А.А. Болибрух - Уравнения Максвелла и дифференциальные формы (1163421), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Связность является линейным отображением(т. е. r (s1 + s2) = rs1 + rs2) и удовлетворяет правилу Лейбница: длялюбого f 2 F (R4 ) и для любого сечения s имеем r (fs) = (df)s + frs.Это инвариантное определение связности: говорят, что на расслоении задана связность, если любому сечению ставится в соответствиеfсечениеg fдифференциальная формаg, и это отображение линейно иудовлетворяет правилу Лейбница. Легко показать что такое определениесвязности эквивалентно данному выше «координатному».Рассмотрим снова цилиндр Ui R2 . В нем есть стандартный базис сечений x1 = (x, e1), x2 = (x, e2) (где e1 и e2 образуют стандартный базисв R2 ). Любое сечение s = (x, fi (x)) над Ui может быть записано в виде s = fi1 x1 + fi2 x2 = (x1 , x2)fi (где последнее выражение понимается какпроизведение строки на столбец).
Для построенных сечений имеемrx = (x, re ) = (x, w e ) = (x, w ),jji jjiгде через wji обозначен j-й столбец матричной дифференциальной формы wi .Следовательно, (rx1 , rx2) = (x1 , x2) wi (вектор-строка умножается наматрицу), поэтому на матрицу wi можно смотреть как на матрицу связности в базисе (x1 , x2).Теперь делается более понятным смысл выражения (). Его можнопереписать в видеrfi = dfi + wifi.Это действие связности на координатах сечения s (по отношению к базисным сечениям x1 , x2).Во всяком ли векторном расслоении можно ввести связность? Ответ на этот вопрос дает следующее утверждение, которое мы оставляемчитателю в качестве упражнения.В любом гладком векторном расслоении можно ввести связность.(Указание: Рассмотрите гладкое разбиение единицы fli g, подчиненное покрытию fUi g; так как над каждым Ui расслоение имеет вид прямогопроизведения, в ограничении расслоения на Ui можноввести некоторуюPсвязность ri ; покажите, что линейная комбинацияli ri является корректно определенной связностью в исходном расслоении.)Сечение s называется горизонтальным (по отношению к связности r), если rs = 0.Из () следует, что в базисе x1 , x2 локальных сечений расслоениянад Ui координаты горизонтальных сечений удовлетворяют следующей19системе дифференциальных уравнений:dfi = wi fi .Если расслоение тривиально, то в базисе x1 , x2 глобальных сечений расслоения координаты горизонтальных сечений удовлетворяют следующейсистеме дифференциальных уравнений:df = wf.В другом базисе сечений (при другой тривиализации расслоения) x01 , x20согласно () уравнение горизонтальных сечений принимает видdf0 =w0 f0 ,где f0 = y,w0 = d1+ w1(и где в свою очередь (x1 , x2) = (x01 , x02) ).
Заметим, что такие преобразования называются калибровочными преобразованиями формы связности.Итак, связность в тривиальном расслоении задает систему дифференциальных уравнений с точностью до калибровочных преобразований.Если же расслоение нетривиально, то связность задает согласованное (в смысле соотношений ()) семейство систем дифференциальныхуравнений.§ 8.Попробуем продолжить диаграмму дифференцирования сечений:fсечениеg r! fсечениеg (R ) re! fсечениеg (R ),e каждому сечению с коэффициентами в 1-формахотображение r12nnгдеставит в соответствие сечение с коэффициентами в 2-формах.
Мы такжепотребуем, чтобы для него выполнялось правило Лейбница:re (fa) = df ^ a + f re a, re (bs) = (db)sb ^ rsдля произвольной функции f, сечения s и 1-формы b. Определим сквозe Æ r.ное отображение K = rЛемма. Отображение K являетсяF -линейным.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f — функция, s — сечение. Тогдаe (r (fs)) = re ((df)s + f rs) = (d2 f)s df ^rs + df ^rs + fK (s) = fK (s),K (fs) = rпоскольку d2 f = 0, а второй и третий члены сокращаются.20Отображение K называется тензором кривизны связности.
Локально над Ui в базисе x1 , x2 тензор кривизны можно записать в видеK (x1 , x2)= (x1 , x2) i ,где i — матрица дифференциальных 2-форм.Вычислим эту матрицу в нашем базисе через wi :re (r (x , x )) = re ((x , x ) w ) = (rx , rx ) ^ w + (x , x ) dw == (x , x ) (w ^ w ) + (x , x ) dw = (x , x ) (w ^ w + dw ).11221ii21i12i211i2ii2iiСравнивая коэффициенты при базисных векторах слева и справа, мыполучаем уравнение i = dwi + wi ^ wi . (Внешнее произведение wi ^ wiне обязано равняться нулю, поскольку wi — матричная форма.) Полученное уравнение называется структурным уравнением.
Дифференцируя это уравнение, мы получим di = i ^ wi wi ^ i . Это равенство носит название тождество Бьянки. Введя новый оператор Di == di i ^ wi + wi ^ i (его называют ковариантной производнойформы), данное выражение можно переписать в видеDi = 0.§ 9.По аналогии с конструкцией векторного расслоения рассмотрим теперь главное расслоение.
Для этого вместо R2 в наших кирпичикахвозьмем GL(2; R), т. е. в качестве элементарных цилиндров будем рассматривать цилиндры Ui GL(2; R). Склеивать мы их будем точно также, с помощью коцикла fgij g:(x, G) (x, g G),ijесли x 2 Ui \ Uj .Только умножать матрицу gij нам придется уже не на вектор, а на другуюматрицу G. Расслоение, у которого структурная группа и слой — это однои то же пространство, называют главным расслоением.В главном расслоении также можно ввести связность, формально воспользовавшись данным ранее определением (как совокупность согласованных с помощью соотношения () матричных дифференциальныхформ). Но ее уже нельзя будет рассматривать как дифференцирование вектор-сечений.
Геометрическая интерпретация связности в главномрасслоении состоит в том, что связность выделяет в касательном пространстве к каждой точке пространства расслоения подпространство такназываемых горизонтальных векторов, гладко зависящее от точки.21Объем данной брошюры не позволяет нам познакомиться подробнеес этой интерпретацией. Отметим лишь еще раз, что аналогично случаювекторного расслоения в главном расслоении можно ввести кривизнусвязности и выписать структурное уравнение и тождество Бьянки.§ 10.Вернемся вновь к уравнениям Максвелла.
Оказывается, на электромагнитное поле можно смотреть как на связность в главном раслоении над R4 со структурной группой и слоем U(1) GL(1; C )(U(1) — это группа комплексных чисел, равных по модулю 1, т. е. геометрически это окружность S1).В этом расслоении функции склейки gij принимают значение в группе U(1), а формы связности и кривизны становятся скалярными, а нематричными.
Поэтому для локальных форм связности и кривизны связности получаем: wi ^ wi = 0 и i ^ wi wi ^ i = 0. Структурное уравнениепринимает при этом вид i = dwi , а тождество Бьянки — di = 0.Поэтому локальную форму связности wi = Aim dxm мы будем интерпретировать как локальный 4-потенциал в данной калибровке, т. е. вданной локальной тривиализации расслоения над Ui , локальную формукривизны i — как тензор электромагнитного поля в данной калибровке,а тождество Бьянки превратится в фарадееву часть уравнений Максвелла.При переходе от одной локальной формы связности к другой (т.
е. призамене калибровки) получим согласно соотношению () (и согласно тому,что функции склейки — скалярные):wi = dgij gij 1 + gij wj gij 1 = wj + dSij ,где Sij = d log( gij), или в терминах компонент формы wi :Aim = Amj +дSij.дmСогласно этой формуле, компоненты локальной формы связности преобразуются точно так же, как компоненты 4-потенциала электромагнитного поля при калибровочных преобразованиях, что еще раз подтверждает правильность нашей интерпретации.Итак, в случае главного расслоения все наши формулы могут бытьописаны на двух языках: геометрическом и физическом.
Составим соответствующий словарик:22Выбор локального цилиндра(локальная тривиализация)Локальная форма связностиСвязностьЛокальная форма кривизнысвязностиТензор кривизны связностиТождество БьянкиПространство расслоенияБаза расслоенияСтруктурная группа расслоенияUi(UiG S1)wi = Ami dxmriKDiP (R4=0 S1)B (R4)G (U(1))Калибровка4-потенциал электромагнитногополя в данной калибровкеЭлектромагнитное полеТензор электромагнитного поля вданной калибровкеТензор электромагнитного поляФарадеева часть уравненийМаксвеллаФазовое пространствофизической системыПространство-времяГруппа «вращений» в зарядовомпространстве.Последняя строчка словарика требует пояснения. Дело в том, чтоструктурная группа U(1) появляется в описании электромагнитного поляв связи с тем, что физическая ситуация не должна зависеть от выборафазы (выбора направления в зарядовом пространстве), что соответствует инвариантности относительно калибровочных преобразований видаgij = exp(is(x)) со значениями в U(1).§ 11.Случай электромагнитного поля — в каком-то смысле простейший извозможных, так как структурная группа расслоения в этом случае оченьпроста.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
