Учебник - Квантовая механика 2 - Барабанов (1183799), страница 9
Текст из файла (страница 9)
,Ĥ =+ Uj (rj ) − µB σ̂2mjгдеAj = A(rj , t),ЗдесьHj = H(rj , t).³e ´22ee2p̂j − Aj = p̂2j − Aj p̂j + 2 A2j ,cccтак как div A = 0. Соответственно для гамильтониана атома в классическом электромагнитном поле получаем:Ĥ = ĤA + V̂ ,гдеĤA =XjÃ!p̂2j+ Uj (rj ) + Ûs.o.2m73есть гамильтониан свободного атома, аV̂ = −Xe Xe2 X 2σ j HjAj p̂j +A−µσ̂Bjmc j2mc2 jjесть оператор взаимодействия атома с полем.Квантовое описание взаимодействия атома и поляПерейдем теперь к квантовому описанию электромагнитного поля.
Тогда полный гамильтониан системы имеет вид:Ĥ = ĤA + ĤF + V̂ ,гдеĤA =XÃj!p̂2j+ Uj (rj ) + Ûs.o.2mесть гамильтониан сободного атома,ĤА =Xλ1~ω(â+λ âλ + )2есть гамильтониан свободного электромагнитного поля, аV̂ = −Xe Xe2 X 2σ j ĤjÂj p̂j +Â−µσ̂Bjmc j2mc2 jjесть оператор взаимодействия атома и поля. Поскольку речь идет освободном электромагнитном поле, тоrX 2π~c2 ¡¢∗ −ikrjÂj = Â(rj ) =âλ eα eikrj + â+,λ eα eVωλĤj = Ĥ(rj ) =Xλr¢2π~c2 ¡−ikrj.i[k × eα ]âλ eikrj − i[k × e∗α ]â+λeVωСобственные векторы |ki оператора ĤA ,ĤA |ki = EAk |ki,74описывают стационарные состояния атома с энергиями EAk . В то жевремя собственные векторы |{nλ }i оператора ĤF ,ĤF |{nλ }i = EF |{nλ }i,описывают стационарные состояния поля с энергиями EF . ВведемоператорĤ0 = ĤA + ĤF .Решения стационарного уравнения Шредингера,Ĥ0 |Ψi = E|Ψi,имеют вид:|Ψi = |ki|{nλ }i,E = EAk + EF .Векторы |Ψi описывают стационарные состояния не взаимодействующих друг с другом атома и поля.Наличие оператора взаимодействия V̂ приводит к появлению переходов между этими стационарными состояниями.
Пусть, к примеру, в момент t = 0 система ”атом + поле” находится в состоянии |Ψi iс энергиейEi = EAi + EF i .Вероятность перехода в единицу времени в состояние |Ψf i с энергиейEf = EAf + EF fв 1-м порядке нестационарной теории возмущений определяется правилом Ферми2πdwif =|hΨf |V̂ |Ψi i|2 dρ(Ef ).~Заметим, что оператор V̂ взаимодействия атома со свободным электромагнитным полем не зависит от времени. Поэтому в этом переходе полная энергия системы ”атом + поле” сохраняется:EAi + EF i = EAf + EF f .Если EAi > EAf и EF i < EF f , то атом теряет энергию, а поле приобретает энергию. Это означает, что происходит излучение – в однойили нескольких модах поля появляются дополнительные фотоны.75Наоборот, если EAi < EAf и EF i > EF f , то происходит поглощениефотонов с возбуждением атома.Лекция №11. Спонтанное излучение атомаПостановка задачиСпонтанное излучение происходит при переходе атома из начального состояния |ii в конечное состояние |f i с меньшей энергией приусловии, что начальное состояние поля – это основное состояние (вовсех модах нет фотонов).
Таким образом, начальное и конечное состояния системы ”атом + поле” описываются следующими векторами|Ψi i = |ii|0, 0 . . .i, |Ψf i = |f i|0, 0 . . . 1kα , 0 . . .i.Переход в атоме |ii → |f i сопровождается излучением кванта с волновым вектором k и поляризацией eα . Энергия этого кванта (приращение энергии поля ∆EF ) равна разности начальной и конечнойэнергий атома:∆EF = ~ω = EAi − EAf .По правилу Ферми для вероятности перехода с излучением кванта в телесный угол dΩ вокруг направления k имеем:dwif =2π|hΨf |V̂ |Ψi i|2 dρ(Ef ),~где dρ(Ef ) есть плотность конечных состояний поля.Оператор взаимодействия атома и поляВ операторе V̂ взаимодействия атома и поля естественно пренебречь квадратичными по полю слагаемыми по сравнению с линейными.
Поэтому возмущение V̂ имеет вид:Xe Xσ j Ĥ(rj ) ≡ V̂1 + V̂2 .V̂ = −Â(rj )p̂j − µBσ̂mc jjОценим порядок операторов V̂1 и V̂2 . Пользуясь соотношениемнеопределенностей, для взаимодействия V1 находим:V1 ∼ee ~Ap ∼A ,mcmc a76где a – это боровский радиус. В то же время для взаимодействия V2получаем:e~e~ωV2 ∼kA ∼A,mcmccСледовательно V1 и V2 соотносятся как ~/a и ~ω/c. Возьмем ~ω иззакона сохранения энергии при излучении:~ωEAi − EAfe2e2 ~1 ~~='='¿ .ccca~c a137 aaТаким образом, V2 ¿ V1 . Оператор возмущения проибретает вид:e XV̂ = −Â(rj )p̂j .mc jИз выполненных оценок следует также, что~k ∼e2 ~~c a⇒ka ∼e21'¿ 1.~c137Поскольку k ∼ 1/λ, то, следовательно, размер атома, a, много меньше, чем длина излучаемой волны λ. В классической теории излучения соотношение a ¿ λ есть условие применимости дипольногоприближения.
В квантовой теории, как мы скоро увидим, условиеka ¿ 1 также позволяет существенно упростить вычисления.Плотность конечных состоянийНайдем теперь плотность конечных состояний:dρ =dNf,dEfdEf = d(~ω) = ~c dk.В пространстве волновых векторов фотонам, излучаемым в телесный угол dΩ с неопределенностью энергии dEf , отвечает элементобъема (k 2 dΩ)dk. С учетом условий квантования составляющих вектора k для числа dNf состояний поля находим:dNf = ³2πLxk 2 dΩdk´³ ´³2πLy772πLz´=V k 2 dΩdk.(2π)3Следовательно для плотности состояний получаем:dρ =V k 2 dΩdkV ω 2 dΩ=.(2π)3 ~c dk(2π)3 ~c3Вероятность излучения фотона в дипольном приближенииФормула для вероятности излучения в единицу времени фотонав телесный угол dΩ вокруг направления k с фиксированной поперечной поляризацией eα принимает вид:dwif (k, eα ) =V ω 2 dΩ2π|hΨf |V̂ |Ψi i|2.~(2π)3 ~c3Займемся теперь вычислением матричного элемента.
Имеем:hΨf |V̂ |Ψi i =³ e ´X= hf |h0, 0 . . . 1kα , 0 . . . | −Â(rj )p̂j |0, 0 . . .i|ii =mc j³e ´X= −mcλr2π~c2 ∗e h0, 0 . . . 1kα , 0 . . . |â+λ |0, 0 . . .i ×Vω αX×hf |e−ikrj p̂j |ii.jЯсно, что в сумме по λ остается единственное слагаемое λ = (k, eα ),для которого получаем:h1kα |â+kα |0i = 1.Соответственно матричный элемент принимает вид:³ e ´ r 2π~ Xhf |e−ikrj p̂j |ii,hΨf |V̂ |Ψi i = −e∗mVω α jто есть выражается через матричный элемент по конечной и начальной волновым функциям атома.78Понятно, что основной вклад в матричный элемент вносит интегрирование по области радиусом порядка a. Поскольку ka ¿ 1, томы можем пренебречь экспонентой при операторе импульса. Это иесть дипольное приближение в квантовой теории излучения.
Остается вычислить матричный элемент следующего вида:hf |p̂j |ii.Для этого рассмотрим следующий коммутатор:[xj , ĤA ] = [xj ,=p̂2jp̂2xj] = [xj ,]=2m2m1i~1p̂xj [xj , p̂xj ] +[x̂j , p̂xj ]p̂xj = p̂xj .2m2mmТаким образом, оператор импульса j-го электрона можно выразитьчерез коммутатор:−imp̂j =[rj , ĤA ].~Подставляя теперь это выражение для p̂j в матричный элемент, находим:hf |p̂j |ii ==−imhf |rj ĤA − ĤA rj |ii =~−im(EAi − EAf )hf |rj |ii = −imωhf |rj |ii.~Собирая все вместе, получаем:rrX 2π~2π~ω ∗∗hΨf |V̂ |Ψi i = iωeeα hf |rj |ii = ieα hf |d̂|ii,VωVjгдеd̂ =Xerjjесть оператор дипольного момента атома. Удобно ввести следующееобозначение:hf |d̂|ii ≡ dif .79Тогда для матричного элемента от оператора V̂ получаем следующеекомпактное выражение:r2π~ω ∗hΨf |V̂ |Ψi i = ieα dif .VЭто означает, что вероятность излучения фотона с поляризацией eαи волновым вектором k в телесный угол dΩ равна:dwif (k, eα ) =V ω 2 dΩ2π 2π~ω ∗ω3|eα dif |2=|e∗ dif |2 dΩ.33~ V(2π) ~c2π~c3 αСуммирование по поляризациямЕсли нас не интересует поляризация излучения, то необходимопровести суммирование по двум возможным поляризациям.
Удобновыбрать в качестве базисных векторов тройку взимно ортогональных единичных векторов (e1 , e2 , n), где n – это единичный вектор внаправлении k. Раскладывая по этому базису вектор dif , находим:dif = (dif e∗1 )e1 + (dif e∗2 )e2 + (dif n)n,а также:|dif |2 =X|dif e∗α |2 + |dif n|2 .α=1,2Отсюда получаем:X|e∗α dif |2 = |dif |2 − |dif n|2 .α=1,2Окончательно, угловое распределение фотонов выглядит таким образом:¢ω3 ¡dwif (k) =|dif |2 − |dif n|2 dΩ.32π~cПолная вероятность перехода в единицу времени (для малых времен) получается интегрированием по всем телесным углам.
Удобновоспользоваться формулой для усреднения по углам:I11hni nj i ≡ni nj dΩ = δij .4π380Тогд൶I4πω 314ω 322wif = dwif (k) =|d|−|d|=|dif |2 .ifif32π~c33~c3Время жизни состоянияДля произволных времен вероятность W (t) того, что атом всееще находится в начальном состоянии |ii, имеет следующий вид:W (t) = e−wif t = e−t/τ .Величина τ = 1/wif называется временем жизни возбужденного состояния |ii по отношению к переходу в состояние |f i.Лекция №12.
Интегральное уравнение теориирассеянияПостановка задачи рассеянияСформулируем задачу рассеяния. Пусть имеется поток падающих (свободных) нерелятивистских частиц, каждая из которых обладает импульсомp = ~ k,направленным вдоль оси Oz. Выберем начало координат в той области, где отличен от нуля рассеивающий потенциал. Предположим,что эта область ограничена радиусом a, так чтоU (r) ≡ 0,если r > a.Подчеркнем, что внутри сферы радиусом a потенциал U (r) имеетпроизвольную форму. Требуется найти зависимость потока рассеянных частиц от направления рассеяния.Формально задача описывается уравнением Шредингера,Ĥψ(r) = Eψ(r),с гамильтонианомĤ =p̂2+ U (r).2m81В случае, когда E < 0, речь идет о поиске связанных состояний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
