Конспект лекций_ФИЗИКА_1сем (1175197), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

1.1.1При движении материальной точки её координаты с течением времени изменяются. Вобщем случае её движение определяется скалярными уравнениями:x = x (t),y = y (t),z = z (t).(1.1.2)Эти уравнения эквивалентны векторному уравнениюr = r(t) = x i + y j + z k(1.1.3)где х, у, z – проекции радиус-вектора на оси координат; i, j, k – единичные векторы(орты), направленные по соответствующим осям.Уравнения (1.1.2) и (1.1.3) называются кинематическими уравнениями движенияматериальной точки.Число независимых координат, полностью определяющих положение точки впространстве, называется числом степеней свободы.Если материальная точка движется в пространстве, то она имеет три степени свободы(координаты х, у, z).

Если она движется на плоскости – две степени свободы. Если вдольлинии – одна степень свободы.7Всякое движение тела можно разложить на два основных вида движения –поступательное и вращательное.Поступательное – это такое движение, при котором любая прямая, связанная сдвижущимся телом, остается параллельной самой себе и все точки твердого теласовершают равные перемещения за одинаковое время (рис. 1.1.2).Рис. 1.1.2. Поступательное движениеРис. 1.1.3. Вращательное движениеПри вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которыхлежат на одной и той же прямой, называемой осью OO' вращения (рис.

1.1.3). Изопределения вращательного движения ясно, что понятие вращательного движения дляматериальной точки неприемлемо.1.1.3. Путь, перемещениеПоложение точки А в пространстве можно задать с помощью радиус-вектора r1,проведенного из точки отсчета О, или начала координат (рис. 1.1.4).При движении материальной точки А из положения 1 в положение 2 её радиус-векторизменяется и по величине, и по направлению, т.е. r зависит от времени t.8Рис. 1.1.4. Задание положения точки в пространстве с помощью радиус-вектораГеометрическое место точек концов r называется траекторией точки.

Длинатраектории есть путь Δs. Если точка движется по прямой, то приращение |Δr| равно путиΔs.Пусть за время Δt точка А переместилась из точки 1 в точку 2. Вектор перемещенияΔr есть приращение вектора r1 за время Δt:Δr = r2 – r1 = (x –x0) i + (y –y0) j + (z –z0) k ;(1.1.4)Δr = Δx i + Δy j + Δz k ;(1.1.5)(1.1.6)1.1.4. СкоростьСредний вектор скорости определяется как отношение вектора перемещения Δr ковремениВекторΔt,закотороеэтоперемещениепроизошло:.совпадает с направлением вектора Δr (рис. 1.1.4).Мгновенная скорость в точке 1:(1.1.7)Мгновенная скорость υ – вектор скорости в данный момент времени, равный первойпроизводной от r по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке всторону движения точки А.

Модуль вектора скорости:.При Δt → 0, т.е. на бесконечно малом участке траектории, ΔS = Δr (перемещениесовпадает с траекторией).В этом случае мгновенную скорость можно выразить через скалярную величину – путь:9Так вычислять скорость проще, т.к. s – скаляр. Обратное действие – интегрирование (рис.1.1.5).Рис. 1.1.5. Вычисление пути– площадь бесконечно узкого прямоугольника. Чтобы вычислить весь путь s завремя t, надо сложить площади всех прямоугольников.(1.1.8)Геометрический смысл этого интеграла в том, что площадь под кривойесть путьтела за время t.Принцип независимости движения (Принцип суперпозиции)Если материальная точка участвует в нескольких движениях то ее результирующееперемещение dr равно векторной сумме перемещений, обусловленных каждым из этихдвижений в отдельности.В общем случае,но так както.Таким образом, скорость тоже подчиняется принципу независимости движения.В физике существует общий принцип, который называется принципомсуперпозиции (принцип наложения) – допущение, согласно которому результирующийэффект сложного процесса взаимодействия представляет собой сумму эффектов,вызываемых каждым воздействием в отдельности, при условии, что последние взаимно невлияют друг на друга.Принцип суперпозиции играет большую роль в теории колебаний, теории цепей и вомногих других разделах физики и техники.10Проекция вектора скорости на оси координатВ векторной форме уравнения записываются легко и кратко.

Но для практическихвычислений нужно знать проекции вектора на оси координат выбранной системы отсчета.Положение точки А (рис. 1.1.6) задается радиус-векторомна оси x, y, z.r . Спроецируем вектор rРис. 1.1.6. Задание положения точки радиус-векторомrПонятно, что х, y, z зависят от времени t, т.е. x(t), y(t), z(t). Зная зависимость этихкоординат от времени (закон движения точки), можно найти в каждый момент временискорость точки.Проекция вектора скорости υ на ось x равна:.Здесь dx – проекция вектора перемещения dr на ось х.Аналогично:Модуль вектора скоростиТак как скорость величина векторная, то её можно представить с помощью единичныхвекторов i, j, k:(1.1.9)11ЛЕКЦИЯ 21.1.5.

Ускорение и его составляющиеВ произвольном случае движения скорость не остается постоянной. Быстрота измененияскорости по времени и направлению характеризуется ускорением:(1.1.10)Ускорение – величина векторная. При криволинейном движении υ изменяется также ипо направлению. В какую сторону? С какой скоростью? Выражение (1.1.10) на этивопросы не отвечает.Введем единичный вектор τ (рис. 1.1.7), связанный с точкой А и направленный покасательной к траектории движения точки А (векторы τ и υ в точке А совпадают).Тогда можно записать:,где– модуль вектора скорости.Рис.

1.1.7Найдем ускорение:(1.1.11)Получаем два слагаемых ускорения: aτ – тангенциальное ускорение, совпадающее снаправлением v в данной точке, a n – нормальное ускорение, или центростремительное,т.к. направлено оно к центру кривизны, перпендикулярно вектору τ.1.1.6. Тангенциальное ускорениеТангенциальное ускорение определяется формулой,(1.1.12)или по модулю12– скорость изменения модуля вектора скорости υ .гдеУскорение тела при его скатывании с наклонной плоскости.Ускорение•aτ характеризует изменение вектора скорости по величине:если, тоaτ направлено в ту же сторону, что и вектор υ , т.е. ускоренное, тоaτ направлено в противоположную сторону υ , т.е.

замедленноедвижение;•еслидвижение;•если, тоaτ и, т.е. движение с постоянной по модулюскоростью.Итак можно записать, что суммарный вектор ускорения при движении точки вдольплоской кривой равен:Рассмотрим несколько предельных (частных) случаев:1. aτ = 0; an = 0 - равномерное прямолинейное движение;2. aτ = const; an = 0 - равноускоренное прямолинейное движение;3. aτ = 0; an = const - равномерное движение по окружности.Вспомним несколько полезных формул.При равномерном движении.При движении с постоянным ускорением.Если v =v0 ± at (а = const), то:Обратная задача кинематики заключается в том, чтобы по известному значениюускорения a(t) найти скорость точки и восстановить траекторию движения r(t).Пусть нам известно ускорение точки в каждый момент времени.По определению имеем, отсюда, так как, следовательно,131.1.7.

Нормальное ускорениеРассмотрим подробнее нормальное ускорение:Быстрота изменения направления касательной к траекторииопределяется скоростьюдвижения точки по окружности и степенью искривленности траекторий.Степень искривленности плоской кривой характеризуется кривизной С.Радиус кривизны r – радиус такой окружности, которая сливается с кривой в даннойточке на бесконечно малом ее участке dS.Центры таких окружностей – центры кривизны т. O и O' (рис.

1.1.8),(1.1.13)Скорость изменения направления касательной можно выразить как произведениескорости изменения угла на единичный вектор, показывающий направление измененияугла:где n – единичный вектор, направленный перпендикулярно касательной τ в данной точке,т.е. по радиусу кривизны к центру кривизны.Рис. 1.1.8Из (1.1.13) следует, чтоТогдаи, следовательно, но т.к. dS = vdt, то; наконец,., т.е.14Нормальное ускорение показывает быстроту изменения направления вектораскорости. Модуль нормального ускорения равен(1.1.14)Термин "центростремительное ускорение" используется в случае, когда движениепроисходит по окружности.

Если же движение происходит по произвольной кривой, тосоответствующим аналогом является термин "нормальное ускорение" (перпендикулярноек касательной в любой точке траектории).Итак, возвращаясь к выражению (1.1.11), можно записать, что суммарный векторускорения при движении точки вдоль плоской кривой равен:Изобразим на рис. 1.1.9 взаимное расположение векторов ускорения:Рис. 1.1.9. Взаимное расположение векторов ускоренияКак видно из этого рисунка, модуль общего ускорения равен:(1.1.15)Рассмотрим несколько предельных (частных) случаев:1.

aτ = 0; an = 0 - равномерное прямолинейное движение;2. aτ = const; an = 0 - равноускоренное прямолинейное движение;3. aτ = 0; an = const - равномерное движение по окружности.1.1.8. Кинематика поступательного и вращательного движения твердого телаПоступательное движение – это такое движение твердого тела, при котором любаяпрямая, связанная с телом, остается параллельной своему начальному положению, и приэтом все точки твердого тела совершают за один и тот же промежуток времени равныеперемещения15Поэтому скорости и ускорения всех точек твердого тела в данный момент времени tодинаковы. Это позволяет свести изучение поступательного движения твердого тела кизучению движения отдельной точки, т.е. к задаче кинематики материальной точки.Вращательное движение вокруг неподвижной осиДвижение твердого тела, при котором две его точки О и О' остаются неподвижными,называется вращательным движением вокруг неподвижной оси, а неподвижнуюпрямую ОО' называют осью вращения.Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси ОО' (рис.

1.1.10).Рис. 1.1.10. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси ОО'Проследим за некоторой точкой М этого твердого тела. За время dt точка Мсовершает элементарное перемещение dr.При том же самом угле поворота dφ, другая точка, отстоящая от оси на большее илименьшее расстояние, совершает другое перемещение. Следовательно, ни самоперемещение некоторой точки твердого тела, ни первая производная, ни втораяпроизводнаяне могут служить характеристикой движения всего твердого тела.За это же время dt радиус-вектор R , проведенный из точки 0' в точку М, повернетсяна угол dφ. На такой же угол повернется радиус-вектор любой другой точки (т.к.

телоабсолютно твердое, в противном случае расстояние между точками должно измениться).Угол поворота dφ характеризует перемещение всего тела за время dt.Удобно ввести dϕ – вектор элементарного поворота тела, численно равный dφ инаправленный вдоль оси вращения ОО' так, чтобы, глядя вдоль вектора, мы виделивращение по часовой стрелке (направление вектора dϕ и направление вращения связаны«правилом буравчика»).Элементарные повороты удовлетворяют обычному правилу сложения векторов:16Угловой скоростью называется вектор, численно равный первой производной отугла поворота по времени и направленный вдоль оси вращения в направлении dϕ ( иdϕ всегда направлены в одну сторону).(1.1.16).Если ω – const, то имеет место равномерное вращение тела вокруг неподвижной оси.Пусть v – линейная скорость точки М.

Характеристики

Список файлов учебной работы