Овчинкин часть 3 (1181127), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Пусть уг(ч!) и /г(чг) — функции распределения частиц сортов ! и 2 по скоростям. Будем считать, что эти функции нормированы, т. е. ~ у(ч) г/ч= 1. Тогда каждую секунду в каждом смз объема плазмы число актов взаимодействия частиц, имеющих скорости от о! до в! + Инг, и от нг до ог+ й~г равно Ыл/гг — — л!уг!ч!)лг/г(чг) )ч! — чг) о!)ч! — чг)) а!ч! !/чг, где л! и лг — плотности частиц, оО ) — сечение реакции, зависящее от относительной скорости частиц, ч = ч! — чг (рис. 184>. Следовательно, г/!г — — ~ ~ с/ч Вч и!/!(ч!)н / !ч )оо!и) )см з с ').
3!5 Считая, что плотность часгиц л, и из неизменны, получаем А)! = и!нзоо, где ор = ~ ~ И»! 4(тз г!(т!)У2(тз]ош(!'). Запишем уравнение для изменения концентрации ядер дейтерия ид со временем диа (иэ — 1) иа — = — 2 — иаи$ш' $+Ч. д! 2 Здесь первое слагаемое описывает убыль ядер дейтерия из-за столкновений друг с другом. Одно ядро д имеет (ие — 1) столкновений (в расчете на единицу объема); и„ядер имеют иа(иа — 1) — и42 эь столкновений. Для реакции (г(, г() безразИт личен порядок дейтронов в паре, поэтому ! 2 т, число взаимодействуюших пар равно ад/2, те т Итт и в каждом акте реакции исчезают два дейтг трона. Таким образом, диэ г— — = — адов — иди! е 4, + !).
Аналогично, для ядер трития можно о» записать; ди, 1 из(иа-1) Рнс. !84 — = — и,леоне, + — оед . дг 2 2 Во втором слагаемом первый коэффициент 1/2 учи! ываег вероятность получения трития в результате столкновения пары дейтронов. Таким образом, ди~ —, 1 г — и леона + — иао!~44 д! 4 В стационарном состоянии производные ла и й! равны нулю, и мы получаем уравнения баланса ! г 4 = и,!о!'4,! + и,!и,оаа,, — иаоедд = иди оаш, 1 г откуда вычисляем стационарную концентрацию ядер трития и! = — ид 1 (о" Ы) 1З -З =10 см 4 (аяеб) а также интенсивность поступления в зону реакции дейтронов от внешнего источника а= — идоаад — — 1,25 1О 5 2 !4 ядер 4 с см Выделяющаяся в термоядерных реакциях мошносгь И' может быть выражена через скорости изменения концентраций ядер дейтерия по каналам (д,д) и(д,!) И'=а 2 д, +а д, 316 где Дна и Ца! — энсрговыделения в реакциях(д, д) и (б, !).
Коэффициент 1/2 учитывает, что для реакции (д, б) нужно два дейтрона Поскольку эта реакция идет с равной вероятностью по двум каналам, го Даа = П!+ Пз 2 , (еа = (еэ. Окончательно, 4 сом. ' сму' 9.21. Число реакций, происходящих в ! с в ! смз, равно лзо(!н)н/2, где черта означает усреднение по всем значениям относительных скоростей атомов дейтерия (см. задачу 9.20). „г 9.22.
И'= — ояя ~ ' + ' ~ = 2,88 107 — ~к" — = 2,88 — т(см, такжеза- дачу 9.20) 2 9.23. и' = лал!о! 4,Д4! — — — ои~Щап где ла — — и, = а/2. (см. задачу 9.20). г/ = И'г'. При /сТ = 1 кэВ И' = 4,36 ° 1О 5 Вт/смэ, Л! = 21,8 кВт. При /ГТ = 10 кэВ И'= 0,422 Вт/смз, и/= 21! МВт 9.24. т > оишнмш 4Т виа нзгр л з. 9.26. пт > яе 3 10'4 с/смз 362 Т ооаб2ш 9.27. й > — 7-'- — = 3,45 !Ого см = 3,45 105 км, (7лаооаа Д = Д! + Дэ+ Дз = 24,8 Мэ — выделение энергии, соответствующие суммарному уравнению синтеза 5Г(- Не+ Нс+ р+ 2п, о, — константа Сте- 3 4 фана — Больцмана.
,хь 9.28'. 1,6 1Отц / хл гы Решен ие. Как следует из решения задачи 9.20, скорость реакции (б, д) можно представить в виде г / г) /тяа = — оная. где оная = А(т, т) зь о ехр ~ — " ) о(о) 4/!к Г з ие э ~ г/т) о где и = ш/2 — приведенная масса, е — относительная скорость. При классическом рассмотрении реакция произойдет только тогда, когда кинетическая энергия относительного движения будет больше высоты куло- НОВСКОГО баРЬЕРа )ГП /2 > (/кух = Е /(2йа), ГДЕ /!4 — КЛаССИЧЕСКИй РаДИУС г г дейтрона (Яа = 1,7 10 'Э см).
В этом случае сечение взаимодействия о„(н) = 4лйаэ и 317 21 о~вол ~А ~ уузокл(е) ехр ~ — -и-" — ) О 2КТо "-'.( — ') ! - (--') "= .и +1 ехр Ал КТоПк „ехр г 12 леАук — 1 (КТо) 1,0кул~ поскольку кт 58 ~ 1. Г/кул КТо При вычислениях были введены обозначения В = (из/2, А = А(2/!к) 2. В квантовом случае определяющую роль играет проницаемость кулонов- ского барьера. При Ю «(/к. (это условие выполняется в задаче, поскольку кул Ю (3/2)КТ 1А 104 эВ «0,5 МэВ) 2 ! /2(о) — ехр — — )/-Й В этом случае сечение взаимодействия окк(б) = о(6)/2(б), где о(б)— геометрическое сечение образования составного ядра, и 2 1 о~ок = А ~ озок,(н) ехр — -к." — ~ й~= А ~ Юокл(4) ехр ~ — — 1 у/о; а 2КТо~ о КТ„/ г о„„(д) = о(д)/у(д) о(д) ехр — 4" ф Выражение для ооРек~а содержит интеграл с произведением двух экспонент (падающей и медленно расуУшей>.
Главную роль здесь играет область значений энергий вблизи максимума показателя экспоненциальной функции / ~ +аЫ2 =О, откуда — кл яб 2 8 4е уг2р! - кд г ! г ( 3! 4 оеаа — — А — ктоехр ~ — — —. уе--! =А — ктоехр( — 6 )/-" — . 2р Кт, ЛЛ ) 2р ' ~ 1!'62КТ,~ 3!8 З! 4 8, = 2КТ г~ 2 ' = 3,1. ! 04 ЗВ. тлх О '!' 62КТ Соответствующая длина волны де Бройля К = Ь = 3,66 10 г! ем~де т гр~„ Таким образом, в наиболее существенной области значений энергий справедлива аппроксимация о(8) = яК2 = лб~/(2цб) и 2 ( 2 ораа — — А — ! схр ~ — — — — )/-с ~Ы.
2! з ~ КТз 6 1а! о Подынтегральное выражение представляет собой функцию с острым максимумом и шириной порядка КТ . Т. к. КТом Викк, то спадание функции вблизи экстремума определяется экспонентой ехр ( — ВКТ ) . Таким образом, о Окончательно «е г (г/ ЗГ 9.29! В магнитном поле все столкновения идут с моментом импульса /= 3/2 и среднее сечение увеличивается в 1,5 раза, Решение. При низких энергиях, т.е. при малых импульсах, дебройлевская длина волны очень велика по сравнению с размерами частиц.
По правилу квантования момента импульса взаимодействие возможно только в состоянии с 1 = О, и полный момент импульса ядра как целого — чисто сливовый. Полный момент импульса системы !7+ 1; 1 = $4 + $! может принимать два значения /= 3/2 и / = 1/2. Так как ядерные силы зависят от спинов сталкивающихся частиц и полный спин есть интеграл движения, то (о) = шз пг/г+ ш!/гонг. Здесь (о) — среднее сечение реакции; ог/г и о!/г — сечения реакции, соответствующие / = 3/2 и / = 1/2; ц~г/г и ш!/г — доли состояний, соответствующие значениям полного момента импульса / из общего числа состояний, равного (254+ 1) (25, + 1). По условию о!/г- О, тогда (о) = шг/го!/г —— 2 (3/2) + 1 2 ог/г —— — ог/г. В магнитном поле, полностью поляризу- !2 ! -!-1)!2 1/2+1! г/ 3 ющем спины взаимодействующих ядер, возможно только одно состояние 5 .
=! и 5„= 1/2; /г = 3/2 (ось г совпадает с направлением магнитного поля В!. Тогда (а(В)) = о /г и, следовательно, среднее сечение возрастает в 1,5 раза. 9,30. Если учесть четыре реакции д + г( -+ ! + р + 3 94 МэВ; д+!! — ь Не+и+3,26МэВ; д+зНс -ь а+р+18,ЗМэВ; !г+ ! -ь а + П + 17,6 МЭВ, то на один ьсгоревший» дейтрон выделяется энергия 7, !8 МэВ. Пользуясь этим, легко пай~и, что при полном сгорании дейтерия, содержащегося в 1 л воды, выделится энергия 3,6.! О кВт ч, что равно энергии, получающейся при сгорании 277 кг бензина. 9.31. б = 3 ! От кДж. 9.32.
-'" = 36ху - О Об 8, аканьчн Ю! ! 2(гг+гыз где Д!, Дг, Дг — энергии, выделяющиеся при реакциях синтеза, равные со- ответственно З,З; 4; !7,6 МэВ. 9.33'. л т 3/С7' = '/ 1ОГ3 с/смг. д гй„ьй„ Решение. Реакция будет самоподдерживающейся, если выделяемая в реакторе плотность мощности превысит плотность мощности совокупных 319 потер!и И' ж Иги .
Последняя состоит из тепловых потерь, связанных с уходом частиц из зоны реакции, и потерь на тормозное излучение: Из+Виза Выделяемая в реакторе мощность И' берется из мощности термоядерного синтеза Иг и частичного полезного преобразования мощности потерь в корпусе реактора, так и в окружаю!пей защите " =Ч!" о+5(нгт+ "и.). Таким образом, условие стационарной рабагы на уровне нулевой мощности при Ч = р Ч ' (И о + И т + !4 изл) = И т + !4 изл Используя выражения для Иг и И;, полученные в задачах 9.20 и 9.24, 2, 1 Зли!17' "о = лап!тес — (2Вы + 044) "'т = 4 получим ЗКТ ги44+(244 -34 г— ч-! орла — 1,5 10 т 4 9 34.
Ч = ~ = 4'964 = 0,2. йл 24,68 9.35. Йи~" = 19,8 МэВ. 9.36. рУ = Р Яв 9300 А ой 9.37'. ! 2 — — 1,2 10'о лет — время, за которое концентрация протонов убывает в два раза. Р е ш е н и е. Согласно решению задачи 9.20 уравнение, описывающее изменение концентрации протонов, имеет вид 4(ир(г) лр(!) и„(Г) г 2 — с~ 4(г 2 РР 2 где н (0) = р)ч', = 9,25 !025 см з начальная плотность ядер водорода, Р ~~~т ттии и =5,6 1О см/с — средняя тепловая скорость протонов. Интсгрит юир руя это уравнение, получаем ! 1 оВГ ай) и(О) 2 Откуда следует, что концентрация протонов уменьшается вдвое за время !1)2 = = 1,2. 1О лез щ ир(0)ор 9.38. Эффект можно заметить, если число ядер, подверженных вынужденному делению, Л)иь,и превысит дисперсию фона, т.е.
дисперсию числа спонтанно делящихся ядер л(си. Дисперсия фона ~лм~„= Угтт',и = т)йттбош 320 За время ГО д! ыв ол(РО, где 2т' — число ядер урана в момент времени Е Таким образом, Уж — " 5 1О'о ем 2 с 1 А1л2 о тцгидтгв 9.39. Грубая оценка: )2 — Х вЂ” = — ' 4,2 см, откуда масса «шари- 1 А ао ридо каь М-5,7 кг. Более точный рассчет дает й 3А ж8,3см и орид (т — 1) М 45 кг. 9.40.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
