Учебник - Квантовая механика 2 - Барабанов (1183799), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Это означает, что состояние системы определяется не только волновой функцией начального состояния, но и ее первой производной по времени. Возникаетрасхождение с постулатом I квантовой механики в том его широком толковании, которое было использовано при введении уравнения Шредингера. Во-вторых, уравнение Клейна–Гордона, так же какуравнение Шредингера, приводит к уравнению непрерывности длянекоторой плотности ρ и некоторого тока j. Покажем, что ρ не является положительно определенной величиной, т.е.

не может бытьинтерпретирована как плотность вероятности.Именно, домножая уравнение Клейна–Гордона−~2∂2Ψ= −~2 c2 ∆Ψ + m2 c4 Ψ∂t2на Ψ∗ , а комплексное сопряженное уравнение Клейна–Гордона−~2∂ 2 Ψ∗= −~2 c2 ∆Ψ∗ + m2 c4 Ψ∗∂t2на Ψ, и вычитая второе из первого, получаем:µ¶∂2Ψ∂ 2 Ψ∗−~2 Ψ∗ 2 − Ψ= −~2 c2 (Ψ∗ ∆Ψ − Ψ∆Ψ∗ ).∂t∂t2Приведем левую и правую части к следующему виду:µ¶1 ∂∂Ψ∗∗ ∂ΨΨ−Ψ= ∇(Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ).c2 ∂t∂t∂tОт этого соотношения нетрудно перейти к искомому уравнениюнепрерывности:∂ρ+ div j = 0.∂t18В нерелятивистской квантовой механике плотность тока вероятности определяется формулой:jнерел =~(Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ).2miТаким образом, переписывая полученное уравнение в следующем виде,µ¶1 ∂∂Ψ∗2mi∗ ∂Ψ− 2Ψ−Ψ+div jнерел = 0,c ∂t∂t∂t~мы, фактически, приходим к уравнению непрерывности.

Величинаρ определяется формулой:µ¶i~∂Ψ∗∗ ∂Ψρ=−ΨΨ.2mc2∂t∂tЛегко видеть, что эта величина не является положительно определенной.Уравнение ДиракаДирак предложил другое уравнение для волновой функции релятивистской частицы. Он руководствовался следующими соображениями:1) уравнение должно быть первого порядка по времени;2) время (точнее, переменная x0 = ct) и координаты (x1 = x, x2 == y, x3 = z) должны входить в уравнение симметричным образом.Тогда уравнение для свободной частицы массы m в самой общейформе имеет вид:∂Ψ∂Ψ∂Ψ∂Ψmc+A+B+C+DΨ = 0,∂(ct)∂x∂y∂z~В последнее слагаемое введены фундаментальные постоянные c и ~так, что величина mc/~ имеет размерность обратной длины (~/mc –это комптоновская длина волны для частицы массы m).Приводя полученное уравнение к виду:µ¶∂Ψ∂Ψ∂Ψ∂Ψi~= −i~c α1+ α2+ α3+ βmc2 Ψ.∂t∂x∂y∂z19мы обнаруживаем аналогию с нерелятивистским уравнением Шредингера:∂Ψi~= ĤΨ.∂tВ качестве гамильтониана в данном случае выступает оператор:¶µ∂∂∂Ĥ = −i~c α1+ α2+ α3+ βmc2 ,∂x∂y∂zилиαp̂ + βmc2 ,Ĥ = cαp̂ = −i~∇.Для определения неизвестных коэффициентов αi и β подействуем на полученное уравнение оператором i~∂/∂t.

Тогдаµµ¶¶´∂Ψ∂∂Ψ∂ ³ĤΨ = Ĥ i~i~i~= i~= Ĥ 2 Ψ,∂t∂t∂t∂tто есть∂2Ψ= Ĥ 2 Ψ.∂t2Естественно предположить, что это уравнение второго порядка естьуравнение Клейна–Гордона. Следовательно:−~2Ĥ 2 = −~2 c2 ∆ + m2 c4 .Подставляя в это условие выражение для оператора Ĥ,(cαi p̂i + βmc2 )(cαi p̂i + βmc2 ) = −~2 с2 ∆ + m2 c4 ,мы, в частности, находим, что слагаемое в левой части, линейное поp̂i , т.е. пропорциональное (αi β + βαi )p̂i , должно обращаться в ноль.Таким образом,αi β + βαi = 0⇒αi β = −βαi .Это означает, что αi и β не могут быть действительными или комплексными числами. Но они могут быть, например, матрицами.20Матрицы ДиракаДля определения вида этих матриц вернемся к оператору Ĥ 2 :(−i~cαi ∇i + βmc2 )(−i~cαj ∇j + βmc2 ) == −~2 c2 αi αj ∇i ∇j − i~mc3 (αi β + βαi )∇i + m2 c4 β 2 .Первое слагаемое в правой части удобно переписать в симметризованной форме:αi αj ∇i ∇j + αj αi ∇j ∇iαi αj + αj αi=∇i ∇j .22Таким образом, требуемое равенствоαi αj ∇i ∇j =Ĥ 2 = −~2 c2 ∆ + m2 c4имеет место, если матрицы–коэффициенты удовлетворяют следующим условиям:αi αj + αj αi= δij ,2β 2 = 1,αi β + βαi = 0.Воспользуемся, далее, тем, что оператор Гамильтонаαp̂ + βmc2Ĥ = cαявляется эрмитовым.

Это означает, что матрицы αi и β также должны быть эрмитовыми:αi+ = αi ,β + = β.Напомним, что любая эрмитовая матрица всегда может быть диагонализована с помощью подходящей унитарной матрицы. Т.е., например, для матрицы αi , всегда может быть подобрана такая унитарнаяматрица U (U + U = 1), что αi0 = U αi U + есть диагональная матрица.Следующее наше наблюдение состоит в том, что согласно первымдвум условиям системы, 2 αi = 1,β 2 = 1,21собственными значениями матриц αi и β являются числа ±1.

Этоозначает, что диагонализованные (с помощью подходящих унитарных матриц) матрицы αi0 и β 0 , могут иметь на главной диагоналитолько числа ±1.Покажем, наконец, что след искомых матриц равен нулю. Напомним, что след матрицы A,XSp A =Aii ,iэто сумма ее диагональных элементов. Если след вычисляется отпроизведения матриц, то матрицы под знаком следа можно переставлять, а именно:Ã!X XX XSp (AB) =Aij Bji  =Bji Aij = Sp (BA).ijjiИтак, домножаяαi β = −βαiслева на матрицу β, получаем:βαi β = −αi .Следовательно:Sp (αi ) = −Sp (βαi β) = −Sp (αi ββ) = −Sp (αi )⇒Sp (αi ) = 0.⇒Sp (β) = 0.Аналогичным образом, домножаяαi β = −βαiслева на матрицу αi , находим:β = −αi βαi ,откуда:Sp (β) = −Sp (αi βαi ) = −Sp (αi αi β) = −Sp (β)Заметим, что след матрицы нечувствителен к унитарному преобразованию, то есть, например,Sp (αi0 ) = Sp (U αi U + ) = Sp (αi U + U ) = Sp (αi ) = 0.22Таким образом, принимая во внимание, что на главной диагоналиматриц αi0 и β 0 стоят только числа ±1, мы приходим к выводу: матрицы αi и β могут иметь только четную размерность.Простейшими матрицами четной размерности являются матрицы2 × 2.

Такими матрицами являются, например, матрицы Паули:µ¶µ¶µ¶0 10 −i1 0σ1 =, σ2 =, σ3 =.1 0i 00 −1Матрицы Паули эрмитовы (σi+ = σi ) и удовлетворяют следующимсоотношениям:σi2 = 1,σi σj = −σj σi(i 6= j).Однако матриц Паули всего три. В то же время для построения релятивистского уравнения необходимы четыре матрицы α1 , α2 , α3 иβ.Берем матрицы 4 × 4.

Искомые матрицы в блочной форме (т.е.выраженные через матрицы–блоки размерности 2 × 2) имеют следующий вид (стандартное представление):µ¶µ¶0 σI 0α=, β=,σ 00 −Iгде I – это единичная матрица.Плотность тока вероятности в теории ДиракаИтак, уравнение Дирака для свободной частицы,i~∂Ψαp̂ + βmc2 )Ψ ≡ ĤΨ,= (cα∂tэто матричное уравнение, решением которого является столбецΨ1 Ψ2 Ψ= Ψ3 Ψ4из четырех функций Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 и Ψ4 , называемый биспинором. Заметим, что эрмитово сопряженный биспинор – это строка:Ψ+ = (Ψ∗1 Ψ∗2 Ψ∗3 Ψ∗4 ).23Уравнение Дирака по построению является дифференциальнымуравнением первого порядка по времени в согласии с постулатом Iквантовой механики. Выясним теперь, к какому уравнению непрерывности приводит уравнение Дирака.

Для этого, как и раньше, домножим уравнение для Ψ,i~∂Ψα∇Ψ + mc2 βΨ,= −i~cα∂tна Ψ+ слева. В то же время уравнение для Ψ+ ,−i~∂Ψ+α + mc2 Ψ+ β,= i~c(∇Ψ+ )α∂tдомножим на Ψ справа. Затем, вычитая из первого второе, находим:µ¶∂Ψ++ ∂ΨαΨ).+Ψi~ Ψ= −i~c(Ψ+α(∇Ψ) + (∇Ψ+ )α∂t∂tИлигде∂ρ+ div j = 0,∂tρ = Ψ+ Ψ = |Ψ1 |2 + |Ψ2 |2 + |Ψ3 |2 + |Ψ4 |2 > 0есть положительно определенная плотность вероятности, аj = cΨ+αΨесть плотность тока вероятности.Условие нормировки имеет вид:ZΨ+ Ψ d3 r = 1.R324Лекция №4.

Уравнения Дирака и ПаулиРешение уравнение Дирака для свободной частицыУравнение Дирака для свободной релятивистской частицы,i~∂Ψ= ĤΨ,∂tαp̂ + βmc2 ,Ĥ = cαимеет тот же вид, что и уравнение Шредингера. Соответственно также, как в нерелятивистском случае, стационарное состояние с энергией E описывается волновой функциейΨE (r, t) = ψE (r)e−iEt~,где ψE (r) есть собственная функция оператора Ĥ:ĤψE (r) = EψE (r).Построим решение уравнения Дирака для свободной частицы сэнергией E, т.е. решим стационарное уравнение:¢¡αp̂ + βmc2 ψE (r) = EψE (r).cαПоскольку операторы Ĥ и p̂ коммутируют,αp̂ + βmc2 , p̂] = 0,[cαто в качестве ψE (r) можно взять собственную функцию оператораимпульса, а именно:prψE (r) = uei ~ ,гдеu1µ ¶ u2 ≡ ϕ ,u= u3 χu4µϕ=u1u2¶µ,χ=u3u4¶,есть биспинор, компонентами которого являются постоянные величины.Подставляя предложенное решение в стационарное уравнение,¢¡prprαp̂ + βmc2 uei ~ = Euei ~ ,cα25получаем систему алгебраических уравнений для четырех компонент биспинора u:¡¢αp + βmc2 u = Eu,cαилиµcp0 σσ 0¶µ ¶µϕI2+ mcχ00−I¶µ ¶µ ¶ϕϕ=E.χχДля 2-х компонентных постоянных спиноров ϕ и χ возникает система из двух уравнений:σ χ + mc2 ϕ = Eϕ, cpσσ ϕ − mc2 χ = Eχ.cpσПриведение подобных слагаемых дает:σ χ = 0, (mc2 − E)ϕ + cpσσ ϕ + (mc2 + E)χ = 0.−cpσУсловие разрешимости этой системы имеет вид:°°° mc2 − E°σpcσ° = 0,det °2° −cσσpmc + E °илиσ p)(σσ p) = 0.(m2 c4 − E 2 ) + c2 (σВыполним преобразование (пользуясь свойствами матриц Паули):σ p)(σσ p) = σi σj pi pj = (δij + ieijk σk )pi pj = p2 + iσk eijk pi pj .(σВ силу того, что тензор pi pj симметричен, а тензор eijk антисимметричен по индексам i и j, их свертка обращается в ноль.

Поэтомуусловие разрешимости принимает вид:m2 c4 − E 2 + p2 c2 = 0.Таким образом, для энергии E свободной частицы с импульсом pнаходим:pE = ± p2 c2 + m2 c4 .26ПустьE=pp2 c2 + m2 c4 > 0,тогдаχ=σϕcpσ,2mc + Eтак что|χ| ¿ |ϕ|,если cp ¿ E ' mc2или v ¿ c.Следовательно в нерелятивистском случае мы, фактически, имеемдело с 2-х компонентным спинором, а не с биспинором:µ ¶pr−EtϕΨ(r, t) 'ei ~ .0В нерелятивистской квантовой механике 2-х компонентные спинорыиспользуются для описания частиц со спином 1/2.

Таким образоммы приходим к выводу, что уравнение Дирака есть релятивистскоеуравнение для частицы со спином 1/2.Заметим, что если взять отрицательное значение энергииpE = − p2 c2 + m2 c4 < 0,тоϕ=−При этом|ϕ| ¿ |χ|,т.е.σχcpσ.mc2 + |E|если cp ¿ |E| ' mc2 ,µ ¶pr−Et0Ψ(r, t) 'ei ~ .χТаким образом, нижние компоненты биспинора заведомо необходимы для описания свободно движущихся частиц с отрицательнымиэнергиями.Существование решений с отрицательными энергиями позволило Дираку выдвинуть гипотезу о существовании античастиц.

Этопредсказание теории было подтверждено экспериментами (для всехчастиц со спином 1/2 обнаружены античастицы). Суть этой идеисостоит в том, что вакуум – это такое состояние, что все уровни с27отрицательными энергиями заняты частицами, а все уровни с положительными энергиями – свободны.

Тогда переход частицы из состояния с отрицательной энергией E1 < 0 в состояние с положительнойэнергией E2 > 0 интерпретируется как рождение пары – частицыс энергией E2 и античастицы с энергией |E1 |. Обратный переход изсостояния с положительной энергией E2 > 0 в состояние с отрицательной энергией E1 < 0, в котором выделяется энергия |E1 | + E2 ,интерпретируется как анигиляция (взаимное уничтожение) частицыи античастицы.Уравнение Дирака для частицы во внешнем полеРассмотрим релятивистскую частицу с зарядом e в электромагнитном поле. Функция Лагранжа этой частицы имеет вид:rv2e2L = −mc 1 − 2 − eΦ + Avv ,ccгде Φ(r, t) и A(r, t) – скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля.

Обобщенный импульс частицы определяется формулой:∂LemvP== p + A, p = p,∂vc1 − v 2 /c2тогда как для обобщенной (полной) энергии получаем:ε=v∂L− L = E + eΦ,∂vmc2E=p1 − v 2 /c2.Релятивистская связь между энергией и импульсом свободной частицы,E 2 = p2 c2 + m2 c4 ,переходит в связь между обощенной энергией и обобщенным импульсом релятивистской частицы во внешнем поле:³e ´22(ε − eΦ) = P − A + m2 c4 .cСоответственно естественно предположить, что при наличии электромагнитного поля уравнение Клейна–Гордона принимает вид:µ¶2³∂e ´2i~ − eΦ Ψ = c2 −i~∇ − A Ψ + m2 c4 Ψ.∂tc28Уравнение Дирака для свободной частицы было получено в результате линеаризации уравнения Клейна–Гордона. Предполагая,что та же линеаризация справедлива и при наличии электромагнитного поля, находим:µ¶³∂e ´α −i~∇ − A Ψ + βmc2 Ψ,i~ − eΦ Ψ = cα∂tcили³∂Ψe ´α −i~∇ − A Ψ + βmc2 Ψ + eΦΨ.= cα∂tcТаким образом, уравнение для волновой функции релятивистскойчастицы со спином 1/2 во внешнем электромагнитном поле выглядитточно так же, как уравнение Шредингера,i~i~∂Ψ= ĤΨ,∂tно гамильтониан в данном случае имеет вид:³e ´α −i~∇ − A + βmc2 + eΦ.Ĥ = cαcУравнение ПаулиРассмотрим нерелятивистский предел, когда энергия E положительна и мало отличается от энергии покоя частицы mc2 .

Характеристики

Список файлов книги