Ответы на вопросы к экзамену, теория (1163361), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. . ⃗2 . . . ⃗ ⃗2 . . . ⃗(2.7.6)Рассмотрим слагаемые в правой части при > 2∫︁∞−−∞()() () = − |+∞ =−∞ = 0() (2.7.7)так как система ограничена в координатном пространстве.∫︁∞−∞ () = |+∞=0() =−∞ ()(2.7.8)так как вероятность обнаружить частицу с бесконечным значением импульса такжеравна нулю.Учтем, что (⃗1 ) ∑︁ Φ(|⃗1 − ⃗ |)=+(2.7.9)⃗⃗⃗11=2351alexandrows.narod2.ruи получим первое уравнение цепочки Боголюбова:1 ⃗1 1 1+−= ⃗1⃗1 ⃗1(︂ ∫︁)︂ ∫︁1 ∑︁Φ(|⃗1 − ⃗ |) 2=⃗ ⃗ =2⃗1⃗1⃗1 ⃗ ⃗1 ⃗(2.7.10)где заменяя последний интеграл на двухчастичную корреляционную функцию и считая1 −1≃= , получим:1 ⃗1 1 11+−= ⃗1⃗1 ⃗1∫︁Φ(|⃗ − ⃗′ |) 2 (, ⃗, ⃗′ , ⃗, ⃗′ ) ⃗′ ⃗′ ⃗⃗(2.7.11)Для получения второго уравнения цепочки Боголюбова, подействуем на уравнение Лиувилля оператором∫︁2.
. . ⃗3 . . . ⃗ ⃗3 . . . ⃗(2.7.12)«Выживут» на этот раз слагаемые с = 1, 2. Производя аналогичные операции, получимуравнение:212+ 2 + (⃗1 ) + (⃗2 ) + Φ(|⃗1 − ⃗2 |), 22 2∫︁1+{Φ(|⃗1 − ⃗3 |) + Φ(|⃗2 − ⃗3 |), 3 } ⃗3 ⃗32 (, ⃗1 , ⃗2 , ⃗1 , ⃗2 )={︂кл2.8}︂+кл(2.7.13)С помощью кинетического уравнения с релаксационным членом в приближении = оценить коэффициент внутреннего трения термически однородногоклассического газа.Кинетическое уравнение с релаксационным членом: (, ⃗, ⃗)⃗ − 0+−=− ⃗⃗ ⃗(2.8.1)где такое, что при & система является слабонеравновесной, 0 - равновеснаяодночастичная функция распределения.Типичная схема эксперимента по определению коэффициента внутреннего трения представлена на рис.
2. Пластина при = 0 неподвижна, при = движется в направленииоси со скоростью . = 0, = , = . = ≡ , = = 0(2.8.2)Сила вязкого трения в расчете на 12 поверхности верхней пластины создается потокомв направлении частиц, переносящих количество движения в направлении :∫︁Fтр= ⃗(2.8.3)Из кинетического уравнения: = 0 ( − , , ) − 360 ( − , , )(2.8.4)alexandrows.narod2.ruРис. 2:Схема установки для определения коэффициента внутреннего тренияТак как{︂ 2 }︂(︁ )︁3/20 () = exp22то(2.8.5)(2.8.6)Перейдем к новой переменной ′ ≡ − . Такотносительно своихаргументов, слагаемые, пропорциональные нечетным степеням обратятся в 0, 2 = ( − )0как 0 симметрична = 0 ( − , , ) − Fтргде2= −∫︁2 (′ )2 0 (′ , , ) ′ = −2 = − (2.8.8) = - коэффициент трения2.9(2.8.7)Получить дисперсионное уравнение для продольных колебаний электростатического поля и плотности в классической плазме, связывающее плазменнуючастоту с величиной волнового вектора.
Показать, как может быть устраненаобратимость во времени уравнения Власова («-процедура»).Линеаризованное уравнение Власова не учитывает столкновения, следовательно, обратимо во времени. Т.н. «-процедура» заключается в том, что вместо 0 в правой частиставим интеграл столкновений в аппроксимации релаксационным членом с тем, чтобыпотом устремить его к нулю:(︂)︂= −(1 − 0 ) = − |→0 , >0(2.9.1)ст37alexandrows.narod2.ruВнешнее поле считаем отсутствующим, решение ищем в виде изолированной волны:⎧ 0⎪⎪+ ⃗−= −⎪⎪⃗⃗⎪⎪∫︁⎪⎪⎪⎨ ⃗ = −4 (, ⃗′ , ⃗′ ) ⃗′⎪⎪ (, ⃗, ⃗ ) = (⃗ )−(−)⎪⎪⎪⎪ (, ⃗) = −(−)⎪⎪⎪⎩ = = 0Тогда из 2.9.2: 0 = − (︂)︂ 0 = + − ∫︁ = −4 (⃗ ) ⃗− + −откуда следует, чтоТакже из 2.9.2:(2.9.2)(2.9.3)(2.9.4)(2.9.5)Подставляя из 2.9.4: = −40⃗ + − ∫︁(2.9.6)Ищем нетривиальные решения ( ̸= 0 , ̸= 0).
Обозначим42 (2.9.7){︂}︂2 exp −2=0 + − (2.9.8)02 ≡Тогда:1−02 (︁ )︁1/2 2−∞- искомое уравнение.2.10∫︁∞Дать качественный вывод кинетического уравнения Больцмана для пространственно однородного газа с короткодействием (без использования цепочки Боголюбова).Рассмотрим систему из одинаковых нейтральных частиц, в которой основным механизмом, определяющим кинетику системы, является соударение частиц друг с другом. Учтемтолько парные столкновения (так как задача трех тел в общем случае в квадратурах нерешается).
С физической точки зрения пренебрежение тройными столкновениями имеетширокую область применимости - системы типа разреженных газов.Будем рассматривать взаимодействие Φ(|⃗1 − ⃗|) типа отталкивания, имеющее конечныйрадиус действия√︂0 ≪ =(2.10.1)3 ∼ст0≪св. проб.38∼1(2.10.2)alexandrows.narod2.ruИсходя из распределение Бернулли, можно оценить вероятность трехчастичного столкновения:3( )3 2!1 031∼=≪1(2.10.3)=23! ( )233 Рассмотрим пространственно однородную систему:{︃ (⃗) = 01 = 1 (, ⃗)(2.10.4)- при переходе от механического этапа ( . ) к кинетическому этапуэволюции (∆ ≫ ) все функции (, 1, . .
. , ), > 2 начинают зависеть от времени ненепосредственно, а через зависимость от одночастичной функции: 2 = 2(1, 2|1) и.т.д.Тогда правая часть первого уравнения цепочки Боголюбова (2.7.10):Φ(|2 ) = Φ(|2 (, ′ |1 )) = Φ̃(|1 )(2.10.5)- уравнение становится замкнутым.Качественный вывод:Пусть ⃗ и ⃗1 - импульсы двух частиц до столкновения⃗′ и ⃗′1 - их импульсы после столкновения⃗′ и ⃗′1 являются функциями ⃗, ⃗1 , прицельного расстояния , угла и потенциала взаимодействия Φ(). Законы сохранения:Подход Боголюбовастст{︃откуда⃗ + ⃗1 = ⃗′ + ⃗′1 ≡ ⃗2 + 21 = (′ )2 + (′1 )2(2.10.6)(⃗ · ⃗1 ) = (⃗′ · ⃗′1 )(2.10.7)⃒⃒ ⃒⃒⃒ ⃗1 − ⃗ ⃒ ⃒⃒ ⃗′1 − ⃗′ ⃒⃒⃒=⃒|⃗| = ⃒⃒⃒ = |⃗′ | ⃒ ⃒ ⃒(2.10.8)следовательно, относительные скорости совпадают по модулю:Переходим к переменным ⃗ и ⃗:⎧⎪⃗⃗⎪⎪⃗=−⎪⎪22⎪⎪⎪⎪⃗⎪⃗⎪⎪⎪⎨⃗1 = 2 + 2(2.10.9)⎪⃗⃗′⎪′⃗⎪ = −⎪⎪22⎪⎪⎪⎪′⃗⎪⎪⎪⃗′ = + ⃗⎪⎩ 122Так как преобразования линейны, детерминанты совпадают:(⃗, ⃗1 )(⃗′ , ⃗′1 )=(⃗ , ⃗)(⃗ , ⃗′ )(2.10.10)⃒(⃗′ , ⃗′1 )(⃗′ , ⃗′1 ) (⃗ , ⃗′ ) (⃗ , ⃗)⃗′ ⃒⃒=··=(⃗, ⃗1 )⃗ ⃒⃗ =(⃗ , ⃗′ ) (⃗ , ⃗) (⃗, ⃗1 )(2.10.11)39alexandrows.narod2.ruВведем такую систему координат, что{︃⃗ = ( , , )⃗′ = ( , , − )Тогда:(2.10.12)⎡⎤1 0 0⃗= ⎣0 1 0 ⎦ = −1⃗0 0 −1(2.10.13)⃒⃒⃒ (⃗′ , ⃗′ ) ⃒⃒1 ⃒⃒ = 1 ; ⃗′ ⃗′1 = ⃗⃗1⃒⃒ (⃗, ⃗1 ) ⃒(2.10.14)′Откуда следует, чтоВывод интеграла столкновенийВведем для функции 1 с различными импульсными аргументами стандартные обозначения:⎧1 (, ⃗, ⃗) ≡ ⎪⎪⎪⎨ (, ⃗, ⃗ ) ≡ 11(2.10.15)1⎪1 (, ⃗, ⃗′ ) ≡ ′⎪⎪⎩1 (, ⃗, ⃗′1 ) ≡ 1′Рассмотрим малую область 6-мерного пространства = (, +∆) = (⃗, ⃗ +∆⃗; ⃗, ⃗ +∆⃗)В момент времени в этом объеме находится в среднем ⃗⃗ частиц ( = 1 = ), изкоторых мы выберем одну, «остановим» ее, т.
е. перейдем в систему отсчета, двигающуюсясо скоростью ⃗ , нарисуем вокруг нее сферу с радиусом 0 = 20 и выберем ось вдольвектора ⃗1− ⃗ = ⃗ = (0, 0, ). Тогда, обозначив элемент сечения = , получим,что среднее число частиц с импульсами (⃗1, ⃗1 + ∆⃗1), падающих за секунду на элемент , будет равно1 ⃗1(2.10.16)Среднее число столкновений всех частиц из объема с частицами, имеющими импульс(⃗1 , ⃗1 + ∆⃗1 ), запишется как:(1 ⃗1 ) ⃗⃗(2.10.17)В результате каждого столкновения ⃗⃗1 −→ ⃗′1⃗′ из объема убывает частица, следовательно (2.10.17) - скорость убывания числа частиц из , происходящего вследствие такихсоударений. Также происходит и обратный процесс, поэтому аналогично(1′ ⃗′1 ) ′ ⃗′ ⃗(2.10.18)- скорость увеличения числа частиц.Учитывая, что ⃗′⃗′1 = ⃗⃗1, интегрируя по всем значениям импульса налетающей частицы ⃗1 и по параметрам столкновения и подводя баланс входящих в и выходящихиз него частиц за секунду, получаем:( )⃗⃗ =(︂∫︁2( ′ 1′)︂− 1 )⃗1 ⃗⃗(2.10.19)откуда и следует уравнение Больцмана для пространственно однородного случая=(︂)︂ст1=∫︁40( ′ 1′ − 1 )⃗1(2.10.20)alexandrows.narod2.ruЕсли система пространственно неоднородна, но пространственная неоднородность системы является крупномасштабной с точки зрения молекулярной единицы длины, то⃗ 1+−= ⃗⃗ ⃗2.11∫︁( ′ 1′ − 1 )⃗1(2.10.21)Доказать лемму Больцмана и получить из нее ℋ-теорему Больцмана.
Каковапричина появления необратимости во времени полученного результата? Обсудить парадокс Лошмидта.2.11.1Лемма БольцманаРассмотрим интеграл - свертку некоторой функции Φ(⃗) с интегралом столкновенийБольцмана:(︂∫︁≡Φ(⃗))︂∫︁⃗ =)︁(︁Φ(⃗) (⃗′1 ) (⃗′ ) − (⃗1 ) (⃗) ⃗⃗1(2.11.1)стЗапишем этот же интеграл еще в трех видах.∙ Меняя частицы местами, т. е. заменяя ⃗ ←→ ⃗1 , получаем∫︁=∙(︁)︁′′⃗⃗Φ(⃗1 ) (1 ) ( ) − (⃗1 ) (⃗) ⃗⃗1(2.11.2)Перейдем в исходном интеграле к интегрированию по ⃗′ и ⃗′1, (т. е. будем «перебирать» не состояния ⃗, ⃗1 до столкновения, а конечные импульсы ⃗′ и ⃗′1, однозначновыражаемые через исходные). Так как было доказано (см (2.10.14)) равенство произведения дифференциалов, и модуль относительной скорости = ′, то∫︁=(︁)︁Φ(⃗) (⃗′1 ) (⃗′ ) − (⃗1 ) (⃗) ⃗′ ⃗′1(2.11.3)Переобозначая теперь штрихованные импульсы на нештрихованные и наоборот (задача парного соударения по отношения к такой замене обратима), получаем:∫︁=−∙(︁)︁′′′⃗⃗⃗Φ( ) (1 ) ( ) − (⃗1 ) (⃗) ⃗⃗1(2.11.4)Аналогично (заменяя ⃗ ←→ ⃗1) получаем четвертый вариант:∫︁=−(︁)︁Φ(⃗′1 ) (⃗′1 ) (⃗′ ) − (⃗1 ) (⃗) ⃗⃗1(2.11.5)Складывая все четыре варианта и возвращаясь к принятой в предыдущем вопросе системеобозначений, получаем:1=4∫︁(Φ + Φ1 − Φ′ − Φ′1 )( ′ 1′ − 1 )⃗⃗141(2.11.6)alexandrows.narod2.ru2.11.2ℋ-теорема БольцманаВведем безразмерную функцию распределения:(2.11.7)1ℱ = (2~)3 Уравнение Больцмана для ℱ :ℱ⃗ ℱ ℱℱ=+−= ⃗⃗ ⃗∫︁(ℱ ′ ℱ1′ − ℱℱ1 )Опр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
