Ответы на вопросы к экзамену, теория (1163361), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Каков физический смысл соответствующего значения функции?Интеграл столкновений Больцмана (2.10.19)=(︂)︂ст1=∫︁( ′ 1′ − 1 )⃗1(1.20.1)Безразмерная функция распределения (2.11.7)ℋ-функция(1.20.2)1ℱ = (2~)3 Больцмана (2.11.9)∫︁ℋ() =ℱ(, ⃗, ⃗) ln ℱ(, ⃗, ⃗)⃗⃗(2~)3(1.20.3)По лемме Больцмана1ℋ̇() =4∫︁′(ln ℱ + ln ℱ1 − ln ℱ −(︂ℱ)︂⃗⃗=(2~)3∫︁ℱ′ℱ′ ⃗1 ⃗ ⃗1=−ln 1 (ℱ1′ ℱ ′ − ℱℱ1 )4ℱℱ1(2~)6ln ℱ1′ )24ст(1.20.4)alexandrows.narod2.ruВыясним, какая функция ℱ соответствует предельному значению функции ℋ(∞) = ℋ0,когда ℋ= 0. Так как под интегралом, определяющим эту производную, стоит неотрицательнаявеличина, то интеграл равен нулю только в случаеlnℱ1′ ℱ ′(ℱ1′ ℱ ′ − ℱℱ1 ) = 0ℱℱ1(1.20.5)Необходимо отметить, что функция ℱ , удовлетворяющая этому функциональному уравнению, обращает в нуль и интеграл столкновений Больцмана.
Перепишем последнее уравнение в виде:(1.20.6)ln ℱ(⃗, ⃗) + ln ℱ(⃗, ⃗1 ) = ln ℱ(⃗, ⃗′ ) + ln ℱ(⃗, ⃗′1 )Таким образом ln ℱ + ln ℱ1 - любая аддитивная величина, сохраняющая в задаче об упругом столкновении двух тел, или линейная комбинация подобных величин. Такими величинами являются константа, три компоненты вектора импульса ⃗ (следствие закона сохранения импульса) и квадрат импульса 2 (следствие закона сохранения энергии). Такимобразом{︁}︁⃗ + 2ℱ(⃗, ⃗) = exp + ⃗(1.20.7)⃗ ) к ((⃗), ⃗0 (⃗), (⃗)), легко убедится, что ℱ можно привести к видуПереходя от (, ,локального распределения Максвелла:{︂}︂(⃗ − ⃗0 (⃗))2(2~)3exp −ℱ(⃗, ⃗) = (⃗)(2(⃗))3/22(⃗)(1.20.8)где∙ (⃗)- локальная плотность числа частиц∫︁ℱ(⃗, ⃗)(⃗) =∙⃗0⃗(2~)3(1.20.9)- локальная средняя скорость(1.20.10)⃗0⃗=∙ (⃗)- локальная температура(⃗) =2 (⃗ − ⃗0 (⃗))232(1.20.11)Рассмотрим пространственно однородную систему ( или систему, состоящую из ряда пространственно однородных покоящихся друг относительно друга макроскопических подсистем)1 (⃗) = 0 ; (⃗) = ; (⃗) =; ⃗0 = 0(1.20.12)Тогда функция ℱ0 это просто максвелловское распределение, и∫︁ℋ0 =ℱ0 ln ℱ0⃗ ⃗=(2~3 )∫︁2 [︂ (︂)︂]︂1(2~)32 2 ln −=(2)3/2(2)3/22−25alexandrows.narod2.ru}︂ ⎞ ⎛{︂}︂ ⎞⎤22∫︁∫︁∫︁exp −exp −⎜⎥⎢⎜2(2)3/22 ⎟2 ⎟⎟⎜⎟⎥ =⎢⎜=−+ ⎝ ⃗⃗ ⎣⎝ ⃗ ln⎠⎠⎦33/23/2(2~)(2)2 (2){︂⎡⎛(2)3/2 3ln+(2~)32(1.20.13)- энтропия идеального классического газа, рассчитанная с помощью метода Гиббса(︂= −)︂= −02Трудные вопросы2.1Выразить дисперсию числа частиц в макроскопическом объеме через парнуюкорреляционную функцию.
Установить аддитивность дисперсии.-частичныефункции распределения:⎧∫︁⎪⎪1 (⃗1 ) = ⃗2 · · · ⃗⎪⎪⎪⎪⎪( ) ∫︁⎨3 · · · ⃗2 (⃗1 , ⃗2 ) = 2 ⃗⎪⎪⎪⎪⎪( )⎪⎪⎩· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·(2.1.1)Они подчиняются принципу ослабления корреляций:2 (⃗1 , ⃗2 ) → 1 (⃗1 )1 (⃗2 ) при |⃗1 − ⃗2 | → ∞В пространственно однородном и изотропном случае1 (⃗1 ) = 1 (0) = 12 (⃗1 , ⃗2 ) = 2 (|⃗1 − ⃗2 |) = 2 () при ≡ |⃗1 − ⃗2 |Для величины аддитивного типа2 () → 1 при → ∞A(⃗1 , . . . , ⃗ ) =∑︁(2.1.2)(2.1.3)(2.1.4)(2.1.5)(2.1.6)(⃗ )166A=∑︁ ∫︁∫︁∑︁ 1 ∫︁⃗1 . . .
⃗(⃗ )⃗ =(⃗ )1 (⃗ )⃗⃗∫︁∫︁1A=(⃗1 )1 (⃗1 )⃗1 =(⃗)1 (⃗)⃗(2.1.7)(2.1.8)Для величин бинарного динамического типа:B=∑︁(2.1.9)(⃗ , ⃗ )16<6B=∑︁16<6∫︁∫︁(⃗ , ⃗ )⃗ ⃗⃗1 . . . ⃗ ( − 1)=⃗ ⃗2 226∫︁(⃗1 , ⃗2 )2 (⃗1 , ⃗2 )⃗1 ⃗2(2.1.10)alexandrows.narod2.ru1B≃ 22Дисперсия:Так как(2.1.11)∫︁(⃗1 , ⃗2 )2 (⃗1 , ⃗2 )⃗1 ⃗2(2.1.12)(︀ )︀2(∆A)2 = A2 − A∑︁A2 =,СледовательноA21=∫︁∑︁(⃗ )(⃗ ) =∑︁2 (⃗ ) + 2166(⃗ )(⃗ )16<6∫︁ ∫︁1 (⃗)1 (⃗) ⃗ + 22(⃗1 )(⃗2 )2 (⃗1 , ⃗2 ) ⃗1 ⃗2( )(2.1.13)(2.1.14)( )Рассмотрим систему с заданными параметрами (, , ), внутри которой выделим макроскопический объем 0.
Введем функцию (⃗) следующим образом:{︃ (⃗) =(2.1.15)1 ⃗ ∈ 00 ⃗ ∈/ 0Тогда точное число частиц в объеме 0 равно:∑︁0 (0 ) =(2.1.16) (⃗ )166∫︁10 =1 (⃗)1 (⃗)⃗ =( )В пространственно однородном случае 1(⃗) = 1 и0 =∫︁1 (⃗)⃗(2.1.17)(0 )(2.1.18)0Так как 2(⃗) = (⃗)021=∫︁11 (⃗)⃗ + 2(0 )∫︁ ∫︁2 (⃗1 , ⃗2 )⃗1 ⃗2(2.1.19)(0 )В пространственно однородном случае0201=+ 2∫︁ ∫︁2 (|⃗1 − ⃗2 |)⃗1 ⃗2(2.1.20)(0 )Тогда(∆0)201=+ 2∫︁ ∫︁(2 (|⃗1 − ⃗2 |) − 1)⃗1 ⃗2(2.1.21)(0 )Если 0 - макроскопический объем (0 ∼ √0 ≫ ), то заключенная в нем системаявляется термодинамической. Перейдем к новым переменным:3корр⃒⃒⃒ (,⃗⃗2 ) ⃒⃒⃒⃗ ≡ ⃗1 − ⃗2 ; ⃒⃒=1⃒ (⃗1 , ⃗2 ) ⃒27(2.1.22)alexandrows.narod2.ruТак как [2() − 1] отлична от 0 в относительно небольшой по сравнению с 0 области∼ 3 , в которой < , то интегрирование по (0) можно распространить на всепространство ∈ [0, ∞).корркорр0(∆0 )2 =(︂11+∫︁⃗[ () − 1] (︂)︂= 041 + 3корр)︂∼ 0(2.1.23)где - конечная величина неаддитивного термодинамического типа, зависящая от конкретных свойств рассматриваемой системы (от закона взаимодействия частиц друг с другом и т.д.).Из этой формулы следует, что (∆0)2 является величиной аддитивного типа.Для относительной флуктуации получаем:(2.1.24)10 ∼ √︀02.2Для пространственно однородного классического идеального газа вычислитьсреднее значение и относительную флуктуацию числа частиц 1 в некоторойчасти сосуда объема 1 .
Показать,что отклонение Δ1 = 1 − 1 от средне√го значения имеетпорядок и что в пределе → ∞, , 1 → ∞, 1 / = √величина Δ1 / подчиняется нормальному закону.Введем функцию (⃗) следующим образом:{︃ (⃗) =(2.2.1)1 ⃗ ∈ 10 ⃗ ∈/ 1Тогда∑︁1 =(2.2.2)1661 =∑︁(2.2.3) = Для пространственно однородной системы1 = 1 =(см. предыдущий вопрос)Так как частицы некоррелированны, то{︃Следовательно(2.2.4)1(2.2.5) = · ̸= = ⎧⎨11(∆1 )2 = (1 − ) ∼ ⎩(∆ ) ∼ √1(2.2.6)Так как частицы некоррелированны, то вероятность попадания каждой из частиц в объем1 одинакова и равна1=(2.2.7)Таким образом!(1 ) = (1 − ) −(2.2.8) !( − )!111281alexandrows.narod2.ruУчитывая, что ! ≃что(︂)︂√2после несложных преобразований можно получить,{︂(1 ) = √︀12 (1 − )(︂exp −где ≡ 1 .Обозначим1− ln + (1 − ) ln1−)︂}︂(2.2.9)1−+ (1 − ) ln1−(2.2.10)1−− ln=0⇒=1−(2.2.11)() ≡ lnНаивероятнейшему значению соответствует минимум функции ().′ () = lnРаскладывая () в ряд Тейлора в окрестности точки = , получаем() ≃Следовательно1 ∼ √︀2 (1 − ){︂exp −- гауссовское распределение.
ч.т.д.2.3(2.2.12)1(∆)22(1 − )(∆)22(1 − )(2.2.13)}︂С помощью большого канонического распределения Гиббса определить дисперсию энергии системы, выразив ее через уравнения состояния системы. Рассмотреть частные случаи вырожденного ферми-газа и классического идеального газа.Большое каноническое распределение:⎧{︂}︂⎪⎨ = 1 exp − − ⎪⎩Ω(, , , ) = − ln (, , , )Введем обозначения:≡−Тогда=∑︁(2.3.1)(2.3.2)1; ≡ + = , = Ω(2.3.3)1 ln = (2.3.4)ℰ ==Аналогично2 =Тогда1 2(∆)2 =− 2(︂1 1 2 2)︂2(︂=ℰ = ℰ(, )29(2.3.5)ℰ)︂=2(︂ℰ)︂(2.3.6)(2.3.7)alexandrows.narod2.ru(︂ℰ)︂=2(︂ℰ)︂(︂+ℰ)︂ (︂)︂(︂2= +ℰ)︂ (︂(︂)︂(︂)︂== (︂)︂(︂)︂ (︂ )︂(︂)︂2=−= (∆ ) − (∆ )2При (2.3.8)(2.3.9)(2.3.10)= 1 =(︂ℰ)︂Приравниваем смешанные производные[︂(︂ℰ)︂]︂− (︂)︂(2.3.11)(2.3.12)(︂то естьТаким образом:1 + 2 2= получаем2.3.1)︂)︂(︂)︂1 ℰ=− 2 (︂ )︂(︂)︂ℰ=− (︂ )︂(︂ )︂=− 2= − 2 ⎧(︂)︂2⎪ℰ⎪⎪(∆)2 = 2 +(∆ )2⎪⎪ ⎨(︂)︂1⎪)︂(∆ )2 = = 2 (︂⎪⎪⎪⎪−⎩ (2.3.13)(2.3.14)(2.3.15)(2.3.16)Вырожденный ферми-газ≪1 ≃ (︂)︂2/3~22 323; ≃ ℰ ≃ ; =522 1113 )︂ ≃ (︂)︂ = = 22 3 (︂)︂(︂)︂ℰ33= + = 55(∆ )2 = (︂(∆)2 = 2 2 3 3+ 2 ≃ 22 2 230(2.3.17)(2.3.18)(2.3.19)(2.3.20)(2.3.21)(2.3.22)alexandrows.narod2.ru2.3.2Классический идеальный газ(2.3.23)(2.3.24)(2.3.25)(2.3.26) = =− 2ℰ = = (∆)2 = 2 + 2 2 = 2 ( + 2 )2.4Пользуясь уравнением Ланжевена для импульса броуновской частицы, получить зависимость от времени дисперсий ее импульса и координаты в шкалевремени, грубой по сравнению со временем автокорреляции случайной силы.(см.
1.7)уравние Ланжевена2.4.1{︃(2.4.1)˙ + Γ = ()(0) = 0ИмпульсФормальное решение: = 0 −Γ∫︁ +(2.4.2)−Γ(−1 ) (1 ) 10⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Пусть∫︁ ∆ ≡ − =−Γ(−1 ) (1 ) 1 = 0 −Γ{︃(1 − 2 ) = (1 ) (2 ) =(∆)2 = ( − )2 =10Так как1≪ ,Γ∫︁ при|1 − 2| 6 при|1 − 2| > 120Тогда∫︁ (2.4.3)02 −Γ(−1 ) −Γ(−2 ) (1 − 2 ) =0∫︁ 2 −2Γ(−2 )0(2.4.4)∫︁1 −2′ (′ )Γ−2можно положить Γ ∼ 1. Тогда∫︁ (∆)2 =11 − −2Γ2 −2Γ(−2 ) 2 = + ( 2 )22Γ′(2.4.5)(2.4.6)0При → ∞ распределение должно стремиться к максвелловскому, следовательно:Окончательно получим= 2Γ(2.4.7)(︀)︀(∆)2 = 1 − −2Γ(2.4.8)31alexandrows.narod2.ru1но ≫ При ≪ 2Γ(2.4.9)(∆)2 ≃ 2Γ = 2- формула Эйнштейна.2.4.2Смещение⎧⎨˙ =⎩|=0 = 0Формальное решение:1 − −Γ = 0 + 0+Γ∫︁2∫︁ 20(2.4.10)1 −Γ2 Γ11 (1 )(2.4.11)0Если в последнем слагаемом поменять порядок интегрирования, его можно упростить1 − −Γ = 0 + 0+Γ∫︁ 11 − −Γ(−1 ) 1 (1 )Γ(2.4.12)0В грубой шкале времени ( ≫ ) = 0 + 0Дисперсия∫︁ ( − )2 =Пусть ′≡ 1 − 2 .1 − −ΓΓПри ∫︁ 10′−Γ′< 20≃ 1.⎧1⎪⎨0 + 0 ; ≪Γ=⎪10⎩ +; ≫0ΓΓ1 − −Γ1 1 − −Γ2 1(1 − 2 )ΓΓ2(2.4.13)(2.4.14)Тогда−2∫︁−Γ2 Γ′1 − −Γ2 1′′1 − ( ) =Γ2Γ2(2.4.15)−2( − )2 = 2∫︁ (︂21 − −Γ2Γ)︂2(︂)︂21 − −Γ 1 − −2Γ= 1−2+Γ2Γ(2.4.16)0В предельных случаях⎧2 31⎪⎪⎨ 2 3 ; ≪ Γ( − )2 =⎪⎪⎩ 2 ; ≫ 1Γ32(2.4.17)alexandrows.narod2.ru2.5Пользуясь уравнением Ланжевена, получить корреляционную функциюΔ()Δ( + Δ) отклонения координаты броуновской частицы от среднего на временах, больших по сравнению со временем забывания начальных условий.
Происходит ли выход на стационарный режим?При ≫ Γ1(1 − 2 ) ∼ 2Γ(2 − 1 )∫︁ ∆()∆( + ∆) =+Δ∫︁1021 − −Γ(−1 ) 1 − −Γ(+Δ−2 )(1 − 2 )ΓΓ(2.5.1)(2.5.2)0После несложных вычислений получаем[︃⃒⃒⃒ ]︃−Γ(−1 ) ⃒⃒2−Γ(+Δ−1 ) ⃒⃒−Γ(2+Δ−21 ) ⃒⃒−∆()∆( + ∆) =⃒ −⃒ +⃒ =ΓΓΓ2Γ000]︂[︂)︀ 1 − −2Γ −ΓΔ1 − −Γ (︀2−ΓΔ+1+= 1−Γ2ΓПри ≫ Γ1(2.5.3)(2.5.4)Выход на стационарный режим не происходит, так как процесс смещения БЧ в случайномсвободном движении никогда не становится стационарным.∆()∆( + ∆) ≃2.62Вывести одномерное уравнение Фоккера-Планка для марковского процесса диффузионного типа из уравнения Смолуховского.Уравнение Смолуховского:∫︁(0 , 0 ; , + ∆) =(0 , 0 ; ′ , ) ′ (′ , ; , + ∆)⃒⎧′ − ) ⃒⎪(1 ⃒⎪⎪=−⃒⎪⎪∆ ⃒ ⎪⎪Δ→0⎪⃒⎪⎪⎨ (′ − )2 ⃒⃒=2⃒⎪∆ ⃒⎪⎪Δ→0⎪⃒⎪⎪⎪(′ − ) ⃒⃒⎪⎪= 0 при > 3⎪⎩ ∆ ⃒⃒(2.6.1)(2.6.2)Δ→0Пусть () - в достаточной степени гладкая функция, для которой существует среднее:∫︁ℱ() =ℱ()=∫︁(0 , 0 ; , ) ()= ()(0 , 0 ; , ) ∫︁(2.6.3)⃒(0 , 0 ; ′ , + ∆) − (0 , 0 ; ′ , ) ⃒⃒ ( )⃒∆Δ→0′′(2.6.4)33alexandrows.narod2.ruВоспользуемся уравнением Смолуховскогоℱ()=∫︁∫︁⃒′′⃒(,;,+∆)−(,;,)⃒′ (′ )(0 , 0 ; , )⃒∆Δ→0(2.6.5)(2.6.6)Так как ∆ → 0, то (, ; ′, + ∆) отлична от нуля только в малой окрестности точки .Разложим (′) в ряд Тейлора в окрестности этой точки:(, ; ′ , ) = ( − ′ ) (′ ) = () + (′ − ) ′ () +(′ − )2 ′′ () + .
. .2(2.6.7)Тогдаℱ()=∫︁ (︂∫︁)︂(′ − )2 ′′ () + ( − ) () + () + . . . ·2⃒(, ; ′ , + ∆) − (, ; ′ , ) ⃒⃒·⃒∆′′(0 , 0 ; , )′(2.6.8)Δ→0Так как∫︁′∫︁′(, ; , + ∆) =(2.6.9)(, ; ′ , ) ′ = 1то слагаемые с () взаимно уничтожатся. Также, так как∫︁′′′∫︁( − ) (, ; , ) =(′ − ) (′ − ) ′ = 0(2.6.10)занулятся слагаемые с (, ; ′, ). Далее оставшиеся слагаемые, имеющие вид:⎧⎪⎨() ; = 1(′ − )′∼(, ; , + ∆) = 2() ; = 2⎪∆⎩0 ; >3(2.6.11)Таким образом получим, обозначая = (0, 0; , ):ℱ()=∫︁(2.6.12) ( ′ + ′′ )Интегралы в правой части возьмем один раз по частям и два раза по частям соответственно, учтем, что на ±∞ и = 0, перенесем все в одну часть и получим уравнение:(︂∫︁ () () 2 ()+−2- для широкого класса функций ()Следовательно:2 1 =+ 2 (︂)︂- уравнение Фоккера-Планка в одномерном случае34)︂=0(2.6.13)(2.6.14)alexandrows.narod2.ru2.7Вывести цепочку уравнений Боголюбова для кинетических функций распределения из уравнения Лиувилля.Кинетические функции распределения:∫︁⎧⎪⎪1 (, ⃗1 , ⃗1 ) = ⎪⎪⃗1 ⃗1⎪⎪⎨∫︁22 (, ⃗1 , ⃗2 , ⃗1 , ⃗2 ) = ⎪⎪⃗1 ⃗1 ⃗2 ⃗2⎪⎪⎪⎪⎩·············································(2.7.1)Уравнение Лиувилля: ∑︁==1Пусть(︂ −⃗ ⃗⃗ ⃗)︂= {, }кл)︂∑︁ (︂ 2∑︁ = 0 + 1 =+ (⃗ ) +Φ(|⃗ − ⃗ |)216616<6(2.7.2)(2.7.3)Тогда уравнение Лиувилля запишется следующим образом:= {0 , }Учтем, что:кл+ {1 , }кл⎧0⃗⎪⎪⎨ ⃗ = ⃗ = ∑︀ Φ(|⃗ − ⃗ |)0 1 (⃗ )⎪⎪=+=+⎩⃗⃗⃗⃗⃗ , ̸=(2.7.4)(2.7.5)Подействуем на каждое слагаемое в уравнении Лиувилля операцией∫︁.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
