Учебник - Квантовая механика 2 - Барабанов (1183799), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В том, что точная локализация невозможна,убедимся следующим образом. Предположим, что мы устанавливаемместоположение частицы по результатам ее взаимодействия с электромагнитной волной с частотой ω и длиной волной λ = 2πc/ω. Понятно, что неопределенность в определении координаты по порядкувеличины равна λ. Эта неопределенность не может быть сделанасколь угодно малой. В самом деле, электромагнитная волна – это, синой точки зрения, поток фотонов с энергиями ~ω. Если ~ω достигает величины 2mc2 , то в области маштаба λC , гдеV̂2 = −2π~c' 2mc2λC⇒λC =~,mcможет образоваться пара: частица и античастица.
Величина λC называется комптоновской длиной волны частицы массы m. Таким образом, местоположение частицы не может быть установлено с точностью, лучшей чем λC .Но это означает, что характерная неопределенность потенциальной энергии имеет масштаб:δU = hU (r + ∆r) − U (r)i,где ∆r есть случайное смещение, удовлетворяющее соотношениям:h∆ri = 0,h(∆r)i (∆r)j i =Отсюда находим:δU 'δijh(∆r)2 i,3~2∆U,6m2 c240(∆r)2 ' λ2C .что с точностью до численного множителя согласуется с видом оператора V̂2 .Последняя поправка, V̂3 , имеет прозрачный смысл в центральномполе U = U (r).
В этом случае:V̂3 =~U 0 (r)~U 0 (r)iσe(p̂U(r))p̂=σerp̂=ŝL̂,kijkijkijkij4m2 c24m2 c2r2m2 c2 rгде L̂ = [r × p̂] есть оператор орбитального момента частицы. Оператор V̂3 называют оператором спин-орбитального взаимодействия.Происхождение этого взаимодействия можно пояснить следующим образом. Пусть частица с зарядом e и магнитным моментомµ = (e/mc)~s движется в стационарном центральном электрическомполе, которое определяется потенциалом Φ(r), т.е.
потенциальнаяэнергия частицы есть U (r) = eΦ(r). Предположим, что в точке rчастица имеет скорость v и, соответственно, угловой (орбитальный)моментL = m[r × v].Напряженность электрического поля в этой же точке равнаE = −∇Φ(r) = −Φ0 (r)r.rВ системе покоя частицы имеется магнитное поле, напряженностькоторого с точностью до слагаемых первого порядка по v/c определяется формулой1H = [E × v].cТаким образом, возникает энергия взаимодействия магнитного момента с магнитным полем:µH =Vm = −µ~eΦ0 (r)~U 0 (r)s[r × v] = 2 2 sL,2mc rm c rкоторая с точность до численного множителя согласуется с видомµH естьоператора V̂3 .
Напомним, что само по себе взаимодействие −µэффект первого порядка по v/c, так что спин-орбитальное взаимодействие есть, в самом деле, эффект второго порядка по v/c.41Лекция №6. Сложение угловых моментовЧастица в центральном полеВ нерелятивистской квантовой механике состояние частицы соспином s = 1/2 в центральном поле U (r) определяется решениемстационарного уравнения Шредингера:Ĥ0 ϕ = Eϕ,Ĥ0 =p̂2+ U (r).2mПоскольку гамильтониан Ĥ0 не содержит спиновых операторов, тонормированный на единицу спинор ϕ,Zϕ+ ϕ d3 r = 1,может быть представлен в виде произведения координатной волновой функции ψ и спинора χ, не зависящего от координат,Zϕ = ψχ,|ψ(r)|2 d3 r = 1, χ+ χ = 1.Гамильтониан Ĥ0 , далее, коммутирует с операторами l̂2 и ˆlz .
Поэтому волновая функция ищется в форме:ψ(r) = R(r)Ylm (θ, ϕ),гдеYlm (θ, ϕ) = hθ, ϕ|lmiесть собственный вектор операторов l̂2 и ˆlz в координатном представлении (сферическая гармоника). Напомним, чтоl̂ =11L̂ = [r × p̂] = −i[r × ∇]~~есть обезразмеренный оператор орбитального момента. В качествеспинора χ обычно выбирают собственный вектор |sσi операторов ŝ2и ŝz .Можно рассуждать иначе. Поскольку гамильтониан Ĥ0 нерелятивистской частицы в центральном поле коммутирует с операторами42l̂2 , ˆlz , ŝ2 и ŝz , то собственный вектор Ĥ0 естественно искать в классесобственных векторов этих операторов, то есть:ϕ = R(r)|lmi|sσi.На предыдущей лекции мы показали, что имеются релятивистские поправки к гамильтониану частицы в центральном поле, а именно:Ĥ = Ĥ0 + V̂1 + V̂2 + V̂3 ,гдеV̂1 = −p̂4,8m3 c2V̂2 =~2∆U (r),8m2 c2V̂3 =~2 U 0 (r)ŝl̂.2m2 c2 rЛегко видеть, что поправки V̂1 и V̂2 сохраняют центральный характер гамильтониана, т.е.
коммутируют с операторами l̂2 , ˆlz , ŝ2 и ŝz .Но это не так для оператора V̂3 или, как его еще иначе называют,для оператора спин-орбитального взаимодействия:V̂3 ≡ Ûs. o. = f (r)ŝl̂,f (r) =~2 U 0 (r).2m2 c2 rВ самом деле:[ŝl̂, l̂2 ] = [ŝx ˆlx + ŝy ˆly + ŝz ˆlz , l̂2 ] = 0,т.к. [ˆli , l̂2 ] = 0,и, аналогично:[ŝl̂, ŝ2 ] = [ŝx ˆlx + ŝy ˆly + ŝz ˆlz , ŝ2 ] = 0,т.к. [ŝi , ŝ2 ] = 0.В то же время:[(ŝl̂), ˆlz ] = [ŝx ˆlx , ˆlz ] + [ŝy ˆly , ˆlz ] + [ŝz ˆlz , ˆlz ] = −iŝx ˆly + iŝy ˆlx 6= 0,| {z }0а также:[(ŝl̂), ŝz ] = [ŝx ˆlx , ŝz ] + [ŝy ˆly , ŝz ] + [ŝz ˆlz , ŝz ] = −iŝy ˆlx + iŝx ˆly 6= 0.| {z }0Заметим, однако, что, складывая две последние формулы, мы получаем:[ŝl̂, ŝz + ˆlz ] = 0.43Естественно, поэтому, ввести операторj = s + l,который имеет смысл оператора полного углового момента.
Мы доказали, что[Ûs. o. , l̂2 ] = 0,[Ûs. o. , ŝ2 ] = 0,[Ûs. o. , ĵz ] = 0.Итак, гамильтониан частицы в центральном поле с учетом релятивистских поправок можно представить в виде:Ĥ = Ĥ00 + Ûs. o. ,где Ĥ00 есть центральная часть гамильтониана, коммутирующая соператорами l̂2 , ˆlz , ŝ2 и ŝz . Очевидно, что Ĥ00 коммутирует с оператором ĵz . Таким образом, гамильтониан Ĥ коммутирует с операторами l̂2 , ŝ2 и ĵz . Убедимся теперь в том, что Ĥ коммутирует такжес оператором ĵ2 .Имеем:ĵ2 = (ŝ + l̂)2 = ŝ2 + 2ŝl̂ + l̂2 .Коммутация с l̂2 и ŝ2 уже доказана.
Далее, оператор Ĥ00 коммутируетс оператором ŝl̂ = ŝx ˆlx + ŝy ˆly + ŝz ˆlz просто потому, что коммутирует с каждым из операторов ˆli и ŝj по отдельности. В то же времяоператор ŝl̂ – это и есть оператор Ûs. o. с точностью до центральногомножителя f (r). Следовательно доказано, что[Ĥ, ĵ2 ] = 0.Таким образом, если мы принимаем во внимание релятивистскиепоправки, то гамильтониан Ĥ частицы в центральном поле U (r) коммутирует с операторами l̂2 , ŝ2 , ĵ2 и ĵz . Соответственно возникаетзадача сложения угловых моментов, а именно поиска собственныхвекторов операторов ĵ2 и ĵz .44Постановка общей задачиПусть имеются две системы с угловыми моментами j1 и j2 , соответственно. Каждая из систем определена в собственном конфигурационном пространстве, поэтому[ĵ1i , ĵ2j ] = 0,∀ i, j.Состояние первой системы определяется собственными векторами|j1 m1 i операторов ĵ21 и ĵ1z , то есть:ĵ21 |j1 m1 i = j1 (j1 + 1)|j1 m1 i,ĵ1z |j1 m1 i = m1 |j1 m1 i,где m1 = −j1 , −j1 + 1 .
. . j1 . Аналогичным образом для второй системы имеем:ĵ22 |j2 m2 i = j2 (j2 + 1)|j2 m2 i,ĵ2z |j2 m2 i = m2 |j2 m2 i,где m2 = −j2 , −j2 + 1 . . . j2 .Объединенная система, ”1+2”, характеризуется набором коммутирующих операторов ĵ21 , ĵ1z , ĵ22 и ĵ2z . Соответственно состояния объединенной системы описываются векторами:|j1 m1 j2 m2 i ≡ |j1 m1 i|j2 m2 i.Их всего (2j1 + 1)(2j2 + 1) штук.Введем оператор полного углового момента систем 1 и 2:ĵ = ĵ1 + ĵ2 .Возникает новый набор коммутирующих операторов: ĵ21 , ĵ22 , ĵ2 и ĵz .Пусть |jm(j1 j2 )i – это набор общих собственных векторов этих операторов, то есть:ĵ21 |jm(j1 j2 )i = λ1 |jm(j1 j2 )i,ĵ22 |jm(j1 j2 )i = λ2 |jm(j1 j2 )i,ĵ2 |jm(j1 j2 )i = j(j + 1)|jm(j1 j2 )i,ĵz |jm(j1 j2 )i = m|jm(j1 j2 )i,где собственные значения λ1 , λ2 , j(j + 1) и m есть пока неизвестныевеличины. На данном этапе мы можем быть уверены только в том,что j – это, как любой другой угловой момент, целое или полуцелоечисло, и что при фиксированном j проекция m пробегает значения:−j, −j + 1 .
. . j.45Задача сложения угловых моментов состоит в том, чтобы по известным j1 и j2 , а также по известным |j1 m1 i и |j2 m2 i, установить,во-первых, значения j (и, конечно, λ1 и λ2 ) и, во-вторых, вид векторов состояний |jm(j1 j2 )i ≡ |jmi (известные значения j1 и j2 обычноопускают при записи собственных векторов операторов ĵ2 и ĵz ).Коэффициенты Клебша–ГорданаНеизвестные векторы состояний |j m (j1 j2 )i всегда могут бытьпредставлены в виде разложений по известному базису |j1 m1 i|j2 m2 i,а именно:X jm|jm(j1 j2 )i =Cj1 m1 j2 m2 |j1 m1 i|j2 m2 i.m1 ,m2Коэффициенты разложения Cjjmназываются коэффициентами1 m1 j2 m2Клебша–Гордана.
Действуя на эти разложения операторами ĵ21 и ĵ22 ,легко устанавливаем их собственные значения:λ1 = j1 (j1 + 1),λ2 = j2 (j2 + 1).Дальнейшее исследование разобьем на пункты.1) Воспользуемся тем, что ĵz = ĵ1z + ĵ2z . Действуя оператором ĵzна левую часть выписанного разложения, а оператором ĵ1z + ĵ2z – направую часть, находим:X jmm|jmi =Cj1 m1 j2 m2 (m1 + m2 )|j1 m1 i|j2 m2 i.m1 ,m2Откуда следует, чтоCjjm≡ 0,1 m1 j2 m2еслиm 6= m1 + m2 ,или, иначе,Cjjm6= 0,1 m1 j2 m2только еслиm = m1 + m2 .Это означает, что суммирование в разложении реально проводитсятолько по одному индексу:X jm|jmi =Cj1 m1 j2 (m−m1 ) |j1 m1 i|j2 m − m1 i.m1462) С одной стороны, mmax = jmax .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
