М.Л. Сердобольская - Методы функционального анализа в задачах редукции (учебное пособи (1183905), страница 11
Текст из файла (страница 11)
е. Γ(Ā) = Γ(A).e то существует A∗ ∈ B(Re 7→ R).Если A ∈ B(R 7→ R),Условия замкнутости и ограниченности оператора в общем случае не влекутодно другое, однако замкнутый оператор ограничен тогда и только тогда, когда61его область определения замкнута (теорема о замкнутом графике), в частностипри D(A) = R.e всюду определённых компактных ли• Банахово пространство CO(R 7→ R)eнейных операторов, действующих из пространства R в пространство R.e называется компактным, если он любую ограниченОператор A ∈ L(R 7→ R)ную последовательность {xn } элементов из своей области определения переводитв компактную последовательность. Компактность означает, что в последователь-ности {Axn } найдётся фундаментальная подпоследовательность {Axnk }. Компактные операторы также называют вполне непрерывными.Если оператор компактен, то он ограничен.
В случае dim R = ∞ обратноеe если его наделить линейнымиутверждение неверно. Множество CO(R 7→ R),операциями (B.1) и нормой (B.2), образует замкнутое линейное многообразие (лиeнейное подпространство) в B(R 7→ R).Если A — компактный оператор и B — ограниченный оператор, то AB и BAe не можеттакже являются компактными операторами. Оператор A ∈ CO(R 7→ R)иметь ограниченного обратного, если dim R = ∞.Оператор A компактен тогда и только тогда, когда он всякую слабо фундаментальную последовательность переводит в последовательность, фундаментальнуюпо норме:({xn } ⊂ D(A),(xn , z) − (xm , z) −→ 0,n,m→∞z ∈ R,=⇒kAxn − Axm k −→ 0,n,m→∞e это эквивалентно тому, что если (xn , z) → (x, z) для всякогодля A ∈ CO(R 7→ R)z ∈ R, то kAxn − Axk → 0.e то существует A∗ ∈ CO(Re 7→ R).Если A ∈ CO(R 7→ R),e всюду определённых линейных опера• Гильбертово пространство H(R 7→ R)eторов Гильберта–Шмидта, действующих из пространства R в пространство R.Всюду определённый оператор A называется оператором Гильберта–Шмидта,Pесли k kAek k2 < ∞ для ОНБ {ek } пространства R.
Значение суммы не зависит отвыбора ОНБ. На множестве всюду определённых операторов Гильберта–Шмидтаможно ввести линейные операции (B.1), а также скалярное произведение и нормуsXXdefdefkAek k2 ,(B.3)(Aek , Bek ),kAk2 =(A, B)2 =kkчисленные значения которых не зависят о выбора ОНБ; при этом пространствоe оказывается полным по норме k · k2 . Справедливо неравенство, свяH(R 7→ R)62зывающее норму (B.2) (которую часто называют спектральной) и нормой (B.3)Гильберта–Шмидта: kAk 6 kAk2 .e то существует A∗ ∈ H(Re 7→ R).Если A ∈ H(R 7→ R),Формулы (B.3) могут быть записаны с использованием понятия следа оператора:(A, B)2 = Tr(AB ∗ ) = Tr(A∗ B) = Tr(BA∗ ) = Tr(B ∗ A),kAk22 = Tr(AA∗ ) = Tr(AA∗ ).Всякий оператор Гильберта–Шмидта является компактным.
В случае dim R = ∞обратное утверждение неверно.Если рассматривать введённые пространства операторов просто как множестваоператоров, то можно написать следующую цепочку включений:e ⊃ B(R 7→ R)e ⊃ CO(R 7→ R)e ⊃ H(R 7→ R),eCL(R 7→ R)причём в случае бесконечномерного пространства R все включения являютсястрогими, а в случае dim R < ∞ множества операторов в этой цепочке совпадаютдруг с другом и вообще со множеством всех линейных операторов.Далее мы докажем несколько хорошо известных утверждений общей теориигильбертовых пространств, а затем ряд теорем, фиксирующих необходимые намсвойства линейных операторов, действующих в бесконечномерных гильбертовыхпространствах.B.1. Теорема Бэра. Множество M элементов гильбертова пространства Rназывается нигде не плотным, если оно не плотно ни в каком шаре ненулевогорадиуса, т.
е. M не содержит в себе шар K(x0 , r) = x ∈ R : kx − x0 k 6 r прилюбом x0 ∈ R и любом r > 0 (шар может быть и открытым, другими словами,неравенство в определении шара можно заменить на kx − x0 k < r0 ).Теорема B.1.Гильбертово пространство R не может быть представлено в виде счётногообъединения нигде не плотных множеств.Доказательство. Пусть утверждение неверно, и в гильбертовом пространственайдется счётный набор множеств M1 , M2 , . .
. таких, что возможно представлениеR=∞[n=163Mn ,(B.4)причём каждое из замкнутых множеств Mn не содержит никакого шара (откры-того или замкнутого) ненулевого радиуса.Рассмотрим произвольный замкнутый шар K0 = K(x0 , r0 ) ненулевого радиусаr0 < 1 и соответствующий открытый шар K0 = K(x0 , r0 ). По условию мы имеемM1 6⊃ K0 , поэтому множество K0 ∩ (R \ M1 ) непусто и открыто как пересечениедвух открытых множеств.
Это означает, что найдутся элемент x1 ∈ K0 ∩ (R \ M1 )и некоторая его окрестность K(x1 , ε1 ), ε1 > 0, такие, что K(x1 , ε1 ) содержитсяи в шаре K0 , и в множестве R \ M1 . Выберем произвольное положительное числоr1 < min(ε1 , 1/2) и положим K1 = K(x1 , r1 ). ТогдаK1 ⊂ K(x1 , ε1 ) ⊂ K0 ∩ (R \ M1 ) ⊂ K0 .Заметим, что по построению шар K1 не имеет общих элементов с множествомM1 и, тем более, общих элементов с множеством M1 . Итак, мы нашли замкнутыйшар K1 = K(x1 , r1 ), удовлетворяющий следующим условиям:K 1 ⊂ K0 ,K1 ∩ M1 = ∅,1r1 < .2(B.5)Множество M2 не плотно в шаре K1 , другими словами, M2 6⊃ K1 .
По аналогиис предыдущими рассуждениями найдем центр x2 окрестности K(x2 , ε2 ), содержащейся в шаре K1 и в множестве R \ M2 , а затем возьмём 0 < r2 < min(ε2 , 1/4).Тогда шар K2 = K1 (x2 , r2 ) удовлетворяет условиямK 2 ⊂ K1 ,K2 ∩ M2 = ∅,1r2 < .4(B.6)Рассматривая далее множества M3 , M4 , . . . , получим последовательность за-мкнутых вложенных шаров {Kn } таких, чтоKn+1 ⊂ Kn ,Kn ∩ Mn = ∅,rn <1→ 0.2n(B.7)Эта последовательность удовлетворяет теореме о вложенных шарах, следовательно, найдется элемент x ∈ R такой, что x ∈ Kn для всех n = 1, 2, . .
. . По построениюдля каждого n = 1, 2, . . . пересечение Kn и множества Mn пусто, поэтому x не принадлежит ни одному из Mn , что противоречит условию (B.4). Теорема доказана.B.2. Тождественность слабой и сильной ограниченности последовательности. Будем говорить, что последовательность {xn } элементов гильбертовапространства R слабо ограничена, если для любого элемента z ∈ R ограничена числовая последовательность {(xn , z)}.
Другими словами, найдется константа C(z) такая, что |(xn , z)| 6 C(z) для любого n = 1, 2, . . . . Заметим, что если64kxn k 6 C для любого n = 1, 2, . . . , то в силу неравенства Коши–Буняковского|(xn , z)| 6 Ckzk = C(z), т. е. ограниченность последовательности по норме влечёт слабую ограниченность. Обратное следствие неочевидно, однако тоже имеетместо.Теорема B.2.Если последовательность {xn } элементов гильбертова пространства R слабоограничена, то она ограничена по норме.Доказательство.
Пусть |(xn , z)| 6 C(z) для любого n = 1, 2, . . . . Для каждыхнатуральных n и k зададим множестваMnk = z ∈ R : |(xn , z)| 6 k ,∞\Mk =Mnk = z ∈ R : |(xn , z)| 6 k для всех n = 1, 2, . . .}.n=1Поскольку последовательность {xn } слабо ограничена, для любого z ∈ R найдёт-ся натуральное k такое, что |(xn , z)| 6 C(z) 6 k для любого n = 1, 2, . .
. . ЭтоSозначает, что R = ∞k=1 Mk .Легко заметить, что если последовательность {zm } содержится в Mk (это озна-чает, что |(xn , zm )| 6 k для всех m и n) и zm → z при m → ∞, то|(xn , z)| = |(xn , lim zm )| = lim |(xn , zm )| 6 k,m→∞m→∞для всех n = 1, 2, . . . ,другими словами, множество Mk замкнуто.SВ силу того что R = ∞k=1 Mk , хотя бы одно из множеств Mk плотно в неко-тором замкнутом шаре K(z0 , r0 ) по теореме Бэра.
Это означает, чтоMk0 = Mk0 ⊃ K(z0 , r0 )при некотором k0 .Другими словами, если kz − z0 k 6 r0 , то |(xn , z)| 6 k0 для всех n = 1, 2, . . . ,и последовательность {(xn , z)} ограничена равномерно по z ∈ K(x0 , r0 ). Это означает, что константа k0 , ограничивающая |(xn , z)|, не зависит от z. Отсюда следует,что эта последовательность также равномерно ограничена по z ∈ K(0, 1). В самомделе, любому элементу z такому, что kzk 6 1, может быть сопоставлен элементz ′ = r0 z+z0 , принадлежащий шару K(x0 , r0 ). Тогда можно записать z = (z ′ −z0 )/r0 ,|(xn , z)| =|(xn , z ′ ) − (xn , z0 )||(xn , z ′ )| + |(xn , z0 )|2k066=Cr0r0r065для всех n = 1, 2, .
. . и любого z такого, что kzk 6 1. Заметим, что константа Cопределяется только параметрами шара K(z0 , r0 ) и номером k0 множества, которые«возникли» из теоремы Бэра. Отсюдаkxn k =Теорема доказана.(xn , xn )= (xn , z)z=xn /kxn k 6 C,kxn kn = 1, 2, . . . .B.3. Слабая полунепрерывность нормы снизу. Будем говорить, что последовательность {xn } элементов гильбертова пространства R слабо сходитсяwк элементу x ∈ R и писать xn → x, если для любого z ∈ R числовая последо-вательность {(xn , z)} сходится к (x, z) при n → ∞.
Заметим, что если xn → x,т. е. kxn − xk → 0, то |(xn , z) − (x, z)| 6 kxn − xk · kzk → 0 для любого фик-сированного z ∈ R. Это означает, что сходимость последовательности по нормевлечёт слабую сходимость. Обратное следствие неверно. Пример, показывающийэто, привести несложно. Пусть {en } — ОНБ пространства R. Тогда для любогоz ∈ R последовательность {(en , z)} стремится к нулю, поскольку должно быть выP22полнено необходимое условие сходимости ряда ∞n=1 (en , z) = kzk .
Но при этомken − en′ k2 = ken k2 + ken′ k2 = 2 при n 6= n′ , и последовательность {en } не являетсяфундаментальной, поэтому не может иметь предела.Теорема B.3.Пусть последовательность {xn } элементов гильбертова пространства R слабо сходится к элементу x ∈ R. Тогдаkxk2 6 lim kxn k2 .(B.8)n→∞Доказательство. Положимβ 2 = lim kxn k2 .n→∞Заметим, что последовательность {xn } слабо сходится (числовая последователь-ность {(xn , z)} имеет предел при любом z), следовательно, {xn } слабо ограничена (числовая последовательность {(xn , z)} ограничена при любом z). Согласно теореме B.2 это означает, что последовательность {xn } ограничена по норме,0 6 kxn k 6 C, поэтому нижний предел β 2 конечен.Рассмотрим подпоследовательность {xnk }k=1,∞, для которой имеет место сходимость к нижнему пределу: kxnk k2 → β 2 при k → ∞.
Тогда0 6 kxnk − xk2 = kxnk k2 − 2(x, xnk ) + kxk2 −→ β 2 − 2(x, x) + kxk2 = β 2 − kxk2 ,k→∞66откуда вытекает неравенство β 2 − kxk2 > 0, эквивалентное (B.8).Замечание 1. Если kxn − xk → 0, то kxn k → kxk, и можно сказать, что любаянорма непрерывна относительно сходимости по этой норме.
Неравенство (B.8) свидетельствует о том, что непрерывность нормы относительно слабой сходимости,вообще говоря, не имеет места. Пример, показвающий этот факт, привести оченьлегко: как мы знаем, если {en } — ОНБ, то последовательность {en } слабо сходит-ся к нулевому элементу, но при этом ken k = 1 для всех n; в результате мы имеем0 = k lim en k2 < lim ken k2 = 1, где в левой части неравенства предел понимаетсяв слабом смысле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
