Учебник - Квантовая механика 2 - Барабанов (1183799), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Представим волновую функцию в форме:µ¶2ϕ(r, t)−i mc~ tΨ(r, t) = e.χ(r, t)Подстановка в уравнение Дирака дает:µ ¶µ ¶mc2 tmc2 t ∂ϕϕmc2 e−i ~+ i~ e−i ~=χ∂t χµ ¶µ ¶³mc2 tmc2 te ´ϕϕα p̂ − A e−i ~= cα+ βmc2 e−i ~+χχc+ eΦ e−i29mc2 t~µ ¶ϕ.χ2Сокращаем, далее, общий множитель e−imc t/~ и переписываем полученное уравнение, пользуясь явными выражениями для матриц αи β:µ ¶µ ¶µ¶µ ¶∂ ϕe ´ ϕϕ0 σ ³2mc+ i~=cp̂ − A+χσ 0χ∂t χcµ+ mc2I00−Iµ ¶¶µ ¶ϕϕ+ eΦ.χχПолучаем систему:³e ´∂ϕ2σp̂−=cσA χ + mc2 ϕ + eΦϕ,mcϕ+i~∂tc³e ´∂χ mc2 χ + i~σ p̂ − A ϕ − mc2 χ + eΦχ,= cσ∂tcили³e ´∂ϕσ p̂ − A χ + eΦϕ, i~ ∂t = cσc³∂χe ´ 2mc2 χ + i~σ p̂ − A ϕ + eΦχ.= cσ∂tcОбратимся ко второму уравнению в этой системе.

В нерелятивистском случае:¯¯¯ ∂χ ¯2¯|eΦ| ¿ mc , ¯i~ ¯¯ ¿ mc2 |χ|.∂tПоэтому с точностью до членов первого порядка по малому параметру v/c получаем³e ´σ p̂ − Acχ'ϕ, |χ| ¿ |ϕ|.2mcИными словами, в нерелятивистском приближении биспинор¶µmc2 tϕ(r, t)e−i ~Ψ(r, t) '0полностью определяется спинором ϕ(r, t).30Подставляя в первое уравнение системы приближенное выражение для χ, мы получаем уравнение для спинора ϕ, справедливое сточностью до членов первого порядка по v/c, а именно:³e ´³´σp̂−A∂ϕecσ p̂ − A= cσϕ + eΦϕ.i~∂tc2mcВыполним преобразование:³³e ´ ³e ´e ´³e ´σ p̂ − A σ p̂ − A = σi σj p̂i − Ai p̂j − Aj =cccc³´³´ee= (δij + iσk eijk ) p̂i − Ai p̂j − Aj =ccµ¶³e ´2eee2= p̂ − A + iσk eijk p̂i p̂j − p̂i Aj − Ai p̂j − 2 Ai Aj .ccccЗаметим, чтоp̂i Aj = −i~(∇i Aj (r, t)) + Aj p̂i .Все слагаемые, представляющие собой свертки симметричных тензоров p̂i p̂j , (Ai p̂j + Aj p̂i ) и Ai Aj с антисимметричным тензором eijk ,обращаются в ноль.

Соответственно результат преобразования имеетвид:³e ´ ³e ´σ p̂ − A σ p̂ − A =cc³³ e´e ´2= p̂ − A + iσk eijk − (−i~(∇i Aj )) =cc³e ´2 e~= p̂ − A − σ H,ccгде H = rot A – это напряженность магнитного поля.Таким образом мы получили уравнение для 2-х компонентнойволновой функции ϕ нерелятивистской частицы со спином 1/2 вовнешнем электромагнитном поле. Оно выглядит следующим образом,³e ´2Ap̂−∂ϕe~ci~=ϕ−σ Hϕ + eΦϕ,∂t2m2mc31и называется уравнением Паули. Уравнение Паули есть, фактически,уравнение Шредингера,i~∂ϕ= Ĥϕ,∂tс гамильтонианом Паули,³e ´2p̂ − Ae~cĤ =−σ H + eΦ,2m2mcкоторый представляет собой оператор полной энергии частицы соспином 1/2 во внешнем электромагнитном поле.В стационарном электрическом поле, когда A = 0 и H = 0, гамильтонианp̂2Ĥ =+ U (r)2mимеет привычный вид, гдеU (r) = eΦ(r)есть потенциальная энергия частицы с зарядом e.Слагаемое в гамильтониане Паули, пропорциональное σ H, естественно интерпретировать как энергию взаимодействия магнитногомомента с магнитным полем.

Посколькуŝ =σ2есть оператор спина, тоe~e~µH.ŝH = −µ̂σH = −2mcmcТаким образом, оператор магнитного момента частицы определяетсяформулой:e~eµ=µ̂ŝ =(~ŝ).mcmcВ общем случае коэффициент пропорциональности между вектором магнитного момента M и вектором углового момента L называется гиромагнитным отношением. Для системы частиц с массамиmi и зарядами ei (i = 1, 2 . . .

N ) векторы M и L имеют вид:X eiXM=[ri × vi ], L =mi [ri × vi ].2cii−32Легко видеть, что если ei /mi = e/m = const, т.е. если отношениезаряда к массе для всех частиц одинаково, тоM=eL,2mcгде коэффициент пропорциональности e/2mc называют нормальнымгиромагнитным отношением.Согласно уравнению Паули (полученному из уравнения Дирака)µикоэффициент пропорциональности между магнитным моментом µ̂собственным угловым моментом (спином) ~ŝ частицы равен e/mc,т.е. вдвое превышает нормальное гиромагнитное отношение.

Соответственно величину e/mc часто называют аномальным гиромагнитным отношением.Лекция №5. Релятивистские поправки второгопорядка по v/cПостановка задачиНа предыдущей лекции мы осуществили преобразование уравнения Дирака, предполагая, что оно описывает нерелятивистскуючастицу. При этом мы удерживали слагаемые первого порядка помалому параметру v/c. В результате было получено уравнение Паули. В отсутствие магнитного поля (A = 0 и H = 0) уравнение Паулипереходит в обычное нерелятивистское уравнение Шредингера,µ 2¶∂ϕp̂i~=+ U (r) ϕ,∂t2mдля частицы в стационарном потенциальном поле U (r). Если, к примеру, электрон движется в поле неподвижного протона, тоU (r) = −e2.rТаким образом, согласно теории Дирака не существует никаких поправок первого порядка по v/c к энергиям стационарных состоянийатома водорода (и любой другой системы, где частица движется встационарном поле U ).33Предположим, что такие поправки существуют во втором порядке по малому параметру v/c.

Упростим задачу вычисления такихпоправок, взяв в качестве отправной точки уравнение Дирака длярелятивистской частицы в стационарном поле U (r) (магнитного поля нет, т.е. A = 0 и H = 0):i~∂Ψ= ĤΨ,∂tαp̂ + βmc2 + U (r).Ĥ = cαУравнение для спинора ϕГамильтониан Ĥ не зависит от t. Поэтому волновая функция стационарного состояния с энергией E имеет вид:ΨE (r, t) = ψ(r)e−iEt~,где ψ(r) есть решение стационарного уравнения:¡¢αp̂ + βmc2 + U (r) ψ(r) = Eψ(r).cαВыполним преобразование этого уравнения, предполагая, что оноописывает нерелятивистскую частицу, удерживая слагаемые второгопорядка по v/c.В нерелятивистской области имеем:E = mc2 + E 0 ,где |E 0 | ¿ mc2 .Выделяем в биспиноре, как обычно, верхнюю и нижнюю компоненты:¶µϕ(r).ψ(r) =χ(r)Расписываем более подробно стационарное уравнение:¶µ¶µ¶µ¶ µϕ(r)I0ϕ(r)0 σp̂+ mc2+сχ(r)0 −Iχ(r)σ 0µ+ U (r)ϕ(r)χ(r)¶µ= (mc2 + E 0 )ϕ(r)χ(r)¶.Мы получаем систему уравнений для 2-х компонентных спиноровϕ(r) и χ(r): c σ p̂χ + mc2 ϕ + U ϕ = mc2 ϕ + E 0 ϕ,c σ p̂ϕ − mc2 χ + U χ = mc2 χ + E 0 χ,34или c σ p̂χ + U ϕ = E 0 ϕ,c σ p̂ϕ = (2mc2 + E 0 − U )χ.Второе из этих уравнений можно представить в следующей форме:χ(r) =2mc21c σ p̂ϕ(r) =+ E 0 − U (r)1c σ p̂ϕ(r) '2mc2 (1 + (E 0 − U (r))/2mc2 )µ¶1E 0 − U (r)'1−σ p̂ϕ(r).2mc2mc2=Понятно, что|χ| ¿ |ϕ|,если v ¿ c,то есть задача сводится к определению 2-х компонентного спинораϕ(r).Первое уравнение системы переписываем в следующем вид嵶1E 0 − U (r)c σ p̂1−σ p̂ϕ(r) + U (r)ϕ(r) = E 0 ϕ(r).2mc2mc2Легко видеть, что1−E 0 − U (r)=2mc2µ¶E0U (r)1−+,2mc22mc2где первое слагаемое в правой части есть постоянная величина.

Поэтому имеем:µ¶µ¶E0E0σ p̂ 1 −σ p̂ = 1 −σi σj p̂i p̂j =2mc22mc2µ¶µ¶E0E0p̂2 .= 1−(δij + i eijk σk ) p̂i p̂j = 1 −2mc22mc2Мы воспользовались тем, что свертка симметричного тензора p̂i p̂j сантисимметричным тензором eijk равна нулю.35Теперь уравнение для спинора ϕ принимает ви䵶 2E0p̂1U (r)1−ϕ(r) + U (r)ϕ(r) +σ p̂σ p̂ ϕ(r) = E 0 ϕ(r),2mc2 2m2m2mc2ил赶p̂21σ p̂ U (r) σ p̂ ϕ(r) =+ U (r) ϕ(r) +2 c22m4m|{z}|{z}рел. поправкаĤ0µ=E 1+0p̂22 2|4m{zc }¶ϕ(r).рел. поправкаУравнение для спинора ϕ̃, нормированного на единицуНо! Все не так просто. Условие нормировки биспинора,Zhψ|ψi = ψ + ψ d3 r = 1илиZ(ϕ+ ϕ + χ+ χ) d3 r = 1,в рассматриваемом приближении должно оставаться верным с точностью до слагаемых второго порядка по v/c.

Легко видеть, что еслинижнюю компоненту биспинора взять в форме:χ(r) 'σ p̂ϕ(r),2mcто χ+ χ будет иметь как раз второй порядок малости по отношениюк ϕ+ ϕ (то есть нет необходимости в более точных формулах, связывающих χ с ϕ). Условие нормировки принимает вид:!ZÃ++ σ p̂ σ p̂ϕ ϕ+ϕϕ d3 r = 1,2mc 2mcилиZµϕ+ 1 +p̂24m2 c236¶ϕ d3 r = 1.Мы видим, что в рассматриваемом приближении:hϕ|ϕi =6 1.В то же времяµhϕ| 1 +p̂24m2 c2¶|ϕi = 1,то есть с точностью до слагаемых второго порядка по v/c имеем:µhϕ| 1 +илиµh 1+p̂28m2 c2¶p̂28m2 c2¶2µϕ| 1 +|ϕi = 1p̂28m2 c2¶ϕi = 1.Таким образом, естественно ввести 2-х компонентную волновуюфункцию:µ¶p̂2ϕ̃(r) = 1 +ϕ(r),8m2 c2нормированную на единицу:hϕ̃|ϕ̃i = 1.Выведем уравнение, определяющее функцию ϕ̃(r).С точностью до слагаемых второго порядка функция ϕ выражается через функцию ϕ̃ следующим образом:µ¶p̂2p̂2ϕ(r) = 1 −ϕ̃(r)≡T̂ϕ̃(r),T̂=1−.8m2 c28m2 c2Поэтому для спинора ϕ̃ получаем уравнение:µ¶µ¶1p̂2p̂20σσĤ0 T̂ ϕ̃ +(σp̂)U(r)(σp̂)T̂ϕ̃=E1+1−ϕ̃,4m2 c24m2 c28m2 c2илиĤ0 T̂ ϕ̃ +µ¶p̂210σσp̂)T̂ϕ̃=E1+p̂)U(r)(σ(σϕ̃.4m2 c28m2 c237Домножая это соотношение на T̂ слева, с той же точностью находим:T̂ Ĥ0 T̂ ϕ̃ +1σ p̂)U (r)(σσ p̂)T̂ ϕ̃ = E 0 ϕ̃.T̂ (σ4m2 c2Иными словами, мы получили стационарное уравнение Шредингера,Ĥ 0 ϕ̃(r) = E 0 ϕ̃(r),для нормированного на единицу спинора ϕ̃, описывающего нерелятивистскую частицу с энергией E 0 в потенциале U (r).

Гамильтонианимеет вид:µ 2¶p̂10σ p̂)T̂ .σ p̂)U (r)(σĤ = T̂+ U (r) T̂ +T̂ (σ2m4m2 c2|{z}Ĥ0Задача состоит в том, чтобы выделить из этого оператора гамильтониан Ĥ0 и поправочные слагаемые второго порядка по v/c.Первое слагаемое в операторе Ĥ 0 может быть преобразовано следующим образом:µ 2¶p̂T̂+ U (r) T̂ =2m=p̂22m'p̂22mµ=µ1−µ1−p̂28m2 c2p̂24m2 c2¶2µ+ 1−p̂28m2 c2¶+ U (r) −¶µU (r) 1 −p̂28m2 c2¶'p̂2p̂2U (r) − U (r) 2 2 =228m c8m c¶1p̂2p̂41p̂2 U (r) −+ U (r) −−U (r)p̂2 .2m8m3 c28m2 c28m2 c2Выполним преобразование оператора p̂2 U :p̂2 U = p̂i p̂i U = p̂i (p̂i U ) + p̂i U p̂i == (p̂2 U ) + (p̂i U )p̂i + (p̂i U )p̂i + U p̂2 == (p̂2 U ) + 2(p̂i U )p̂i + U p̂2 .38Упростим теперь второе слагаемое в операторе Ĥ 0 :11σ p̂)U (r)(σσ p̂)T̂ 'σ p̂)U (r)(σσ p̂) =T̂ (σ(σ4m2 c24m2 c2=1(δij + i eijk σk ) p̂i U p̂j =4m2 c2=1(δij + i eijk σk ) ((p̂i U )p̂j + U p̂i p̂j ) =4m2 c2=¢1 ¡(p̂i U )p̂i + i σk eijk (p̂i U )p̂j + U p̂2 .224m cТаким образом, оператор Ĥ 0 с точностью до слагаемых второгопорядка по v/c имеет вид:Ĥ 0 = Ĥ0 −−p̂4111−(p̂2 U ) −(p̂i U )p̂i −U p̂2 −3222228m c8m c4m c8m2 c21i11U p̂2 +(p̂i U )p̂i +σk eijk (p̂i U )p̂j +U p̂2 .2222228m c4m c4m c4m2 c2Легко видеть, что целый ряд слагаемых в полученном выражениисокращается.

Окончательный результат имеет вид:Ĥ 0 = Ĥ0 + V̂1 + V̂2 + V̂3 ,гдеV̂1 = −p̂4,8m3 c2V̂2 = −1(p̂2 U ),8m2 c2V̂3 =iσk eijk (p̂i U )p̂j4m2 c2есть релятивистские поправки к гамильтониану Ĥ0 . Влияние этихоператоров на энергии стационарных состояний может быть исследовано в рамках теории возмущений.Физический смысл поправок второго порядка по v/cОператор V̂1 может быть интерпретирован как релятивистскаяпоправка к оператору кинетической энергии. В самом деле, кинетическая энергия K – это разность полной энергии E и энергии покоя39mc2 . В нерелятивистском случае получаем:rpp2222224K = p c + m c − mc = mc 1 + 2 2 − mc2 'm cµ¶p/mc¿1p2p4p2p4' mc2 1 +−− mc2 =−.22442m c8m c2m 8m3 c2Оператор1~22(p̂U)=∆U8m2 c28m2 c2может быть интерпретирован как поправка к потенциальной энергии, обусловленная невозможностью точной локализации частицы(поправка Дарвина).

Характеристики

Список файлов книги