М.Л. Сердобольская - Методы функционального анализа в задачах редукции (учебное пособи (1183905), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть |λ| > kAk. Запишем тривиальную оценку: для любого x ∈ R|λ| · kxk = kλxk 6 kλx−Axk + kAxk = k(A−λI)xk + kAxk 6 k(A−λI)xk + kAk · kxk,откудаk(A − λI)xk > |λ| − kAk · kxk.(C.3)Таким образом, в (C.1) мы имеем µA (λ) > |λ| − kAk > 0, и это означает, что λ —регулярная точка.2. Напомним, что kAk = supkxk=1 |(Ax, x)| для любого самосопряжённого опе-ратора A ∈ B(R 7→ R). Рассмотрим последовательность {xn }, удовлетворяющуюусловиям kxn k = 1, lim |(Axn , xn )| = kAk. Очевидно, что из числовой последовательности {(Axn , xn )} можно выделить подпоследовательность {(Axnk , xnk )}, всечлены которой имеют один и тот же знак. При этом данная подпоследовательностьсходится к −kAk или к +kAk в зависимости от этого знака. Обозначим предел этойподпоследовательности через λ1 , |λ1 | = kAk.
Имеем, учитывая условие kxnk k = 1,равенство λ21 = kAk, оценку kAxnk k2 6 kAk2 · kxnk k2 = kAk2 = λ21 и сходимость(Axnk , xnk ) → λ1 ,kAxnk − λ1 xnk k2 = kAxnk k2 − 2λ1 (Axnk , xnk ) + λ21 kxnk k2 66 2 λ21 − λ1 (Axnk , xnk ) → 2(λ21 − λ21 ) = 0,k → ∞.(C.4)Отсюда следует, что подпоследовательность {xnk } доставляет точную нижнююгрань inf kxk=1 kAx − λ1 xk = 0, и λ1 — точка спектра, |λ1 | = kAk.833. Пусть λ1 , |λ1 | = kAk, есть точка дискретного спектра (собственное значение),и Ae1 = λ1 e1 , ke1 k = 1. Тогда |(Ae1 , e1 )| = |λ1 |(e1 , e1 ) = kAk.
С другой стороны,если существует элемент e1 единичной нормы, для которого |(Ae1 , e1 )| = kAk, тоkAk = |(Ae1 , e1 )| 6 kAe1 k · ke1 k 6 kAk · ke1 k2 = kAk.(C.5)Отсюда, во-первых, вытекает равенство |(Ae1 , e1 )| = kAe1 k · ke1 k, что возможно,если и только если при некотором λ1 выполнено равенство Ae1 = λ1 e1 ; во-вторых,мы имеем kAe1 k = kAk, ke1 k = 1, и это влечёт |λ1 | = kAk. Теорема доказана.Из третьего утверждения теоремы следует, что если элемент e ∈ R удовлетво-ряет условиям|(Ae, e)| = sup |(Ax, x)|,kxk=1kek = 1,(C.6)то e — собственный вектор оператора A с собственным значением λ1 , |λ1 | = kAk.C.2. Спектр самосопряжённого компактного оператора.
Рассмотрим самосопряжённый компактный оператор A, разумеется, будем считать его отличнымот нулевого. Поскольку всякий компактный оператор ограничен, при рассмотрении будем использовать спектральные свойства, доказанные выше. Посмотрим,какие новые свойства появляются при добавлении условия компактности оператора.Отметим прежде всего, что λ = 0 есть точка спектра любого компактногосамосопряжённого оператора A, действующего в бесконечномерном пространстве,а именно точка дискретного спектра7) в случае вырожденного оператора A и точканепрерывного спектра в случае невырожденного оператора A.
В самом деле, еслиN (A) содержит ненулевые элементы, то λ = 0 есть точка дискретного спектра,Ax = 0 · x при некотором x 6= 0. Если A невырожден, то он не может иметьограниченного обратного. Таким образом, оператор A−1 = R0 = (A − 0 · I)−1неограничен, следовательно, λ = 0 есть точка непрерывного спектра оператора A.Докажем основное утверждение о структуре спектра компактного оператора.Теорема C.3.Все ненулевые точки спектра оператора A являются собственными значениями.Доказательство. Пусть некоторое действительное число λ 6= 0 есть точка спектра оператора A.
Согласно теореме 1 при этом inf kxk=1 kAx − λxk = 0. Пусть последовательность {xn } элементов единичной нормы доставляет указанную точную7)Ещё раз напомним о том, что наше определение точки дискретного спектра является сильноупрощённым.84нижнюю грань. Оператор A компактен, последовательность {xn } ограничена, по-этому {Axn } компактна, т. е. найдется подпоследовательность {xnk }, для которойимеют место сходимостиdk = Axnk − λxnk −→ 0,k→∞Axnk −→ yk→∞(C.7)(первая вытекает из того, что {xnk } доставляет точную нижнюю грань, втораясоответствует определению компактности A). Поскольку λ 6= 0, существуетdk − Axnk= λ−1 y.k→∞λ(C.8)lim xnk = limk→∞Кроме того, в силу непрерывности A можно утверждать, что Axnk → λ−1 Ay приk → ∞.
Сравнивая со вторым пределом в (C.7), получаем Ay = λy. Согласно (C.8)λ−1 kyk = limk→∞ kxnk k = 1, поэтому y 6= 0, откуда следует, что λ — собственноезначение. Теорема доказана.Итак, спектр самосопряжённого компактного оператора A является чисто дискретным, за исключением, быть может, точки λ = 0.Введем понятие, которое будет использовано в дальнейших рассуждениях. Будем говорить, что линейное подпространство L является инвариантным относительно оператора A, если условие x ∈ L влечёт Ax ∈ L.
На любом инвариантном подпространстве можно задать оператор [A]L , действующий по правилу[A]L x = Ax для всех x ∈ L. Данный оператор называется сужением оператора Aна подпространство L.Нетрудно заметить, что [A]L как линейный оператор из L в L обладает темиже свойствами, что и оператор A: если A ограничен, то [A]L ограничен, причёмk[A]L k =supx∈L, kxk=1k[A]L xk =supx∈L, kxk=1kAxk 6supx∈R, kxk=1kAxk = kAk;(C.9)если A самосопряжён, то [A]L также самосопряжён, т.
к. для любых x, z ∈ L([A]L x, z = (Ax, z) = (Az, x) = ([A]L z, x);если A компактен, то [A]L также компактен, т. к. если {xn } ⊂ L — ограничен-ная последовательность, то из последовательности {[A]L xn } = {Axn } выделяетсясходящаяся подпоследовательность, предел которой принадлежит L в силу за-мкнутости линейного подпространства.Примером инвариантного пространства является L⊥ {e1 , e2 , . .
. , en } при условии, что e1 , e2 , . . . , en — собственные векторы оператора A. В самом деле, в этомслучае из (x, ek ) = 0 следует (Ax, ek ) = λk (x, ek ) = 0.85Из теоремы 2 вытекает, что вне отрезка − kAk, kAk точек спектра нет и су-ществует точка спектра λ1 (с необходимостью являющаяся собственным значением) такая, что |λ1 | = kAk. Пусть e1 — собственный вектор, отвечающий этому⊥собственному значению. Рассмотрим линейное подпространство L⊥1 = L (e1 ). Какотмечалось выше, сужение A1 = [A]L⊥ оператора A на инвариантное подпростран1ство L⊥1 есть самосопряжённый компактный оператор.
Кроме того, согласно (C.9)kA1 k 6 kAk = |λ1 |.(C.10)Рассмотрим каждую из двух взаимоисключающих возможностей.⊥Если kA1 k = 0, то A1 x = Ax = 0 для любого x ∈ L⊥1 , другими словами, x ∈ L1⊥влечёт Ax = 0. Верно и обратное утверждение. Если x ∈/ L⊥1 , то x = (x, e1 )e1 + x ,⊥где x⊥ ∈ L⊥1 , причём (x, e1 )e1 6= 0. В силу инвариантности подпространства L1 мыможем утверждать, что Ax⊥ ортогонален e1 .
ОтсюдаkAxk2 = kλ1 (x, e1 )e1 + Ax⊥ k2 = kλ1 (x, e1 )e1 k2 + kAx⊥ k2 > λ21 (x, e1 )2 6= 0.(C.11)Это означает, что условие x ∈/ L1 влечёт Ax 6= 0. Таким образом, мы имеем равен-⊥ство подпространств L⊥1 = L (e1 ) = N (A).Если kA1 k =6 0, то, применяя к A1 приведённые выше рассуждения, найдёмсобственное значение λ2 , |λ2 | = kA1 k. Согласно оценке (C.10) мы имеем |λ2 | 6 |λ1 |.Отвечающий λ2 собственный вектор e2 по построению имеет единичную нормуи принадлежит L⊥ (e1 ).
Продолжая аналогичные рассуждения, рассмотрим инва-⊥риантное относительно A подпространство L⊥2 = L (e1 , e2 ) и сужение A2 оператора A на это подпространство. Если норма сужения равна нулю, то Ax = 0 для всех⊥x ∈ L⊥/ L⊥2 и, если x ∈2 , аналогично (C.11) мы имеем x = (x, e1 )e1 + (x, e2 )e2 + x ,причём x 6= x⊥ , откудаkAxk2 > λ21 (x, e1 )2 + λ22 (x, e2 )2 6= 0.Отсюда L⊥ (e1 , e2 ) = N (A).
Если kA2 k =6 0, то существует собственное значение λ3 ,причём по аналогии с (C.10) |λ3 | 6 |λ2 | 6 |λ1 |. Отвечающий λ3 собственный вектор e3 , очевидно, образует вместе с элементами e1 , e2 ортонормированную систему:(ei , ek ) = δik для i, k = 1, 2, 3. В этом случае находим инвариантное относитель⊥но A подпространство L⊥3 = L (e1 , e2 , e3 ) и повторяем рассуждения заново.
Такимобразом, получаем следующую альтернативу.Первая возможность: найдется конечный номер r, при котором собственныевекторы e1 , e2 , . . . , er отвечают ненулевым собственным значениям λ1 , λ2 , . . . , λn , но86⊥при переходе в следующее инвариантное подпространство L⊥r = L (e1 , e2 , . . . , er )мы имеемsupx∈L⊥r ,kxk=1kAxk = 0.(C.12)ТогдаL⊥ (e1 , e2 , .
. . , er ) = N (A),R(A) = N ⊥ (A) = L(e1 , e2 , . . . , er ),(C.13)другими словами, в этом случае A — оператор конечного ранга r.Второая возможность: для любого r = 1, 2, . . . точная верхняя грань в (C.12)положительна. Тогда существует последовательность {λn } ненулевых собствен-ных значений и отвечающая им последовательность {en } собственных векторов,причёмkAk = |λ1 | > |λ2 | > · · · > |λn | · · ·(C.14)и собственные векторы образуют ортонормированную систему в R. Заметим, чтоek = λ−1k Aek ∈ R(A) для всех k = 1, 2, .
. . . В силу взаимной ортогональности ekв этом случае rank A = dim R(A) = ∞. Рассмотрим этот случай подробнее.Докажем основное свойство последовательности {λn }.Теорема C.4.Последовательность {λn } не имеет предельных точек, отличных от нуля.Доказательство. Пусть λ 6= 0 — предельная точка последовательности {λn },а сходящаяся к λ подпоследовательность есть {λnk }. Очевидно, в силу того, чтоlimk→∞ λnk 6= 0, мы можем утверждать, что последовательность {λ−1nk } ограниче-на.
Рассмотрим последовательность элементов zk = λ−1nk enk , k = 1, 2, . . . . Данная последовательность ограничена, но последовательность элементов Azk = enk ,k = 1, 2, . . ., некомпактна в силу ортогональности собственных векторов. Противоречие с условием компактности оператора A доказывает утверждение.Поскольку последовательность {|λn |} монотонно не возрастает, она имеет пре-дел, и в силу предыдущей теоремы очевидно следующее утверждение.Теорема C.5.Существует lim |λn | = 0.n→∞Из основного свойства также имеем такое утверждение.Теорема C.6.Все найденные выше собственные значения λk имеют конечную кратность.87Доказательство.
По построению каждому из λk отвечает один собственныйвектор, однако собственные значения могут совпадать, т. е. возможноλk−1 6= λk = λk+1 = . . . = λk+p 6= λk+p+1 ,и в этом случае число p есть кратность собственного значения λ = λk . Покажем,что p < ∞. Пусть это не так, и существует счётный набор (подпоследовательность)равных друг другу собственных значений, λk = λk+1 = · · · . Но в этом случае мыможем утверждать, что значение λk 6= 0 есть предельная точка последовательности {λn }, что противоречит основному свойству.Докажем равенства, аналогичные (C.13).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
