А.А. Болибрух - Уравнения Максвелла и дифференциальные формы (1163421), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Но не всегда ареной физических событий бывает R4 .Например, уравнение магнитного диполя Дирака описывает ситуацию,когда в одной точке пространства расположен магнитный заряд. Тогдавсе уравнения пишутся в пространстве (R3 n fxg) R. В качестве такого пространства может также выступать произведение трехмерного торана R и т. д.В этих случаях лемма Пуанкаре уже не всегда имеет место, т. е. глобальный 4-потенциал может не существовать. Однако, поскольку локально каждое многообразие устроено как евклидово пространство, вкаждой карте свой 4-потенциал может быть построен. Но как связатьвместе все эти локальные 4-потенциалы, как записать в инвариантнойформе уравнения электромагнитного поля, заданного на всем пространстве и не зависящего от выбора карт (т.
е. локальных систем координат)?Для этого и существует язык расслоений и связностей, к знакомству скоторым мы теперь и приступаем.§ 6.Мы начнем с простого примера расслоения, который вам очень хорошо знаком.Пример 1. Рассмотрим функцию f : R4 ! R2 . Ее можно представить ввиде графика в пространстве R4 R2 . Это множество точек s = (x, f(x)),где x = (x1 , x2 , x3 , x4).
Имеется естественная проекция p пространстваR4 R2 , состоящего из точек (x, y), на R4 : (x, y) 7! x (рис. 1). Наша функция есть не что иное, как отображение s из базы — пространства R4 — впространство R4 R2 ; при этом p Æ s = id. Всякое отображение s, обладающее таким свойством, называется сечением.
А сама конструкция,которую мы построили, называется (тривиальным) расслоением илипрямым произведением.14Теперь мы обобщим приведенную в примере конструкцию. Рассмотрим покрытие R4 открытыми множествами Ui . Пусть для каждогонепустого пересечения Ui \ Uj задана некоторая функциясо значениями в группе невырожденных матриц размера2 2:gij : Ui \ Uj ! GL(2; R).Если набор функций fgij g обладает свойствами1) gji (x) = (gij (x)) 1 ,òÉÓ. 12) gij (x) gjk (x) gki (x) = I (если Ui \ Uj \ Uk 6= ?),то этот набор называют склеивающим коциклом (здесь (gij (x)) 1 — этоматрица, обратная к gij (x); I — единичная матрица).
При помощи склеивающего коцикла можно построить новый объект, который локально похож на сконструированное в предыдущем примере прямое произведение.«Кирпичиками» в нашей конструкциибудут пространства Ui R2 , которыемы будем склеивать по множествам~ (x, gij x) (U \ U ) R2 . Есть очень простой спо~x)(x,ijсобсклейки:точка (x, ~x) из Ui R2склеивается (отождествляется) с точpкой (x, ~x) из Uj R2 .
Тогда интуиUjUiтивно ясно, что мы получим в точности прямое произведение. Давайтепоступим иначе — склеим цилиндрыòÉÓ. 2«с подкруткой»: точку (x, ~x) отождествим с точкой (x, gij~x) (рис. 2). Ограничения, наложенные на функции gij , обеспечивают корректность такой склейки. Свойство 1) означает,что если точка (x, ~x) склеивается с некоторой точкой (x, ~h), то точка (x, ~h)cклеивается с точкой (x, ~x). Если у нас имеется пересечение трех цилиндров, то мы склеиваем точку из первого цилиндра с точкой из второгоцилиндра, ту, в свою очередь, — с точкой из третьего цилиндра, а ее —с точкой из первого цилиндра.
Свойство 2) гарантирует нам, что послетаких склеек точка первого цилиндра перейдет в себя.После склейки мы получим некоторое пространство P, сконструированное из этих цилиндриков, у которого будет естественная проекция pна базу R4 . Причем эта проекция корректно определена для всех цилиндриков, и склейка ее не портит.Полученный объект называют векторным расслоением с базой R4 ,пространством расслоения P, слоем R2 и структурной группойGL(2; R).15Возьмем теперь другой склеивающий коцикл и построим соответствующее ему векторное расслоение P0 с отображением проектирования p0 .Если существует взаимно-однозначное гладкое в обе стороны линейноена каждом слое отображение F из P в P0 , такое что диаграммаFPP0p0pR4коммутативна (т. е.
p0 Æ F = p), то говорят, что расслоения P и P0 эквивалентны. Расслоения, эквивалентные прямому произведению, называюттривиальными. Можно доказать, что если в качестве базы выступаетпространство R4 , то все расслоения будут тривиальными. Но ясно, что вприведенной конструкции конкретный вид базы (в качестве которой мывыбрали для простоты пространство R4 ) и размерность слоя (пространства R2 в нашем случае) ни при чем. В качестве базы может выступатьлюбое многообразие, а в качестве слоя — евклидово пространство любойразмерности.Приведем пример нетривиального расслоения с базой S1 (окружность).Пример 2. Рассмотрим два экземпляра цилиндра S1 R и выбросимиз первого цилиндра прямую fxg R, а из второго — прямую fyg R,где x и y — различные точки окружности S1 .
Получим два кирпичикаU1 R и U2 R, где U1 = S1 n fxg, а U2 = S1 n fyg. Пересечение U1 \ U2состоит из двух компонент V1 и V2 . Если z 2 V1 , то склеим точки (z, t)и (z, t). Если же z 2 V2 , то склеим наши кирпичики следующим образом: точка (z, t) первого кирпичика склеится с точкой (z, t) второго,т. е. в нашем случае склеивающий коцикл состоит из одного элемента g12 , тождественно равного единице на V1 и равного 1, если z 2 V2 .Структурная группа является группой GL(1; R), т.
е. группой ненулевыхдействительных чисел с операцией умножения.Пространство этого расслоения — поверхность, похожая на лиcтМёбиуса, только бесконечная. Она не гомеоморфна цилиндру S1 R,поскольку цилиндр — ориентируемое многообразие, а полученное намипространство расслоения — нет. Значит, это расслоение нетривиально.Сечение произвольного расслоения определяется точно так же, как ив разобранном случае прямого произведения: это такое отображение sиз базы в пространство расслоения, что p Æ s = id. Сечения расслоенияобразуют модуль над кольцом гладких функций базы: их можно складывать (покоординатно и поточечно) и умножать на функции.16§ 7.У прямого произведения есть следующее замечательное свойство: сечение прямого произведения можно дифференцировать вдоль любоговекторного поля ~v базы.
А именно, возьмем сечение (x, f(x)) и поставим ему в соответствие новое сечение (x, дv f), где дv f = df(~v)). Выражение df есть векторнозначная 1-форма вида (df1 , : : : , df4); ее значение навекторном поле ~v — гладкая вектор-функция ((df1 (~v), : : : , df4 (~v)). А ееграфик (т. е. сечение (x, df(~v))) и будет искомой производной (x, дv f) исходного сечения вдоль ~v.Можно ли похожим образом научиться дифференцировать сеченияпроизвольного расслоения? На сечение расслоения можно смотреть какна согласованную совокупность (x, fi) сечений кирпичиков Ui R2 . Условие согласованности состоит в том, что эти локальные сечения склеиваются в глобальное, т. е. для любой точки x 2 Ui \ Uj имеет место тождествоfi (x) = gij (x)fj (x).Давайте продифференцируем каждое такое элементарное сечениеобычным образом вдоль векторного поля.
Нужно только проверить, чтополученные локальные сечения вновь корректно склеиваются:дv fi = дv (gij fj)= (дv gij)fj + gij дv fj .Если бы члена (дv gij)fj не было, сечения бы склеивались и при склеивании давали глобально определенное, без разрывов, сечение. Но еслифункции gij зависят от x, то это определение ни к чему хорошему неприводит. Заметим, что невязка этой формулы — член, линейный по fj .Давайте чуть-чуть подправим определение производной вдоль векторного поля, добавив такую линейную по f часть, чтобы новые сечениясклеились.
А именно, определим новую производную, которая будет называться ковариантной производной вдоль векторного поля ~v:r f =д f +A f ,— матрица размера 2 2 (здесь суммирование по индексу i неv iiv iv iгде Aivпроизводится). Мы постараемся подобрать матрицы Aiv (свою для каждого кирпичика) так, чтобы в итоге после применения ковариантнойпроизводной все локальные сечения склеились в одно.Распишем определение rv :r f = д f + A f = д (g f ) + A (g f ) = (д g )f + g д f + A g f == g (g (д g )f + д f + g A g f ) = g r f .v iv iiv iijvij1ivij jvijjij jv jvij1ivijij jjijijv jivij jv jПоследнее равенство необходимо для того, чтобы локальные сечениясклеились. Выражение rv fj должно содержать член дv fj , следовательно,17сумма остальных членов должна равняться Ajv fj :Ajv = gij 1 дv gij + gij 1 Aiv gij .ОтсюдаAiv = дv gij gij 1 + gij Ajv gij 1 .Итак, если удается найти матричные функции Aiv , удовлетворяющиеполученному условию, то можно ввести операцию дифференцированиясечений вдоль векторного поля ~v.Но как быть, если надо продифференцировать сечения вдоль другоговекторного поля? Искать каждый раз подходящие матричные функциибыло бы довольно затруднительно.
Кроме того, естественно было быожидать, что rv1 f + rv2 f = rv1 +v2 f, как в случае обычных функций. Поэтому давайте потребуем, чтобы на каждой окрестности Ui была заданаматричная дифференциальная форма (т. е. матрица размера 2 2, всеэлементы которой являются 1-формами) wi так, что()wi = dgij gij 1 + gij wj gij 1для любых пересекающихся Ui и Uj .Тогда оказывается, что мы можем дифференцировать любое сечениевдоль любого векторного поля. Для этого нужно лишь положитьAiv = wi (~v).Определение 2. Говорят, что в векторном расслоении задана связность, если для любого набора окрестностей и склеивающих коциклов,по которым можно построить это расслоение, задан набор дифференциальных матричных 1-форм fwi g, удовлетворяющих свойству ().
Связность обозначается обычно значком r. Форма wi называется локальнойформой связности.Связность соотносится с ковариантной производной примерно так же,как дифференциал функции с частной производной. Если s — сечениерасслоения, имеющее в цилиндре Ui R2 вид (x, fi (x)), тоrs = (x, df + w f ).i()i iДругими словами, если мы применим к сечению не ковариантное дифференцирование, а оператор связности, то мы получим сечение с коэффициентами в 1-формах. Проиллюстрируем это диаграммой:r : fсечениеg ! fсечениеg (R ).1184Итак, связность в векторном расслоении — это просто возможность дифференцировать сечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
