А.А. Болибрух - Уравнения Максвелла и дифференциальные формы (1163421), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Эта операция будет тоже F -линейной, поэтому мы определим ее только на базисных 1-ковекторах, азатем распространим на все 1-формы по F -линейности. Каждой паре1-форм эта операция ставит в соответствие 2-форму, причем на базисных ковекторах она определяется следующим образом:(dxi ^ dxj) (~v1 , ~v2)= dxi (~v1) dxj (~v2)dxi (~v2) dxj (~v1).Легко проверить, что полученная форма кососимметрична. Замечательно, что таким образом можно получить весь базис в пространстве2-форм. Поэтому любой элемент w из 2 (Rn ) записывается очень просто:w=X61 i1 <i26nai1 i2 (x1 , : : : , xn) dxi1 ^ dxi2 .7Аналогично можно определить внешнее произведение для форм произвольной степени. Пусть a и b — p- и q-формы соответственно.
Тогдавнешним произведением форм a и b называется (p + q)-форма(a ^ b) (~v1 , : : : , ~vp+q)=1p! q!X=e (s) a (~vs1 (1), : : : , ~vs1 (p)) b (~vs+1) , : : : , ~vs1 (p+q) ),1 (pгде суммирование ведется по всевозможным перестановкам p + q элементов, а e (s) — знак перестановки s.Приведенное определение инвариантно, т. е. не зависит от выбора системы координат.
Но если система координат фиксирована, то из негосразу следует, что базис в пространстве k-форм состоит из элементоввида dxi1 ^ : : : ^ dxik , i1 < i2 < : : : < ik . Поэтому произвольная форма aимеет видa=X6ai1 :::ik (x1 , : : : , xn) dxi1 ^ : : : ^ dxik .1 i1 <:::<ik6nОтметим еше одно замечательное свойство операции внешнего дифференцирования: a ^ b = ( 1) pq b ^ a. Отсюда, в частности, следует, что еслистепень a нечетна, то a ^ a = 0.§ 3.Заметим, что операция дифференцирования каждой функции сопоставляет 1-форму.
А можно ли определить операцию дифференцированиядля произвольной формы? Оказывается, это очень легко сделать. Поопределению полагаемda =X61 i1 <:::<ik6ndai1 :::ik ^ dxi1 ^ : : : ^ dxik .Видно, что дифференциал повышает на единицу степень формы. Крометого, из этого определения сразу следует, что d2 a = 0. Действие дифференциала на внешние формы можно представить следующей диаграммой:F (R ) ! (R ) ! (R ) !nd1nd2nd:::! (R ) !dknd:::Этот объект называется компле́ксом де Рама, и в нем содержится большой объем информации о пространстве, на котором заданы дифференциальные формы.
В данном случае мы имеем дело с Rn , которое устроенодовольно просто, но если бы мы стартовали с другого пространства, ска8жем, со сферы, то по этому комплексу мы бы узнали очень многое отопологии пространства.Нетрудно проверить, что введенная с помощью координат операциявнешнего дифференцирования на самом деле от координат не зависит,т. е. является инвариантной (проверьте это самостоятельно).Наконец, последняя операция, которую нам осталось ввести — операция внутреннего произведения. Пусть у нас есть векторное поле ~vи внешняя форма a порядка p.
Тогда мы можем построить форму степениp 1, которая называется внутренним произведением формы a и поля ~v:(iv a) (~v1 , : : : , ~vp 1)= a (~v, ~v1 , : : : , ~vp).1Это определение также не зависит от выбора системы координат.§ 4.Попробуем теперь понять, что означают операторы ротора и дивергенции на инвариантном языке дифференциальных форм. Хотя мы частописали дифференциальные формы в координатах, определение их былоинвариантным, от координат не зависящим. А вот определения ротора идивергенции зависят от выбора системы координат.
Так давайте выясним,в чем же состоит эта зависимость.Разберемся сначала с дивергенцией. Мы начинаем с векторного поля ~v на R3 . По этому векторному полю мы построим 2-форму следующимобразом. Возьмем форму объема t = dx ^ dy ^ dz и рассмотрим внутреннее произведение iv t — это и есть обещанная 2-форма. Из нее мыполучим 3-форму путем взятия внешнего дифференциала. Но пространство 3-форм на R3 имеет единственный базисный вектор, и это в точностиформа объема dx ^ dy ^ dz. Значит, полученная нами форма есть некоторая гладкая функция, помноженная на форму объема. Проверим, что этагладкая функция и будет дивергенцией векторного поля ~v.
Пусть поле ~vимеет видд~v = vx+ vy д + vz д .дxТогдад,дyд(iv t),дzд(iv t),дx(iv t)д= (dxдzд= (dxдxд= (dxдyдy^ dy ^ dz)^ dy ^^ dy ^9дzд,дyдdz) ~v, ,дzдdz) ~v,,дxv,~д= vx ,дzд= vy ,дxд= vz .дyОтсюдаiv t = vx dy ^ dz + vy dz ^ dx + vz dx ^ dy.Теперь возьмем дифференциал:d(iv t)дvyдvx= дvdx ^ dy ^ dz +dy ^ dz ^ dx + z dz ^ dx ^ dy =дxдyдz=дvxдx+дvyдyz+ дvдzdx ^ dy ^ dz.Мы получили в точности дивергенцию, помноженную на форму объема.Таким образом, дивергенцию можно записать в очень компактном виде:div ~v =d(iv t)t.Что же здесь зависит от выбора системы координат? Внутреннее произведение и дифференциал инвариантны относительно замен координат, откоординат зависит только форма объема. Выясним, при каких заменахдивергенция не меняется.При замене координат x̂i = fi (x1 , x2 , x3) получаемt̂ = dx̂1 ^ dx̂2 ^ dx̂3 = J(f) t,где J(f) — определитель матрицы (dfi /dxj), называемый якобианом замены.
Поэтомуiv t)^ iv t + d(iv t) .= d(J(f)= dJ(f)J(f) tJ(f) ttd(iv t̂)t̂В силу произвольности поля ~v получаем, что дивергенция не меняетсялишь при таких заменах, для которыхdJ(f)= 0,т. е. J(f)= const .Если же под дивергенцией поля с компонентами vx , vy , vz пониматькомпоненту внешнего дифференциала 2-формы с компонентами vx , vy , vz(это форма iv t, выписанная выше), то такое определение инвариантнополностью, т. е. при этом дивергенция никак от выбора координат независит.Рассмотрим теперь ротор векторного поля ~v. Для этого введем отображение:D (R ) ! (R ),313 vxддxдд+ vy дy+ vz дz= vx dx + vy dy + vz dz.Заметим, что(d Æ ) (~v) =дvyдx^дvxдvzdx dy +дyдy10^дvyдvxdy dz +дzдz^дvzdz dx.дxРассмотрим отображение k : 2 (R3 ) ! D (R3 ), «обратное» к внутреннему произведению, т.
е. такое, что ik (a) t = a для всех a 2 2 (R3 ), где tпо-прежнему форма объема в R3 . Тогдаrot ~v = (k Æ d Æ ) (~v).Проверка полученного соотношения сводится к проверке тождестваirot ~v t = d( (~v)), которая проводится точно так же, как вычисление формы iv t в случае дивергенции.Проанализируем эту конструкцию. Нетрудно видеть, что задание равносильно определению отображенияr:D (R ) D (R ) ! F (R ),333~r(~v, w)~= ( (~v)) (w).Но из формулы для вытекает, что r совпадает с симметрической2-формой из примера 3, т. е. r является евклидовой метрикой в R3 .Заметим, что в определении отображения k существенную роль играеттрехмерность пространства R3 , так как степень формы ik (a) t на единицуменьше размерности пространства, а форма a имеет степень два.Отсюда следует вывод: операция взятия ротора векторного поля может быть определена инвариантно лишь на ориентированном трехмерноммногообразии, снабженном евклидовой метрикой (проверьте самостоятельно этот вывод, вычислив те замены координат, при которых компоненты ротора векторного поля действительно преобразуются как компоненты векторного поля).Этот вывод показывает, что ротор лучше определять не как векторноеполе, а инвариантным образом: как внешний дифференциал ковекторногополя vx dx + vy dy + vz dz.§ 5.Перейдем теперь непосредственно к анализу уравнений Максвелла.Если следовать традиционному взгляду, что составляющие электромаг~ H~ — это векторные поля, то анализ структурынитного поля — поля E,операторов ротора и дивергенции показывает, что уравнения Максвелла могут быть записаны корректно лишь в трехмерном ориентированномпространстве, снабженном евклидовой метрикой.Но тот факт, что ротор и дивергенция могут меняться при каких-то заменах координат, не отражает физику уравнений Максвелла, потому чтоприрода этих уравнений никак не связана с наличием, скажем, метрикив пространстве или с выбором системы координат.
Поэтому нам хотелось бы иметь какое-то инвариантное описание уравнений Максвелла.11Все вышеперечисленное позволяет предположить, что электромагнитноеполе есть дифференциальная форма степени два1 .Эта 2-форма , называемая тензором электромагнитного поля, определена на четырехмерном пространстве R4 с координатами(x, y, z, t), где t — время, и имеет вид: = cEx dx ^ dt + cEy dy ^ dt + cEz dz ^ dt ++ Hx dy ^ dz + Hy dz ^ dx + Hz dx ^ dy.Вычислим дифференциал этой формы и приравняем его к нулю.^ ^^ ^^ ^дEyдExдEdy dx dt + c x dz dx dt + cdx dy dt +дyдzдxдEдEydz dy dt + c z dx dz dt + c z dy dz dt ++ c дEдzдxдyдHyдHxдHx+ дx dx dy dz + дt dt dy dz + дy dy dz dx +дHдHzzdz dx dy +dt dx dy = 0.+ дty dt dz dx + дHдzдtd = c^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^Соберем коэффициенты при dx ^ dy ^ dz:^ ^^ ^дHxдxyz+ дH+ дH= 0,дyдzи мы получим второе уравнение Максвелла.
Теперь соберем коэффициенты при dx ^ dy ^ dt:cдEyдxдExдyz+ дH= 0.дtЭто есть z-компонента первого уравнения Максвелла. Собирая коэффициенты при dy ^ dz ^ dt и dz ^ dx ^ dt, мы получим x- и y-компонентыэтого уравнения соответственно.Итак, первые два уравнения Максвелла мы можем записать оченьпросто:d = 0.В чем преимущество этой записи? Мы записали уравнения в инвариантной форме: ни дифференциальные формы, ни внешнее дифференцирование не зависят ни от координат, ни от ориентации, ни от метрики.Вспомним теперь, что d2 = 0. Отсюда следует, что Im d Ker d. Нов пространстве R4 имеет место лемма Пуанкаре: Im d = Ker d.
Из этойлеммы следует, что всякая замкнутая форма (дифференциал от которой равен 0) является точной (т. е. является дифференциалом некоторой1 Здесь уместно еще раз отметить, что традиционная форма записи уравнений Максвеллапоявилась до создания теории дифференциальных форм.12 = dw, где w есть 1-форма на пространстве R4 :w = Ax dx + Ay dy + Az dz + At dt.формы).
В частности,Эта форма называется 4-потенциалом электромагнитного поля.Введем, как это обычно делается в физике, координаты x1 = x, x2 = y,x3 = z, x4 = ct. Тогда мы можем записать наши формы в виде = Fmn dxm ^ dxn ,w = Am dxm(знак суммирования по повторяющимся верхнему и нижнему индексамопущен). Тот факт, что = dw, можно записать совсем просто:Fmn =дAnдxmдAm,дxnm < n.Именно так выглядят уравнения Максвелла во всех современныхучебниках физики.Заметим, что форма w определяется по форме неоднозначно: мы можем всегда прибавить к этой форме точную 1-форму, т. е.
дифференциалфункции: w0 = w + dS. И вновь мы получим, что dw0 = , так как квадратдифференциала равен нулю. Это означает, что 4-потенциал определяется, как говорят, с точностью до калибровочных преобразований:A0m = Am + дS/дxm . А поскольку в уравнения Максвелла входят толькоэлементы Fmn , то, стало быть, выбор 4-потенциала не влияет на уравнения Максвелла.Так обстоят дела в классической электродинамике.
Но уже в квантовом случае движение частицы зависит не только от тензора электромагнитного поля, но и от 4-потенциала, и там калибровки имеют болееважное значение.ìÅËÉÑ 2На предыдущей лекции мы записали фарадееву часть уравненийМаксвелла (т. е. первые два уравнения) в видеd = 0,где = Fmn dx ^ dx , m < n (знак суммирования по повторяющимся индексам здесь и ниже, как правило, опускается) — тензор электромагнитногополя.Затем, используя тот факт, что для пространства R4 имеет место лемма Пуанкаре (каждая замкнутая форма на этом пространстве являетсяmn13точной), мы переписали полученное уравнение в виде = dw,илиFmn =дAnдxmw = Am dxm ,дAm,дxnm < n.Форма w называется 4-потенциалом электромагнитного поля и определяется с точностью до калибровочных преобразований A0m = Am + дS/дxm .Так обстоит дело, если пространство, на котором разворачиваютсясобытия, — R4 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
