Диссертация (1173029), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

главу 1 раздел 1.3), уже былиразработаны выражения коэффициента коррекции для континуального режимас граничными условиями проскальзывания и свободномолекулярного режима, атакже единое выражение коэффициента коррекции для всех режимов. Здесьединое выражение коэффициента коррекции, состоящее из степенной функции,обратной тригонометрической функции и др., применяется только дляпереходного режима из-за его сложности.Из таблицы 1.5 видно, что выражения коэффициента коррекции дляконтинуального режима с граничными условиями проскальзывания исвободномолекулярного режима являются полиномиальными функциями отрадиусакапилляра,чтопозволяетвывестивыражениекажущейсяпроницаемости пористой среды из уравнения 3.1 на основе распределения пор56по размерам непосредственным интегрированием.

Выражение коэффициентакоррекции для переходного режима (т.е. единое выражение коэффициентакоррекции) является более сложным, что делает невозможным вывод выражениякажущейся проницаемости пористой среды из уравнения 3.1 непосредственныминтегрированием. В связи с этим, здесь предложено эмпирическое выражениекоэффициента коррекции для переходного режима, которое аналогичновыражениюкоэффициентакоррекциидляконтинуальногорежимасграничными условиями проскальзывания, которое является линейной функциейот числа Кнудсена: f ki  c1 (1  c2 K n ) . В ходе подготовки данной работы былпроведен подбор эмпирических коэффициентов c1 и c2. Подбор был проведенпутемсравнениякривойкоэффициентакоррекциивычисленнойпопредложенному эмпирическому выражению с кривой, вычисленной по единомувыражению, предложенному Beskok и Karniadakis [81].

При недопущениипревышения приемлемой в практике погрешности (0,1) получено: c1=1,05 иc2=5,41, тогда предложенное эмпирическое выражение коэффициента коррекциидля переходного режима запишется следующим образом: f ki  1,05(1  5,41K n ) .Ниже представлено математическое доказательство точности предложенноговыражения.Относительная ошибка предложенного выражения по сравнению свыражением, предложенным Beskok и Karniadakis [81] выражается следующейформулой:1,05(1  5,41K n )(1  K n )1 .128K n 10,4[1 tg (4 K n )](1  5 K n )15 2(3.2)Пустьf ( x) 1,05(1  5,41x)(1  x),128 x 1 0,4[1 tg (4 x )](1  5 x)15 2(3.3)57На рисунке 3.1 показан график функции f(x) на интервале [0,1 10].

Крайняяточка на интервале [0,1 10] определена численным методом: x=0,20576. Изf(0,1)=1,0913, ɷ=0,0913; f(10)=0,90928, ɷ=0,09072; f(0,20576)=1,0978, ɷ=0,0978следует, что когда 0,1≤Kn≤10, относительная ошибка предложенного выраженияменьше 0,1.Рисунок 3.1-График функции 3.3 на интервале [0,1 10]Послесоединениясвыражениемсредней длины свободного пробега молекул газа λ (уравнением 1.4) выражениекоэффициента коррекции для свободномолекулярного режима превратится вследующее: f ki  64 (3 ri ) .Подставляя выражения коэффициента коррекции для различных режимовтечения (см. таблицу 3.1) в уравнение 3.1 получаем:N3N4ri 2 Vi N2 ri 2 ri  ViVi8 ri Vi2()(0,13r0,71r), (3.4)ii22228V82VV3Vi 1i 1i 1i 1iiiiN1ka  где N1—количество капилляров в пористой среде, где Kn≤0,001; N2—количествокапилляров в пористой среде, где 0,001<Kn≤0,1; N3—количество капилляров впористой среде, где 0,1<Kn≤10; N4—количество капилляров в пористой среде,где Kn>10.58Таблица 3.1-Используемые в данной работе выражения коэффициентакоррекции для различных режимов теченияРежимтеченияfkiКонтинуальныйрежим сграничнымиусловиямипроскальзыванияf ki  1  4K nПереходный режимСвободномолекулярныйрежимf ki  1,05(1  5,41K n )f ki  64 (3 ri )Для низкопроницаемых и сланцевых матриц на проницаемость можетвлиять эффект сужения пор.

Как уже было указано выше (см. разделы 1.1 и 1.2),для низкопроницаемых и сланцевых матриц при сужении пор в связи соснижением пластового давления зависимость пористости от эффективногодавления можно описать следующей формулой [151]:  0e  ( p  p ) ,c(3.5)где Φ0—пористость при эффективном давлении 0 (т.е.

pс-p=0); γ—константа,которая определяется экспериментальными данными, МПа-1, представлено в[32], что величина γ находится в диапазоне от 0,41×10-3 до 1,58×10-3; pс—горноедавление, величина которого является практически постоянной [152], МПа.В пористой среде, потеря площади поперечного сечения поры равнапотери пористости: 0  r 2 r02 ,(3.6)где r0—радиус поры при эффективном давлении 0.Из выражений 3.5 и 3.6 получено:r  r0e 0,5 ( pc  p ) .(3.7)Кроме того, особенно для сланцевых толщ процесс десорбции такжеприводит к увеличению порового пространства сланцевых матриц исоответственно, влияет на кажущуюся проницаемость сланцевых матриц.

Каквыше указано, процесс адсорбции и десорбции природного газа в сланцевых59толщах отвечает модели Ленгмюра. Принято считать, что толщина слояадсорбированного газа может быть определена следующей формулой [83-85]:  d m p  pL 1  p pL  ,(3.8)где dm—диаметр молекулы адсорбированного газа, м; pL  1 b , b в МПа-1.Тогда радиус поры с учетом эффектов сужения пор и десорбциивыражается следующей формулой:reff  r0e0,5 ( pc  p )  d m p  pL 1  p pL   .(3.9)Откуда выражение для кажущейся проницаемости пористой средыпревратится в следующее:N1ka  i 12reffiVeffi8N32iV (0,13125ri 12effiN22reffii 18 ( 0,71reffi  )reffi  Veffi)2 V i2VeffiV i2N48 reffi Veffii 13 V i2,(3.10)где Veffi—объем капилляра, определенный по радиусу капилляра с учетомэффекта сужения пор и десорбции.В большинстве случаев распределение пор породы-коллектора поразмерам совпадает с логнормальным распределением [153].

В работе [154]показано, что распределение пор по размерам в сланцевых матрицах может бытьприблизительно описанологнормальным распределениемивыдвинутопредположение, что отклонение измеряемого распределения пор по размерам отлогнормального распределения вызвано пределом точности средств измеренияразмеров пор в реальной практике. Одновременно, также установлено Krohn, чтоможно описывать распределение пор в сланцевых матрицах с применениемфрактальной теории [155].В связи с тем, что до сих пор отсутствует однозначный вывод о характерераспределения пор по размерам в сланцевых матрицах, в данной работеприведем и логнормальное распределение пор по размерам, и рассчитанное потеории фракталов распределение пор по размерам, для вывода выражениякажущейся проницаемости пористой среды.60С учетом того, что в пористой среде исходное распределение пор поразмерам совпадает с логнормальным распределением получим:Nr2effiVeffi  reff4  reff3(ln r0 ln r0 ) 22 2(ln r0 ln r0 ) 22 2d (ln r0 ) ,(3.11)d (ln r0 ) ,(3.12)где r0  N  r0i ; δ —среднеквадратическое отклонение;ζ—количествоi 1VeffiNri 1VeffiV2 2 eeN1капилляров на единицу площади, 1/м2.Исходная пористость пористой среды - Φ0, абсолютная проницаемостьпористой среды- k , извилистость пористой среды  и средний геометрическийрадиус пористой среды r0 известны, параметры δ и ζ могут быть вычислены последующим формулам [156]:2  ln 2  ln 3 k (0 r0 )2,(3.13)  0 3 0 (k r0 ) (2 r0 ) .(3.14)Пусть reff=r0X-v, где X, v являются постоянными при заданном пластовомдавлении, X  e0,5 ( pc  p ), v  d m p  pL 1  p pL   .Тогда уравнения 3.11 и 3.12 превратятся в следующее:Nri 12effiVeffiVreff4  2 e(ln r0 ln r0 ) 22 2d (ln r0 ) X 4 4 ln r0 8 2ln r0  ln r0  4 2 r1 [ eerf () r2222 X 3ve3ln r0  4,5 erf (22 2 2 ln r0  2 23X v eln r0  ln r0  2 2 r1erf () r222 Xv 3eln r0 0,5 erf (2ln r0  ln r0  3 2 r1) r22ln r0  ln r0   2 r1ln r  ln r0 r1)  0,5v 4 erf ( 0) ]r2r222,(3.15)61Nri 1VeffieffiVreff3  2 e(ln r0 ln r0 ) 22 2d (ln r0 ) X 3 3ln r0  4,5 2ln r0  ln r0  3 2 r1 [ eerf () r2221,5 X 2ve 2 ln r0 2 erf (22 ln r0  0,5 21,5 Xv e.ln r0  ln r0  2) r222(3.16)r1ln r0  ln r0   2 r1ln r  ln r0 r1erf ()  0,5v 3 erf ( 0) ]r2r222После подстановки уравнений 3.15 и 3.16 в уравнение 3.10 выражение длякажущейся проницаемости пористой среды запишется в следующем виде:ln r03 r0  4 2 X 4 4 ln r 8ka {eerf()16220ln r03 r0  3 2X 3v 4 X 3 3ln r0  4,5 2()eerf()432ln r03 r0  2 23 X 2v 2 4 vX 2 2 ln r0  2 2()eerf()82ln r03 r0   2ln r03 r0Xv3 4 Xv 2 ln r0 0,5 2v 4 4 v 3()eerf()( ) erf()416 322 ln r r0  4 2 r02 X 4 4 ln r 8 2X 4 4 ln r0 8 2eerf() e 0r03 163202 ln r r0  3 2 r02 4 X 3 X 3v 3ln r  4,5 2X 3v 3ln r0  4,5 2(0,105 X )eerf() ()e 0r03803423 ln r r0  2 2 r023 X 2v 22 ln r0  2 22( 0,315 vX ) eerf() r031602  ln r r0 r02ln r r0   2 r02v4Xv3 ln r0  0,5 232( 0,105 v ) erf()  (0,315 v X )eerf() r03r033208022X34e3ln r0  4,5 2  ln r r0  3 2 r01 3 vX 2 2 ln r  2 2ln r r0  2 2 r010erf() eerf() r03r03422  ln r r0   2 r01  v 3ln r r0 r01 3 X 2v 2 4 vX 2 2 ln r  2 23 v 2 X ln r0 0,5 2eerf() erf() ()e 0r03r0344822(4 Xv 2Xv3 ln r0 0,5 2 v 4 4 v 3)e }416 3,(3.17)62r01  1000  d m  p pL  1  p pL   e0,5 ( pc  p )где;r02  10  d m  p pL  1  p pL   e0,5 ( pc  p );r03  0,1  d m  p pL  1  p pL  e0,5 ( pc  p ) ; τ—коэффициент извилистостипористой среды.Если отсутствуют эффекты сужения пор и десорбции или эффектысужения пор и десорбции являются незначительными, тогда выражение длякажущейся проницаемости пористой среды принимает следующий упрощенныйвид:ln r03 r0  4 2 4 e3ln r  4,5ln r03 r0  3 2 e4 ln r 8ka  {erf[]erf[]163222020 222ln r r0  4 2 r02e 4 ln r0 84 e3ln r0  4,5e4 ln r0 8erf[] r0316332020,105 e3ln r0  4,5 2 .

(3.18) ln r r0  3 2 r02  e3ln r0  4,5 2ln r r0  3 2 r01erf[] erf[] }r03r03422Наряду с этим, в связи с тем, что сужение пор и процесс десорбции могутпривести к изменению порового пространства пород-коллекторов такженеобходимо определение эффективной пористости с учетом этих эффектов.Эффективная пористость с учетом эффектов сужения пор и десорбциивыражается следующей формулой:N2 reffii 1Aeff    ( Xr0  v) 2  e200v2 e202 (ln r0 ln r0 ) 22 2(ln r0 ln r0 ) 22 2Легко получить:reff2e(ln r0 ln r0 ) 22 2d (ln r0 ) X 2 r02 d (ln r0 )   {e20d (ln r0 )  2 0Xr0v e2(ln r0 ln r0 ) 22 2(ln r0 ln r0 ) 22 2d (ln r0 )}d (ln r0 )  .(3.19)630X 2 r02e2X2e(ln r0 ln r0 ) 22 2d (ln r0 )  X2e(ln r0 ln r0 ) 2 4 2 ln r02 220(ln r0 ln r0  2 2 ) 2  4 2 ln r0  4 42 220d (ln r0 ) d (ln r0 ) ,(3.20)2X 2e 2 ln r0 2ln r0  ln r0  2 2 erf ()  X 2e 2 ln r0 20222v2 e202 Xvr0e20 2 Xv (ln r0 ln r0 ) 22 2Xvev2ln r  ln r0  2d (ln r0 )  erf ( 0) v ,022d (ln r0 )  2 Xv e(ln r0 ln r0  )  2 ln r0 2 22 222 22e(3.21)(ln r0 ln r0 ) 2  2 2 ln r02 2d (ln r0 )2 00ln r0 (ln r0 ln r0 )22 24d (ln r0 ) .(3.22)ln r0 ln r  ln r0   2 2erf ( 0)  2 Xve022Откуда получим:2 2 ln r0  2 2eff   ( X e v  2 Xve2ln r0 22).(3.23)С учетом того, что исходное распределение пор в пористой средесовпадает с распределением, рассчитанным по теории фракталов, получим [157]:N ( D0 )  (Dmax 0 Dp) ,D0(3.24)где D0—диаметр пор при эффективном давлении 0; N ( D0 ) —количествокапилляров с диаметром более D0; Dmax0—максимальный диаметр пор приэффективном давлении 0; Dp—фрактальная размерность для диаметров пор.Тогда количество капилляров с диаметром между D0 и D0+dD0 выражаетсяследующей формулой: ( D p 1)dN  D p Dmaxp 0 D0DdD0 .(3.25)64Следует отметить, что -dN>0 значит накопленное количество капилляровувеличивается с уменьшением диаметра [158].Длина капилляра с диаметром D0 [157]:Lt ( D0 )  D01 Dt LD0 t ,(3.26)где L0—длина пористой среды вдоль направления фильтрации, м; Dt—фрактальная размерность для извилистостей пор.Из уравнений 3.25 и 3.26 получим:Nri 12effi D p Dmax 0DpVeffi i2VALD0 t 13 D  D1 D  DD Dp3 X 2v 2 D0 t p 2 Xv3 D0 t2(1  Dt  D p )Dt  D pNreffii 12Veffi i2V D p Dmax 0DpALD0 t 1Dt  D p32 D  DX 4 D0 t pX 3vD0 t p[16(3  Dt  D p ) 2(2  Dt  D p )D  D 1v 4 D0 t p D1]Dt  D p  1 D22 D  D, (3.27)1 D  DX 3 D0 t p3vX 2 D0 t p[8( Dt  2  D p ) 4( Dt  1  D p )Dt  D p 1,(3.28)D3v XD0v D0] 12( Dt  D p ) Dt  D p  1 D2где A—общая площадь поперечного сечения пористой среды, м2.Общую площадь поперечного сечения пористой среды можно определитьс помощью формулы [148]:2 Dp DmaxD0A[1   min 0 40 (2  Dp ) Dmax 0 2 D p],(3.29)где Dmin0—минимальный диаметр пор при эффективном давлении 0.Фрактальная размерность для диаметров пор определена по следующейформуле [159]:Dp  2 ln 0.ln( Dmin 0 Dmax 0 )(3.30)Фрактальная размерность для извилистостей пор определена по формуле[160]:Dt  1 ln,ln( L0 D0 )(3.31)65где L0  A [161];  —средний коэффициент извилистости,   1  0,8(1  0 ) [162];D0 —средний диаметр пор при эффективном давлении 0, м, D0  D p Dmin 0 / ( D p  1)[161].Из уравнений 3.10, 3.27, 3.28, 3.29 получим:ka 40 (2  D p )2 DLD0 t 1 ( Dmax 0p3 D  D2 D  DX 4 D0 t pX 3vD0 t p{[2 D Dmin 0p ) 128(3  Dt  D p ) 16(2  Dt  D p )1 D  DD DD  D 13 D  DD3 X 2v 2 D0 t pXv3 D0 t pv 4 D0 t pX 4 D0 t p] max 0  [16(1  Dt  D p ) 4( Dt  D p ) 8( Dt  D p  1) 2r01128(3  Dt  D p )2 D  D1 D  DD DD  D 1X 3vD0 t p3 X 2v 2 D0 t pXv3 D0 t pv 4 D0 t p16(2  Dt  D p ) 16(1  Dt  D p ) 4( Dt  D p ) 8( Dt  D p  1)2 Dt  D p1 D  DD DD  D 12r3 vX 2 D0 t p 3 v 2 XD0 t p v 3 D0 t p] 01 16(2  Dt  D p ) 8(1  Dt  D p )4( Dt  D p ) 2( Dt  D p  1) 2r02 X 3 D03 D  D2 D  D1 D  DD D21X 4 D0 t p21X 3vD0 t p63 X 2v 2 D0 t p 21Xv3 D0 t p[2560(3  Dt  D p ) 320(2  Dt  D p ) 320(1  Dt  D p ) 80( Dt  D p )D  D 12 D  D1 D  DD D21v 4 D0 t p71 X 3 D0 t p213 vX 2 D0 t p 213 v 2 XD0 t p160( Dt  D p  1) 800(2  Dt  D p ) 400(1  Dt  D p )200( Dt  D p )D  D 12 D  D1 D  DD D0,71 v3 D0 t p 2r02 X 3 D0 t p2 vX 2 D0 t p 4 v 2 XD0 t p][2r03 3 (2  Dt  D p )  (1  Dt  D p )  ( Dt  D p ) .Dt  D p  1(3.32)D  D 12r8 v3 D0 t p] 03 }3 ( Dt  D p  1) Dmin 0Следует отметить, что уравнение 3.32 справедливо только когда впористой среде сосуществуют все 4 режима течения (континуальный режим,континуальный режим с граничными условиями проскальзывания, переходныйрежимисвободномолекулярныйрежим).Путемвведения единичной ступенчатой функции ε(x) в уравнение 3.32 получимуниверсальное выражение для кажущейся проницаемости пористой среды сраспределением пор, рассчитанным по теории фракталов:66ka 40 (2  D p )2 DLD0 t 1 ( Dmax 0p1 D  D2 D  D3 D  D3 X 2v 2 D0 t pX 3vD0 t pX 4 D0 t p{[2 D Dmin 0p ) 128(3  Dt  D p ) 16(2  Dt  D p ) 16(1  Dt  D p )3 D  DD  D 1D DDmax 0X 4 D0 t pv 4 D0 t pXv3 D0 t p ( Dmax 0  DA )  []128(3  Dt  D p )4( Dt  D p ) 8( Dt  D p  1) DA1 D  D2 D  D2 D  DD  D 1D D X 3 D0 t pv 4 D0 t pXv 3 D0 t p3 X 2v 2 D0 t pX 3vD0 t p16(2  Dt  D p ) 16(1  Dt  D p ) 4( Dt  D p ) 8( Dt  D p  1) 16(2  Dt  D p )D  D 1D D1 D  DD v 3 D0 t p3 vX 2 D0 t p 3 v 2 XD0 t p] B  ( DB  DC ) 4( Dt  D p ) 2( Dt  D p  1) DC8(1  Dt  D p )2 D  D3 D  D1 D  DD D63 X 2v 2 D0 t p 21Xv3 D0 t p21X 3vD0 t p21X 4 D0 t p[2560(3  Dt  D p ) 320(2  Dt  D p ) 320(1  Dt  D p ) 80( Dt  D p )2 D  DD  D 11 D  DD D213 vX 2 D0 t p 213 v 2 XD0 t p71 X 3 D0 t p21v 4 D0 t p200( Dt  D p )160( Dt  D p  1) 800(2  Dt  D p ) 400(1  Dt  D p )1 D  D2 D  DD  D 12 vX 2 D0 t p X 3 D0 t p0,71 v3 D0 t p DD ( DD  DE )  []DE3 (2  Dt  D p )  (1  Dt  D p )Dt  D p  1, (3.33)D  D 1D DD8 v 3 D0 t p4 v 2 XD0 t p] F  ( DF  Dmin 0 )} ( Dt  D p ) 3 ( Dt  D p  1) Dmin 01 x  0; DA=max{Dmin0，2r01}; DB=min{Dmax0，2r01}; DC=max{Dmin0，0 x  0где  ( x)  2r02}; DD=min{Dmax0，2r02}; DE=max{Dmin0，2r03}; DF=min{Dmax0，2r03}.Если отсутствуют эффекты сужения пор и десорбции или эффектысужения пор и десорбции являются незначительными тогда уравнение 3.33принимает следующий упрощенный вид:ka 40 (2  D p )2 DLD0 t 1 ( Dmax 0p3 D  DDmax 0D0 t p{ ( Dmax 0  DA ) 2 D Dmin 0p ) 128(3  Dt  D p ) DA3 D  D2 D  D3 D  DDBD0 t p D0 t p21D0 t p[] ( DB  DC )  [ .

Характеристики

Список файлов диссертации