A) ⊂ D(A).Далее для любого x ∈ D(A) проведем стандартное разложение x = x⊥ + x0 , гдеx⊥ ∈ N ⊥ (A) ∩ D(A), тогда Ax = Ax⊥ . С другой стороны, A− Ax = A− Ax⊥ = x⊥по определению псевдообращения, следовательно, AA− Ax = Ax⊥ = Ax. Первоеравенство в (2.5) доказано. Перейдём к доказательству второго равенства.Снова начнём с доказательства совпадения областей D(A− AA− ) = D(A).
Пустьy ∈ D(A− ), тогда A− y ∈ N ⊥ (A) ∩ D(A) ⊂ D(A), следовательно, определён элементAA− y ∈ R(A). Но R(A) ⊂ R(A) ⊕ N (A∗ ) = D(A− ), поэтому существует A− AA− y,тем самым D(A− AA− ) = D(A− ). Запишем разложение y = Ax⊥ + y 0, в которомy 0 ∈ N (A∗ ) = N (A− ) (см. свойство 2). ТогдаA− y = A− (Ax⊥ + y 0 ) = x⊥ ,AA− y = Ax⊥ ,A− AA− y = A− Ax⊥ = x⊥по определению псевдообратного оператора.
Итак, A− y = A− AA− y = x⊥ для любого y ∈ D(A− ), и мы получаем второе соотношение в (2.5).Свойство 4.Оператор AA− есть ортогональный проектор на R(A); оператор A− A естьортогональный проектор на R(A∗ ).Доказательство. Покажем, что оператор AA− ограничен на D(A− ). Разложимпроизвольный элемент y ∈ R(A) ⊕ N (A∗ ) на соответствующие ортогональныесоставляющие: y = y ⊥ + y 0 = Ax + y 0 . В силу включения y 0 ∈ N (A∗ ) = N (A− )и равенств (2.5) мы имеемAA− y = AA− (Ax + y 0) = AA− Ax = Ax,следовательно,kyk2 = kAxk2 + ky 0k2 = kAA− yk2 + ky 0k2 > kAA− yk2 .Таким образом, kAA− yk 6 kyk для любого y ∈ D(A− ).
Отсюда вытекает ограниченность оператора AA− . Замкнём данный оператор по непрерывности: дляe найдём последовательность {yn } ⊂ D(A− ), сходящуюся клюбого y ∈ D(A− ) = Ry, и положим AA− y = lim AA− yn . При этом можно записатьy = y⊥ + y0,0yn = Ax⊥n + yn ,y ⊥ ∈ R(A),⊥x⊥n ∈ N (A) ∩ D(A),21y 0 ∈ N (A∗ ),yn0 ∈ N (A∗ ),причем, очевидно, имеет место сходимость по каждой из ортогональных состав⊥−⊥ляющих: Ax⊥и yn0 → y 0. C другой стороны, A− yn = x⊥n → yn и AA yn = Axn ,поэтому для любого y ∈ Rdef⊥AA− y = lim AA− yn = lim Ax⊥n = y ,n→∞n→∞где y ⊥ — составляющая элемента y в R(A). Это как раз и означает, что AA− естьортогональный проектор на R(A).Аналогично, для любого x ∈ D(A), записав разложение x = x⊥ + x0 , имеемA− Ax = A− Ax⊥ = x⊥ , следовательно, kA− Axk2 = kx⊥ k2 = kxk2 − kx0 k2 6 kxk2 ,поэтому оператор A− A ограничен на D(A).
Доопределим его по непрерывности(замкнём). Для любого x ∈ R пишем разложение x = x⊥ + x0 и приближаемсоставляющую x⊥ ∈ N ⊥ (A) элементами xn ∈ N ⊥ (A) ∩ D(A) = R(A− ). Тогдаxn = A− yn при некотором yn ∈ D(A− ). В силу равенства A− AA− = A− получаемdefA− Ax = lim A− A(xn + x0 ) = lim (A− AA− yn + 0) = lim A− yn = x⊥ .n→∞n→∞n→∞Таким образом, оператор A− A есть ортогональный проектор на N ⊥ (A) = R(A∗ ).Свойство доказано.Вычитая получившиеся проекторы из единичных операторов, действующихe и любогов соответствующих пространствах, получаем, что для любого y ∈ Rx∈R(I˜ − AA− )y = y − y ⊥ = y 0 ,(I − A− A )x = x − x⊥ = x0 ;здесь и далее через I и I˜ мы обозначаем единичные операторы в пространствахe соответственно.
Таким образом, оператор I − AA− = I − AA− есть ортоRиRгональный проектор на N (A∗ ) = R⊥ (A), а I − A− A = I − A− A — ортогональныйпроектор на N (A).e то существует сопряжённый операторВспомним, что если A ∈ CL(R 7→ R),e 7→ R). Таким образом, можно построить и оператор (A∗ )− ,A∗ , причём A∗ ∈ CL(Rпсевдообратный к A∗ . Применяя свойство 4 к оператору A∗ и его псевдообратному, получаем, что (A∗ )− A∗ — ортогональный проектор на R(A∗ ), следовательно,AA− = (A∗ )− A∗ , потому что оба этих оператора проецируют на одно и то жеподпространство.
Аналогичные равенства можно записать и для всех остальныхпроекторов. Сведём все получившиеся результаты в таблицу.22ОртогональныйпроекторПространство,на которое он проецируетAA−A− A(A∗ )− A∗A∗ (A∗ )−R(A)R(A∗ )R(A)R(A∗ )I˜ − AA−I − A− AI˜ − (A∗ )− A∗I − A∗ (A∗ )−N (A∗ )N (A)N (A∗ )N (A)Заметим, что если снять операцию замыкания с операторов в левом столбцетаблицы, то AA− , A− A, (A∗ )− A∗ и A∗ (A∗ )− также будут ортогональными проекторами на своих областях определения D(A− ), D(A), D(A∗ ) и D(A∗ )− соответствен-но.
Так, например, AA− y = y ⊥ для любого y ∈ D(A− ) = R(A) ⊕ N (A∗ ), где y ⊥ —составляющая элемента y в R(A); для любого x ∈ D(A) мы имеем A− Ax = x⊥ ,где x⊥ — составляющая элемента x, лежащая в N ⊥ (A) ∩ D(A). Перепишем нашутаблицу для операторов, определённых на незамкнутых линейных многообразиях.ОператорОбластьопределенияМногообразие,на которое он проецируетAA−A− A(A∗ )− A∗A∗ (A∗ )−R(A) ⊕ N (A∗ )D(A)D(A∗ )R(A∗ ) ⊕ N (A)R(A)N ⊥ (A) ∩ D(A)N ⊥ (A∗ ) ∩ D(A∗ )R(A∗ )I˜ − AA−I − A− AI˜ − (A∗ )− A∗I − A∗ (A∗ )−R(A) ⊕ N (A∗ )D(A)D(A∗ )R(A∗ ) ⊕ N (A)R⊥ (A)N (A)N (A∗)R⊥ (A∗ )e 7→ R) по свойству 1, поэтому существуетТеперь заметим, что A− ∈ CL(Rоператор (A− )− .
Прежде чем доказывать, что он совпадает c A, покажем, чтоимеют место следующие равенства для линейных многообразий:R⊥ (A− ) = N (A),R(A− )− = R(A).(2.6)Мы имеем в силу общих свойств ортогонального дополнения и свойства 2R⊥ (A− ) = R(A− )⊥= N ⊥ (A) ∩ D(A)23⊥.(2.7)При этомN ⊥ (A) ∩ D(A) = N ⊥ (A).(2.8)В самом деле, если x ∈ N ⊥ (A) ∩ D(A), то x = lim xn , где xn ∈ N ⊥ (A) ∩ D(A),следовательно, xn ∈ N ⊥ (A) и x = lim xn ∈ N ⊥ (A). У замкнутого оператора про-странство нулей замкнуто, поэтому мы показали, что из x ∈ N ⊥ (A) ∩ D(A) следует x ∈ N (A).
Верно и обратное, если x ∈ N ⊥ (A), то этот элемент, как и любойэлемент из R, может быть представлен как x = lim xn , где xn ∈ D(A), поскольку0⊥⊥D(A) плотно в R. Напишем разложение xn = x⊥n + xn , где xn ∈ N (A) ∩ D(A).Тогда в силу x ∈ N ⊥ (A)20 2kx − xn k2 = kx − x⊥n k + kxn k → 0=⇒2kx − x⊥n k → 0,kx0n k2 → 0,⊥⊥⊥другими словами, x = lim x⊥n , xn ∈ N (A) ∩ D(A), т. е. x ∈ N (A) ∩ D(A).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
