Учебник - Квантовая механика 2 - Барабанов (1183799), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В самом деле, осьOz выбрана нами вдоль направления движения падающих частиц.89Поэтому она является осью аксиальной (цилиндрической) симметрии не только для сферически симметричного потенциала, но и дляволновой функции падающих частиц,ψ0 (r) = eikr = eikr cos θ ,которая, как видно, не зависит от азимутального угла ϕ.
Следовательно волновая функция рассеянных частиц также не зависит отϕ.В силу сферической симметрии потенциала имеют место следующие коммутационные соотношения:[Ĥ, ˆlz ] = 0.[Ĥ, l̂2 ] = 0,Это означает, что операторы Ĥ, l̂2 и ˆlz имеют общую систему собственных функций. Следовательно мы вправе искать частные решения уравнения Шредингера в виде:ψ(r) = Rl (r)Ylm (θ, ϕ).В полярных координатах уравнение Шредингера выглядит следующим образом:ÃÃ!!µ¶1 ∂~2l̂2~2 k 22 ∂−r− 2 + U (r) ψ(r) =ψ(r).22m r ∂r∂rr2mПодставляя в него выписанные частные решения, получаем:µµ¶¶¶µ1 ∂l(l + 1)~2 k 2~22 ∂r−+U(r)R(r)=Rl (r).−l2m r2 ∂r∂rr22mЭто уравнение при заданной энергии E = ~2 k 2 /2m > 0 имеет решения для любого значения орбитального момента:l = 0, 1, 2 .
. .Поэтому общее решение уравнения Шредингера представляет собойсуперпозицию частных, то есть:Xψ(r) =clm Rl (r)Ylm (θ, ϕ).lm90В случае сферически симметричного потенциала, как мы уже выяснили, это решение не может зависеть от угла ϕ. В то же времяимеем:Ylm (θ, ϕ) ∼ Plm (cos θ)eimϕ .Таким образом, в суперпозицию следует включать только те частные решения, для которых m = 0. Соответствующие сферическиегармоники имеют вид:r2l + 1Yl 0 (θ) =Pl (cos θ).4πВключая нормировочные постоянные в радиальные функции Rl (r),мы переписываем общее решение в следующей форме:Xψ(r) =Rl (r)Pl (cos θ).lКаждое слагаемое в этой сумме называется парциальной волной. Соответственно данный способ построения решения уравнения Шредингера для задачи рассеяния называется методом парциальныхволн.Естественно ожидать, что потенциал U (r) существенно влияетлишь на конечное число слагаемых в выписанной сумме по l.
В самомделе, пусть b – это прицельный параметр падающей классическойчастицы с импульсом p = ~k. Для орбитального момента падающейчастицы относительно начала координат имеем:bp = ~l⇒b=l.kЕсли прицельный параметр частицы b превосходит радиус потенциала a, то классическая частица не рассеивается. Соответственноможно ожидать, что парциальные волны с орбитальными моментами такими, чтоlb = > a ⇒ l > ka,kтакже не будут испытывать действия потенциала U (r).91Сферические функции Бесселя, Неймана и ГанкеляРадиальную функцию Rl (r) удобно представить в виде отношения:ul (r)Rl (r) =.rДля функции ul (r) тогда получаем:µ¶~2 00~2 l(l + 1)~2 k 2−ul (r) + U (r) +ul (r) =ul (r)22m2mr2mили (после домножения обеих частей уравнения на 2m/~2 )µ¶2mU (r) l(l + 1)00−ul (r) ++ul (r) = k 2 ul (r).~2r2Введем безразмерную переменную:x = kr.Тогда (после деления на k 2 ) уравнение принимает следующий вид:µ¶2mU (r) l(l + 1)−u00l (x) ++ul (x) = ul (x)~2 k 2x2илиµu00l (x) −2mU (r) l(l + 1)+~2 k 2x2¶ul (x) + ul (x) = 0.Пустьr>a⇒U (r) = 0.Тогда уравнение для радиальной функции ul (x) принимает ”универсальный” (одинаковый для любой задачи рассеяния) вид:u00l (x) −l(l + 1)ul (x) + ul (x) = 0.x2Аналогичное ”универсальное” уравнение может быть выписано длярадиальной функции Rl (x) = ul (x)/x.Если l = 0, тоu000 (x) + u0 (x) = 0,92так чтоu0 = sin x илиu0 = cos x.Следовательно,R0 (x) =sin xxилиR0 (x) =cos x.xВ случае l > 1 решениями соответствующих ”универсальных” уравнений (справедливых при x > ka) являются следующие функции:µlRl (x) = jl (x) ≡ (−x)илиµRl (x) = nl (x) ≡ (−x)l1 dx dx1 dx dx¶l¶lsin xxcos x.xЭтот результат может быть доказан с помощью метода математической индукции.
Функции jl (x) и nl (x) называются сферическимифункциями Бесселя и Неймана соответственно. Их асимптотики выглядят так:при x → 0,jl (x) →xl,(2l + 1)!!nl (x) →(2l − 1)!!,xl+1nl (x) →cos(x −xгде по определению (−1)!! = 1;при x → ∞,jl (x) →sin(x −xlπ2 ),lπ2 ).Сферические функции Бесселя и Неймана представляют собойлинейно независимые решения дифференциального уравнения второго порядка для радиальной функции. В качестве двух линейнонезависимых решений того же уравнения могут быть также взяты(+)(−)две сферические функции Ганкеля hl (x) и hl (x), которые определяются следующим образом:(±)hl(x) ≡ jl (x) ∓ inl (x).93При x → ∞ получаем:(±)hl (x)1→x=µµlπsin x −2¶µ¶¶lπ∓ i cos x −=2(∓i) ±i(x−lπ/2)e±ixe= (∓i)l+1.xxТаким образом, в любой задаче рассеяния при r > a имеем:³´(−)(+)(+)(−)Rl (kr) = Al hl (kr) + Bl hl (kr) = Al hl (kr) + Sl hl (kr) .Соответственно волновая функция принимает вид:´X ³ (−)(+)ψ(r)|r>a =Al hl (kr) + Sl hl (kr) Pl (cos θ).lЯвное выражение для амплитуды рассеянияПредположим, что рассеивающий потенциал совершенно отсутствует (U ≡ 0 при всех r).
Тогда, с одной стороны, волновой функцией является плоская волна:ψ0 (r) = eikr = eikr cos θ .С другой стороны, эта плоская волна должна быть представима ввиде суммы парциальных волн при всех r > 0. Соответствующееразложение действительно имеет место и называется формулой Релея:Xeikr =(2l + 1) il jl (kr)Pl (cos θ) =l=X 2l + 1l2³´(−)(+)il hl (kr) + hl (kr) Pl (cos θ).Мы видим, что в случае U ≡ 0 коэффициенты Al и Sl принимаютследующие значения:Al =2l + 1 li,294Sl = 1.Рассмотрим теперь общий случай, когда потенциал U (r) отличенот нуля, но исчезает при r > a. Тогда в этой же области r > aволновая функция может быть представлена в форме:X(−)(+)ψ(r)|r>a =Al (hl (kr) + Sl hl (kr))Pl (cos θ) =lX=(−)Al (hl(+)(kr) + hl(kr))Pl (cos θ)−l−X(+)Al (1 − Sl )hl(kr)Pl (cos θ).lПервая сумма, как мы видели, при надлежащем выборе Al превращается в плоскую волну eikr .
Возьмем теперь вторую сумму с темиже коэффициентами Al ,Al =2l + 1 li,2и перейдем к пределу r → ∞. Используя асимптотическую формулу(+)для функции Ганкеля hl (x), находим:X(+)−Al (1 − Sl )hl (kr)Pl (cos θ) →l→−X 2l + 12lÃ=il (1 − Sl )(−i)l+1eikrPl (cos θ) =kri X(2l + 1)(1 − Sl )Pl (cos θ)2k!leikreikr= f (θ).rrТаким образом, общее решение уравнения Шредингера при r > a,обладающее правильной асимптотикой, имеет вид:ψ(r)|r>a =X 2l + 12l= eikr −X 2l + 1l2(−)il (hl(+)(kr) + Sl hl(+)il (1 − Sl )hl(kr))Pl (cos θ) =(kr)Pl (cos θ)95→eikr + f (θ)eikr,rгде последний переход выполнен в пределе r → ∞.
Соответственно для амплитуды упругого рассеяния получаем следующее явноевыражение:f (θ) =i X(2l + 1)(1 − Sl )Pl (cos θ).2klНа прошлой лекции было показано, что дифференциальное сечение упругого рассеяния определяется формулой:dσ= |f (θ)|2 .dΩТаким образом, определив f (θ), мы полностью решаем задачу рассеяния.В методе парциальных волн амплитуда рассеяния f (θ) задаетсянабором амплитуд Sl , где l = 0, 1, 2 . . . Численное значение амплитуды Sl определяется следующим образом. В парциальной волне lнаходится радиальная функция Rl (r) на интервале 0 6 r < a.
Еесшивка в точке r = a с радиальной функцией³´(−)(+)Rl (r)|r>a = Al hl (kr) + Sl hl (kr)дает Sl . Расчеты показывают, что при l > ka амплитуды Sl становятся близкими к единице. То есть парциальные волны с l > ka неиспытывают действия потенциала. Это же следует из полуклассических соображений, рассматривавшихся ранее в этой лекции.Лекция №14. Упругое и неупругое рассеяние.Оптическая теоремаПолное сечение упругого рассеянияНа прошлой лекции мы рассматривали задачу рассеяния на сферически симметричном потенциале U (r) с радиусом a.
Мы показали,что вне области действия потенциала волновая функции частицыимеет вид:ψ(r)|r>a =X 2l + 1l2(−)il (hl(+)(kr) + Sl hl96(kr))Pl (cos θ),при этом:eikr.rСоответственно для дифференциального сечения упругого рассеяния было получено:¯¯2¯ i X¯dσ¯¯= |f (θ)|2 = ¯(2l + 1)(1 − Sl )Pl (cos θ)¯ .¯ 2k¯dΩψ(r)|r→∞eikr + f (θ)→lПолное сечение упругого рассеяния определяется формулой:Zdσσe =dΩ,dΩто есть:σe =X1 X(2l0 + 1)(1 − Sl∗0 ) ×(2l + 1)(1 − Sl )24k0llZ× Pl (cos θ)Pl0 (cos θ)dϕ sin θdθ.Пользуясь условиями ортонормировки для полиномов Лежандра,Z2Pl (cos θ)Pl0 (cos θ) sin θdθ =δll0 ,2l + 1находим:σe =X12π X(2l + 1)|1 − Sl |2 .2π(2l + 1)2 |1 − Sl |2= 224k2l + 1kllФазы рассеянияЛегко видеть, что волновая функция частицы вне области действия потенциала может быть представлена в виде суперпозициидвух волн, одна из которых является асимптотически сходящейся,а другая – асимптотически расходящейся. В самом деле, имеем:ψ(r)|r>a = ψ (−) (r) + ψ (+) (r),97гдеψ (−) (r) =X 2l + 12lψ (+) (r) =X 2l + 12l(−)il hl(kr)Pl (cos θ),(+)il Sl hl(kr)Pl (cos θ).Учитывая асимптотическое поведение функций Ганкеля при r → ∞,(−)(kr) → il+1(−)i(r) →2khle−ikr,kr(+)hl(kr) → (−i)l+1eikr,krполучаем:ψψ(+)ÃX(−1)l (2l + 1)Pl (cos θ)!li(r) → −2krÃX!(2l + 1)Sl Pl (cos θ)le−ikr,reikr.rПлотность радиального тока, связанного со сходящейся волной,в асимптотике имеет вид:µ¶¯∗ ∂ψ (−)~¯jr(−) ¯=ψ (−)− к.с.
=2mi∂rr→∞~ 1=2mi 4k 2ÃX!2 µl(−1) (2l + 1)Pl (cos θ)l¶eikr ∂ e−ikr− к.с. .r ∂r rОставляя только те слагаемые, которые убывают по закону 1/r2 ,находим:¯¯jr(−) ¯=r→∞~ 1=2mi 4k 2Ã~k 1=− 2mr 4k 2X!2 µl(−1) (2l + 1)Pl (cos θ)−iklÃX!2l(−1) (2l + 1)Pl (cos θ)l98.µ¶¶11−ik=r2r2Аналогично с той же точностью для плотности радиального тока,связанного с расходящейся волной, имеем:¯¯jr(+) ¯=r→∞~=2miÃ!2µ¶(+)X~k 1(+) ∗ ∂ψψ− к.с. =(2l + 1)Sl Pl (cos θ) .∂rmr2 4k 2lПолное число частиц, уходящих в единицу времени к рассеивающему центру, определяется интегралом:ZdN (−)= |jr(−) |r2 dΩ.dtПользуясь ранее выписанным условием ортонормировки для полиномов Лежандра, получаем:XdN (−)~k 1~k π X2=2π(2l + 1)2=(2l + 1).2dtm 4k2l + 1m k2llАналогично для полного числа частиц, уходящих в единицу времениот рассеивающего центра, находим:ZdN (+)= |jr(+) |r2 dΩ,dtтак что:X2dN (+)~k 1~k π X22(2l+1)|S|(2l + 1)|Sl |2 .=2π=ldtm 4k 22l + 1m k2llЕсли имеет место только упругое рассеяние, то:dN (−)dN (+)=dtdt⇒|Sl | = 1.В этом случае удобно представить амплитуды Sl в виде:Sl = e2iδl ,где δl – это фаза рассеяния l-й парциальной волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
