Ответы на вопросы к экзамену, теория (1163361), страница 7
Текст из файла (страница 7)
9: ℋ-функция (безразмерная ℋ-функция Больцмана)∫︁ℋ() =Так какℱ(, ⃗, ⃗) ln ℱ(, ⃗, ⃗)⃗1(2~)3⃗⃗(2~)3∫︁ ℱ⃗ ℱ(ℱ ′ ℱ1′ − ℱℱ1 )+⃗1 −3(2~) ⃗⃗ ⃗∫︁ℱ ⃗⃗⃗⃗=ℱ= = 033 (2~)(2~)⃒+∞∫︁∫︁∫︁⃒ℱℱ=0ln ℱ =(ℱ ln ℱ) − = (ℱ ln ℱ − ℱ)⃒⃒=−∞где - любая из компонент ⃗ или ⃗, в выражении для скорости измененияℋ() останется только член, включающий интеграл столкновений:(︂)︂∫︁ℱ⃗ ⃗ℋ̇() = ln ℱ(2~)3ℱ=∫︁Так как∫︁(2.11.9)(2.11.10)(2.11.11)(2.11.12)функции(2.11.13)стПо лемме Больцмана1ℋ̇() =4(2.11.8)′(ln ℱ + ln ℱ1 − ln ℱ −(︂ℱ)︂⃗⃗=(2~)3∫︁1ℱ′ℱ′ ⃗1 ⃗ ⃗=−ln 1 (ℱ1′ ℱ ′ − ℱℱ1 )4ℱℱ1(2~)6ln ℱ1′ )( − ) ln{︃ст(2.11.14)(2.11.15)> 0 ̸= =0 =(2.11.16)ℋ60ч.т.д.Важно отметить, что последняя формула означает, что уравнение Больцмана описываетнеобратимую во времени эволюцию системы.
К появлению необратимости привели:∙ (предпосылка) в 1 (, ) перешли к кинетической шкале времени (уже не механической), сгладив тем самым процессы в масштабе ∆ ∼ .∙ Несмотря на то, что время как динамический параметр благодаря переходу к кинетической шкале в интеграле столкновений выпало, мы сохранили его направление,точно зафиксировав понятия «до» и «после».∙ В математическом аспекте выбор характера необратимости при рассмотрении цепочки Боголюбова произошел вследствие принятия граничного условия, выражающегопринцип ослабления корреляции.
Если вместо → ∞ положить → −∞ (т. е. поменять прошлое и будущее), то мы получим интеграл столкновений с другим знаком,и функция ℋ() будет уже возрастать во времени.ст42alexandrows.narod2.ru2.11.3Парадокс Лошмидта()Пусть в сосуде с объемом , небольшая его часть 1 выделена стенками, и плотность частиц в этой области 1 больше, чем в окружающей ее системе («не будем делать большойсосуд пустым, хотя это и эффектно»). В момент = 0 стенки убираются, и это приготовленное заранее состояние (при < 0 оно было равновесным) становится начальнымсостоянием неравновесного процесса.
Система начинает эволюционировать «по Больцману», плотность 1 начинает уменьшаться. В момент = 0 обратим скорости всех частиц⃗ → −⃗ . Тогда система начнет эволюционировать обратно, и к моменту = 20 частицысами соберутся опять в коробочку 1. На интервале 0 < < 20 ℋ-теорема Больцмана> 0 , это и есть парадокс Лошмидта.инверсирована, ℋЧто касается эффекта роста ℋ (а у нас — роста плотности 1()) на интервале 0 < < 20,то тут нет парадокса.
Процедура получения уравнения Больцмана методом Боголюбовадопускает получение и «антикинетического» интеграла столкновений: для этого надо выбрать условия ослабления корреляций не при → ∞ а при → −∞.В наши дни, по прошествии более ста лет, ответ Больцмана Лошмидту: «попробуйте же их повернуть» воспринимается как трагический возглас отчаяния.Так как спонтанного возникновения антикинетического состояния никто никогда не наблюдал, предположим поэтому, что мы наняли армию из 1023 демоновМаксвелла, которые по команде в один и тот же миг обращают скорости всехN частиц. Заметим мимоходом, что при этой операции неизбежно возникнутмелкие ошибки, то есть будет → − + Антикинетические состояния очень чувствительны (в отличие от устойчивых кинетических) к этим неточностям. Далее, само обращение ⃗ → −⃗ и его момент 0 должныудовлетворять довольно жестким условиям.
Так как в статистической системе отдельнаячастица очень быстро теряет память о своем прошлом состоянии, то вся система обладаеттем же свойством, и для успешного воспроизведения при = 20 начального состояниянадо выбрать 0 меньше, чем это время памяти.
Последнее же измеряется в масштабевремени свободного пробега (для газа при нормальных условиях это 10−10c ). Само переключение также не может быть мгновенным, время этого переключения ∆ должно бытьмного меньше 0.парадокс обратимости2.12Линеаризуя интеграл столкновений Больцмана, показать, что характерное время релаксации к состоянию равновесия определяется наименьшим положительным собственным значением соответствующего оператора.Пусть ′ - характерное время релаксации к состоянию равновесия. Полагая, что за ∆ ∼крупномасштабные неоднородности фактический отсанутся неизменными, рассмотрим сразу пространственно однородный случай.св.
проб.=При ∼ ′{︃(︂)︂∫︁=( ′ 1′ − 1 ) ⃗1(2.12.1)ст (, ⃗, ⃗) = ˜ (⃗, ⃗)(1 + (, ⃗, ⃗))≪143(2.12.2)alexandrows.narod2.ruПодставляя эту конструкцию в кинетическое уравнение и опуская члены порядка 2, получим=˜∫︁[︁]︁ ⃗1 ˜ ′ ˜1′ − ˜ ˜1 + ˜ ˜1′ (′ + ′1 ) − ˜ ˜1 ( + 1 )>(2.12.3)Так как ˜ ′˜1′ = ˜ ˜1, то=∫︁ ⃗1 ˜1 (′ + ′1 − − 1 )Положим:(, ⃗, ⃗) = − ℎ(⃗, ⃗)Получим «безвременное» линейное интегральное уравнение:∫︁ ⃗1 ˜1 (ℎ′ + ℎ′1 − ℎ − ℎ1 )− ℎ =(2.12.4)(2.12.5)(2.12.6)в котором величина − играет роль собственного значения интегрального оператора, стоящего в правой части (тривиальное решение = 0, означающее = ˜ , нас неинтересует).Покажем, что все собственныезначения неотрицательны. Проинтегрируем каждую часть∫︁уравнения (2.12.4) с . .
. − ℎ˜ ⃗:∫︁ℎ ˜ ⃗ = −2ℎ (ℎ′1 + ℎ′ − ℎ1 − ℎ) ˜ ˜1 ⃗ ⃗1(2.12.7)2(ℎ′1 + ℎ′ − ℎ1 − ℎ) ˜ ˜1 ⃗ ⃗1 > 0(2.12.8)∫︁В соответствии с леммой Больцмана∫︁1ℎ ˜ ⃗ =42∫︁Так как ℎ ̸≡ 0, то > 0.Собственная функция ℎ0, соответствующая = 0 ( см (1.20.7) ):(2.12.9)Это решение можно учесть, «перенормировав» с точностью до линейных по ℎ0 членовлокальное распределение ˜ :ℎ0 = 0 + ⃗0 ⃗ + 0 2{︁}︁′ ⃗′′ 2ℱ = ˜ (1 + ℎ0 ) ≃ ℱℎ0 = exp ( + 0 ) + (⃗ + ⃗0 )⃗ + ( + 0 )2 = +0 ⃗+ (2.12.10)Все же остальные решения имеют ярко выраженный релаксационный характер, причемвеличины v образуют ограниченный сверху спектр обратных времен релаксации, из которых максимальное есть1′ =(2.12.11)ч.т.д.44alexandrows.narod2.ru3Сокращения∙ ТД - термодинамический(-ая, -ое)∙ ТДС - термодинамическая система∙ ТДР - термодинамическое равновесие∙ ВФ - волновая функция∙ БЧ - броуновская частица∙ ФП - фазовое пространство45alexandrows.narod2.ruПредметный указательℋ-функция, 42Броуновская частица (БЧ), 10Кинетические функции распределения, 19Марковский СП, 15Марковский гауссовский СП, 15Состояние ТД равновесия, 6Статистические флуктуации, 6Стационарный СП, 14Фазовое пространство, 1746alexandrows.narod2.ru.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
