А.А. Болибрух - Уравнения Максвелла и дифференциальные формы (1163421)
Текст из файла
ìÅÔÎÑÑ ÛËÏÌÁ óÏ×ÒÅÍÅÎÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁäÕÂÎÁ, ÉÀÌØ 2001.á. á. âÏÌÉÂÒÕÈõÒÁ×ÎÅÎÉÑ íÁËÓ×ÅÌÌÁÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÉÁÌØÎÙÅ ÆÏÒÍÙíãîíïíÏÓË×Á, 2002УДК 514.83ББК 22.151Б79Б79Проведение летней школы «Современная математика» и издание настоящей брошюры осуществлено при поддержке Московской городскойДумы и Московского Комитета Образования.Болибрух А. А.Уравнения Максвелла иМ.: МЦНМО, 2002.— 24 с.дифференциальнныеформы.—ISBN 5-94057-022-4Брошюра написана по материалам лекций, прочитанных автором участникамЛетней школы «Современная математика» в Дубне 16 и 19 июля 2001 года.В брошюре рассказывается об основных понятиях дифференциальной геометрии: дифференциальных формах, расслоениях и связностях и об их использованиив современной физике.Брошюра адресована студентам младших курсов.ББК 22.151ISBN 5-94057-022-4c Болибрух А. А., 2002.c МЦНМО, 2002.В этих двух лекциях мы хотим рассказать вам о дифференциальныхформах, расслоениях и связностях.
Эти понятия сейчас очень активноиспользуются в самых разных областях математики и физики, и нам быхотелось хотя бы немного вас с ними познакомить. Для того чтобы нашрассказ не был излишне абстрактным, мы решили привязаться к такомуфизическому объекту, как электромагнитное поле, и показать вам,как при попытке описания этого поля естественным образом возникаютвсе перечисленные понятия.Разумеется, эти лекции не претендуют на систематическое изложение теории дифференциальных форм или теории расслоений и связностей.
Каждый из этих сюжетов занимает примерно семестровый курс намехмате. Наша задача гораздо скромнее: предварительное знакомствос предметом и мотивировки (пришедшие из физики) необходимости егоизучения.ìÅËÉÑ 1§ 1.Принято считать, что электромагнитное поле характеризуется дву~мя величинами — вектором электрической напряженности E== (Ex , Ey , Ez) и вектором магнитной напряженности H~ = (Hx , Hy , Hz).Предполагается, что компоненты этих векторов гладко зависят от точкипространства, а также от времени.
Совокупность экспериментальныхданных была обобщена Максвеллом в 1861—1862 годах в его знаменитых уравнениях Максвелла:8<:~ = 0,div H8~< rot H:~1 дH,c дt~rot E== 1c ддtE + 4cp~j,~~ = 4pr,div Eгде c — скорость света, r — плотность заряда, а ~j — плотность тока, т. е.плотность заряда, умноженная на скорость перемещения этого заряда.3Напомним, как определяются ротор и дивергенция:дHдHxz+ дyy + дH,дxдzдHy дHxдHz дHy,,дzдzдx дx~div H=~=rot HдHzдyдHx.дy~ H~ и rot ~Но действительно ли величины E,v являются векторами? Какони меняются при замене координат? Скоро мы увидим, что они не оченьпохожи на векторы и что есть другая, более удобная форма записи техже самых уравнений, которая возникла позднее, когда появилась теориядифференциальных форм, введенная Пуанкаре и Эли Картаном.Чтобы лучше понять, как меняются компоненты вектора при заменекоординат, рассмотрим несколько примеров.Пример 1.
Рассмотрим n-мерное пространство Rn (можно считатьдля простоты, что n = 3) и гладкую кривую f : R ! Rn , задаваемую в некоторой системе координат (x1 , : : : , xn) уравнениями xi = fi (t). При t = 0касательный вектор к этой кривой в выбранной системе координат имеет компоненты xi = f_ i (0) (точкой обозначается дифференцирование по t).Теперь рассмотрим новую систему координат (x̂1 , : : : , x̂n), связанную состарой при помощи гладких функций x̂i = fi (x1 , : : : , xn).
Компоненты касательного вектора в новой системе координат будем обозначать x̂i . Тогдаx̂i =dx̂idt= df (fi=t 01(t) , : : : , fn (t))dt=t 0=nX=j 1дfiдxj=t 0xjпо формуле производной сложной функции. Вот как, оказывается, связаны координаты касательного вектора в новой и старой системах координат.Пример 2. Рассмотрим функцию f от n переменных: f = f (x̂1 , : : : , x̂n).Зачем мы записали ее сразу в новых координатах, станет ясно чуть позже. Рассмотрим градиент этой функции (который также часто называют вектором)grad f =дfдf, :::, nдx̂дx̂1= (ĥ1 , : : : , ĥn).Теперь попробуем сделать замену координат и вычислить компонентыградиента, только на этот раз уже не в новой, а в старой системе координат:hi =дf (f1 (x1 , : : : , xn) , : : : , fn (x1 , : : : , xn))дxi4=nX=j 1дf дfjдx̂j дxi=nX=j 1ĥ jдfj.дxiСравним формулы, полученные в этих двух примерах.
В обеих этихформулах участвуют выражения вида дfi /дxj , но между ними есть существенное отличие. В первом случае мы выражаем новые координатычерез старые, а во втором — наоборот. Мы приходим к выводу, что призамене координат компоненты градиента меняются совсем по другомузакону, чем компоненты касательного вектора. Градиент скорее напоминает не вектор, а дифференциал функции:df =nX=i 1дfdxiдxi=nX=j 1дfdx̂j .дx̂jИ градиент функции, и касательный вектор являются тензорами, нотензорами разного типа.§ 2.Рассмотрим на Rn пространство векторных полей D (Rn ). Под векторным полем мы будем понимать выражениеv(x1 , : : : , xn)~=nX=j 1vj (x1 , : : : , xn)д,дxjгде vj (x1 , : : : , xn) — гладкие функции, а через д/дxj обозначен вектор ejстандартного базиса в Rn (эти обозначения оказываются очень удобнымипри рассмотрении векторных полей на многообразиях).
Такие поля ещеиногда называют касательными. Множество гладких функций на Rn мыбудем обозначать F (Rn ).Множество векторных полей является линейным пространством: векторные поля можно складывать (покоординатно) и умножать на числа.Более того, их можно умножать на любые гладкие функции, заданныена всем пространстве Rn .
К сожалению, гладкие функции образуют неполе, а кольцо, поэтому говорят не о линейном пространстве векторныхполей, а о модуле векторных полей над кольцом гладких функций.Рассмотрим сопряженное пространство к D (Rn ) — пространствоF -линейных функционалов a : D (Rn) ! F (R), т. е. таких отображений,что a (f~v) = fa (~v) для любой гладкой функции f(x) и любого векторногополя ~v и a (~v1 + ~v2) = a (~v1) + a (~v2). Это сопряженное пространство также является модулем над кольцом гладких функций. Оно называетсяпространством дифференциальных 1-форм и обозначается 1 (Rn ).5У этого модуля есть образующие, сопряженные к образующимкоторые мы будем обозначать через dxj :dxjддxi= dji =1,0,i = j,i 6= j.Любая 1-форма может быть представлена в видеции этих образующих:a=D (R ),nF -линейной комбина-nX=ai (x1 , : : : , xn) dxi ,i 1где ai (x , : : : , x ) — гладкие функции из F .
При изменении координат висходном пространстве соответственно меняются координаты и в сопряженном пространстве. Компоненты 1-формы при этом меняются по томуже закону, что и компоненты дифференциала. Это означает, что дифференциал функции f является частным случаем 1-формы (что оправдываетвведение таких обозначений для базиса сопряженного пространства), т. е.у нас имеется отображение d : F (Rn ) ! 1 (Rn ). Не всякая дифференциальная 1-форма является образом некоторой функции при взятии дифференциала, но имеет место включение: образ d лежит в пространстве1-форм.
Таким образом, дифференциал является не вектором, а ковектором — так принято называть дифференциальные 1-формы.Можно ли расширить это определение, т. е. рассмотреть не только1-формы, но и, например, 2-формы? Оказывается, это сделать совсемнетрудно. Для этого нужно лишь вместо векторного поля рассмотретьпару векторных полей, и каждой паре векторных полей поставить в соответствие гладкую функцию. И если это отображение является F -линейным по каждому аргументу, то мы приходим к понятию 2-ковекторана множестве векторных полей: это просто F -билинейное отображениеa : D (Rn ) D (Rn ) ! F (Rn ).1nПример 3. Рассмотрим два векторных поля ~v1 и ~v2 в R3 и отображение, сопоставляющее паре векторов их скалярное произведение:r:D (R ) D (R ) ! F (R ),r(~v1 , ~v2)= (x y z )1 0 00 1 00 0 1333= j~v1j j~v2 j cos g.Легко проверить что это отображение F -билинейно; к тому же оно ещеи симметрическое: если поменять местами ~v1 и ~v2 , то результат не изменится.
Это отображение можно записать и в матричной форме:!r(~v1 , ~v2)1 1 16x2y2z2!,где xi , yi , zi — координаты вектора ~vi . Получаем симметрическую 2-форму, которая называется евклидовой метрикой в R3 .Пример 4. А вот пример (тоже хорошо всем известный) антисимметрического 2-ковектора, или внешней формы. Рассмотрим в пространстве R2 два векторных поля ~v1 и ~v2 и поставим им в соответствие ориентированную площадь t (~v1 , ~v2) 2F (R2 ) параллелограмма, построенногона этих векторах.
В координатах эта площадь равна определителюx1x2y1 = x1 y2y2 x2 y1 .Это отображение также является линейным по каждому из аргументов,но уже обладает свойством антикоммутативности: t (~v1 , ~v2) = t (~v2 , ~v1).Именно такие 2-ковекторы (их еще называют кососимметрическими) представляют для нас особый интерес.nnОпределение 1.
Отображение a : D(Rn ) :{z: : D (R ) ! F (R ) на|}kзывается внешней дифференциальной формой степени k, если оноF -линейно по каждому аргументу иa (~v1 , : : : , ~vi , : : : , ~vj , : : : , ~vn) = a (~v1 , : : : , ~vj , : : : , ~vi , : : : , ~vn)для любых i, j.Пространство k (Rn ) внешних дифференциальных форм степени k истанет объектом нашего дальнейшего изучения. Естественно, что всякий 1-ковектор можно рассматривать как внешнюю дифференциальнуюформу (впрочем, точно так же его можно рассматривать и как симметрическую форму).Для того, чтобы записывать формы в координатах, мы введем новую операцию на дифференциальных формах — внешнее произведение.Сначала определим ее для пары 1-форм.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
