Конспект лекций_ФИЗИКА_1сем (1175197), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1.1.27Скорости шаров, поэтому, хотя скорости и направлены в одну сторону, всеравно будет удар. Систему можно считать замкнутой. Кроме того, при абсолютно упругомударе она консервативна.Обозначимикак скорость шаров после их столкновения.В данном случае можно воспользоваться законом сохранения механической энергии изаконом сохранения импульса (в проекциях на ось x):Решив эту систему уравнений относительнои, получимТаким образом, скорости шаров после абсолютно упругого удара не могут бытьодинаковыми по величине и по направлению.Рассмотрим теперь абсолютно упругий удар шара о неподвижную массивную стенку..Стенку можно рассматривать как неподвижный шар с υ2 = 0, массойРазделим числитель и знаменатель на m2 и пренебрежем m1/m2 , тогда42,.Так, шар m1 изменит направление скорости на противоположное.1.1.25.
Абсолютно неупругий ударАбсолютно неупругий удар – это столкновение двух тел, в результате которого телаобъединяются и двигаются дальше, как единое целое.Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно также с помощью шаров изпластилина (глины), движущихся навстречу друг другу.
Если массы шаров m1 и m2, ихскорости до удара, то, используя закон сохранения импульса, можно записать:(1.1.61)где– скорость движения шаров после удара. Тогда(1.1.62)Если шары двигались навстречу друг другу, то они вместе будут продолжатьдвигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом. Вчастном случае – если массы и скорости шаров равны, тоВыясним, как меняется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютнонеупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы,зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами,подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не долженсоблюдаться.
Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической энергии,перешедшей в тепловую или другие формы энергии (диссипация энергии). Эту «потерю»можно определить по разности кинетических энергий до и после удара:.Отсюда получаем:(1.1.63)43Если ударяемое тело было первоначально неподвижно ( υ2 = 0 ), тоКогда m2 >> m1 (масса неподвижного тела очень большая), тои почти всякинетическая энергия при ударе переходит в другие формы энергии.
Поэтому, например,для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка.Когдатогдаи практически вся энергия затрачивается на возможнобольшее перемещение, а не на остаточную деформацию (например, молоток – гвоздь).Абсолютно неупругий удар – пример того, как происходит «потеря» механическойэнергии под действием диссипативных сил.1.1.26. Динамика вращательного движения твердого тела относительно точкиРассмотрим твердое тело, как некую систему (рис. 1.1.28), состоящую из n точек (m1, m2,– радиус-вектор i-й точки, проведенный из точки О – центра неподвижной..., mn);инерциальной системы отсчета.Введем обозначения:– внешняя сила, действующая на i-ю точку,действия со стороны k-й точки на i-ю.– силаРис. 1.1.28Запишем основное уравнение динамики для точки:Умножим обе части этого уравнения векторно на:Знак производной можно вынести за знак векторного произведения (и знак суммы тоже),тогда44Векторное произведение вектораимпульса (количества движения)точки на её импульс называется моментомэтой точки относительно точки О.(1.1.64).Эти три вектора образуют правую тройку векторов, связанных «правилом буравчика»(рис.
1.1.29).Рис. 6.2Векторное произведениеназывается моментом силы, проведенного в точку приложения силы, на эту силу,:(1.1.65).Обозначим Li – плечо силы Fi, (рис. 1.1.30).Учитывая тригонометрическое тождество, получаем.C учетом новых обозначений:(1.1.66)Рис. 1.1.30(1.1.67).Запишем систему n уравнений для всех точек системы и сложим их левые и правые части:45Здесь сумма производных равна производной суммы:где– момент импульса системы,относительно точки О.Так как– результирующий момент всех внешних сил,тоОтсюда получим основной закон динамики вращательного движения твердого тела,вращающегося вокруг точки.(1.1.68).Момент импульса системы является основной динамической характеристикойвращающегося тела.Сравнивая это уравнение с основным уравнением динамики поступательного движения(1.1.31), мы видим их внешнее сходство.1.1.27.
Динамика вращательного движения твердого тела относительнонеподвижной осиОписанное нами движение твердого тела относительно неподвижной точки являетсяосновным видом движения. Однако вычислить вектор– момент импульса системыотносительно произвольной точки – не просто: надо знать шесть проекций (три задаютположение тела, три задают положение точки).Значительно проще найти момент импульсатела, вращающегося вокругнеподвижной оси z (рис. 1.1.31).
В этом случае составляющие– момента внешнихсил, направленные вдоль x и y, компенсируются моментами сил реакции закрепления.Вращение вокруг оси z происходит только под действием Mz .Пусть некоторое тело вращается вокруг оси z (рис. 1.1.32).Рис. 1.1.31Рис. 1.1.3246Получим уравнение динамики для некоторой точки mi этого тела, находящегося нарасстоянии Ri от оси вращения.
При этом помним, что инаправлены всегда вдольоси вращения z, поэтомуили.Посколькуу всех точек разная, введем вектор угловой скорости. Тогда, причем.Так как тело абсолютно твердое, то в процессе вращения mi и Ri останутсянеизменными. ТогдаОбозначим Ii – момент инерции точки находящейся на расстоянии R от осивращения:(1.1.69).Момент инерции тела служит мерой инертности во вращательном движении.В общем случае тело состоит из огромного количества точек, и все они находятся наразных расстояниях от оси вращения.
Момент инерции такого тела равен:(1.1.70).Как видно, момент инерции I – величина скалярная.Просуммировав (1.1.69) по всем i-м точкам, получимили(1.1.71).Это основное уравнение динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.(Сравним:– основное уравнение динамики поступательного движения тела).Для момента импульсатела, вращающегося вокруг оси z, имеем:(1.1.72),,.(Сравним:– для поступательного движения).При этом помним, что и- динамические характеристики вращательногодвижения, направленные всегда вдоль оси вращения.
Причем определяетсянаправлением вращения, как и , а направлениезависит от того, ускоряется илизамедляется вращение.47ЛЕКЦИЯ 71.1.28. Расчет моментов инерции некоторых простых тел. Теорема ШтейнераФормула для момента инерции не всегда удобна для расчета тел произвольной формы.Наиболее легко эта задача решается для тел простых форм, вращающихся вокруг оси,проходящей через центр инерции тела С. В этом случае, для вычисления Ic можномодифицировать формулу 1.1.69,вводя коэффициент k:Ic = kmR2.Моменты инерции шара, диска и стержня приведены на рис. 1.1.33.Шар: k = 2/5,Диск: k = 1/2,Сфера:Обруч:Стержень:Рис. 1.1.33. Моменты инерции шара, диска и стержняПри вычислении момента инерции тела, вращающегося вокруг оси, не проходящейчерез центр инерции (рис. 1.1.34), следует пользоваться теоремой о параллельномпереносе осей, или теоремой Штейнера.основным уравнением динамики поступательного движения(1.1.72)Момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту его инерцииотносительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, плюс произведениемассы тела на квадрат расстояния между осями.Например: стержень массой m длиной l вращается вокруг оси, проходящей черезконец стержня (рис.
1.1.35).,.48Рис. 1.1.34Рис. 1.1.351.1.29. Кинетическая энергия вращающегося телаКинетическая энергия – величина аддитивная. Поэтому кинетическая энергия тела,движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех nматериальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить:(1.1.73),Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростьюскорость i-й точки, то линейная, Ri – расстояние до оси вращения. Следовательно,(1.1.74),Сопоставив (1.1.73) и (1.1.74), можно увидеть, что момент инерции тела I является меройинертности при вращательном движении, так же как масса m – мера инерции припоступательном движении.В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двухдвижений – поступательного со скоростью vc и вращательного с угловой скоростью ωвокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
