Ответы на вопросы к экзамену, теория (1163361), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Получим уравнение Ланжевена:˙ + Γ = () ,2=22(1.12.12)При ≪ Γ1 (формула Эйнштейна)2 () = 2 = 2(0)Откуда (0) = и⃒⃒⃒ℰ21.13= 2Δ∆= 4∆(1.12.13)(1.12.14)Из уравнений Гамильтона для эволюции микроскопического состояния классической системы многих частиц вывести уравнение Лиувилля для плотностивероятности в фазовом пространстве.Опр. 7: Фазовое пространство - 6 -мерноепространство координат и импульсов (по«техническим причинам» обычно условно изображается как двумерное). Точка в фазовомпространстве: = (, ) = (⃗1 , . . .
, ⃗ ; ⃗1 , . . . , ⃗ )(1.13.1)Уравнения Гамильтона:⎧⎪⎪⎨˙ = ⎪⎪⎩˙ = −17(1.13.2)alexandrows.narod2.ru- где = (, ) - классическая функция Гамильтона.Функция распределения (, ): (, ) определяет вероятность обнаружить микроскопическое состояние системы = (, ) в 6 -мерном бесконечно малом кубике (, +∆; , + ∆) (условно обозначаемом как = ) в момент времени t.Теорема Лиувилля: если 0 - объем некоторой фиксированной в момент 0 = 0 области B0 фазового пространства (, ), то с течением времени фазовые точки, образующиеее поверхность, двигаются в соответствии с эволюцией данной системы так, что объем,ограниченный этой поверхностью, все время сохраняет свою величину:∫︁∫︁ ≡ = 0 ≡ (1.13.3)BB0«Эту известную теорему проще доказать, чем разыскивать в учебниках по механике».Доказательство:Каждая точка 0 из B0 к моменту переходит в точку (, 0).
Так как это соответствиеоднозначно, можно произвести замену переменных интегрирования → 0. Якобиан:⃒⃒⃒ ⃒(, )⃒= ⃒ 0 ⃒⃒ , (0) = 1() =(0 , 0 )Тогда(1.13.5)∫︁ =(1.13.4)() B0˙ =0Осталось показать, что () = 1, или, учитывая начальное условие, что ()Якобиан обладает следующими свойствами:∑︁(︂)︂ · 0 = 0(1.13.6)поскольку детерминант является линейной функцией элементов какой-либо из своихстрок и детерминант с двумя одинаковыми строками равен нулю.6∑︁ ˙ =1Таким образом=∑︁(︃=1˙ =)︃)︂ (︂∑︁⃗˙ ⃗˙ +=·−·=0⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗=1(1.13.7)∑︁ ˙ ˙ (︂)︂ 0 =(︂)︂ 0 00(1.13.8)∑︁Так как сумма по даст :˙ =∑︁ч.т.д∑︁ ˙ ˙ ==0(1.13.9)Вывод уравнения ЛиувилляСопоставим плотности вероятности (, , ) для данного момента 0 плотность фиктивныхточек в фазовом пространстве. Применив к этим точкам теорему Лиувилля, получим:∫︁∫︁(0 , 0 ) 0 = ((, 0 ), ) 0(1.13.10)B0B018alexandrows.narod2.ruСледовательно(1.13.11)∫︁[(0 , 0 ) − ((, 0 ), )] 0 = 0B0Откуда следует, что ∑︁=+=1(︂(1.13.12))︂ ˙ ˙⃗ +⃗ = 0⃗⃗ Подставляя из уравнений Гамильтона ⃗˙ и ⃗˙ получим: ∑︁==1(︂ −⃗ ⃗⃗ ⃗)︂= {, }кл(1.13.13)- уравнение Лиувилля1.14Кинетические функции распределения.
Одночастичная функция распределения и связанные с ней физические характеристики классической неравновесной системы. Ограниченность описания кинетики системы с помощью толькоэтой функции.Опр. 8: Кинетические функции распределения :∫︁⎧⎪⎪1 (, ⃗1 , ⃗1 ) = ⎪⎪⃗1 ⃗1⎪⎪⎨∫︁22 (, ⃗1 , ⃗2 , ⃗1 , ⃗2 ) = ⎪⎪⃗1 ⃗1 ⃗2 ⃗2⎪⎪⎪⎪⎩················································(1.14.1)Одночастичная функция распределения (отличается нормировкой):⎧∫︀⎪⎪(,⃗,⃗)=11⎨⃗1 ⃗1∫︁⎪⎪⎩ (, ⃗1 , ⃗1 ) ⃗1 ⃗1 = (1.14.2)Величина (, ⃗1, ⃗1) ⃗1⃗1 имеет смысл среднего числа частиц, находящихся в 6-мерномобъемчике (⃗1, ⃗1 + ∆⃗1; ⃗1, ⃗1 + ∆⃗1) в момент времени .Также:∙ Локальная плотность числа частиц:∫︁(, ⃗) =∙ (, ⃗, ⃗) ⃗Локальная средняя скорость упорядоченного движения1⃗(, ⃗) =(, ⃗)∙(1.14.3)⃗ (, ⃗, ⃗) ⃗(1.14.4)⃗ 2 (, ⃗, ⃗) ⃗ 2(1.14.5)∫︁Локальная величина потока энергии:1⃗(, ⃗) =(, ⃗)∫︁19alexandrows.narod2.ru∙Локальная температура:3(, ⃗) =22(, ⃗)∫︁ (︂)︂2⃗− ⃗(, ⃗) (, ⃗, ⃗) ⃗(1.14.6)Для определения величин типа внутренней энергии (а также полной величины потока ) или локального значения удельной свободной энергии необходимо знать среднее отчасти гамильтониана 1, содержащей взаимодействие частиц, а для этого надо иметь враспоряжении уже двухчастичную неравновесную функцию 2(, ⃗1, ⃗2, ⃗1, ⃗2).1.15Из уравнения Лиувилля получить общую форму кинетического уравнениядля одночастичной кинетической функции распределения.
Что такое интегралстолкновений и каким общим требованиям он должен удовлетворять?Пусть)︂∑︁ (︂ 2∑︁ = 0 + 1 =+ (⃗ ) +Φ(|⃗ − ⃗ |)216616<6(1.15.1)Тогда уравнение Лиувилля запишется следующим образом:= {0 , }Учтем, что:кл+ {1 , }кл⎧0⃗⎪⎪⎨ ⃗ = ⃗ = ∑︀ Φ(|⃗ − ⃗ |)1 (⃗ )⎪0⎪=+=+⎩⃗⃗⃗⃗⃗ , ̸=(1.15.2)(1.15.3)Подействуем на каждое слагаемое в уравнении Лиувилля операцией∫︁. . .
⃗2 . . . ⃗ ⃗2 . . . ⃗(1.15.4)Рассмотрим слагаемые в правой части при > 2∫︁∞−−∞()() () = − |+∞=0()() =−∞ так как система ограничена в координатном пространстве. ( = , , )Также∫︁∞ ()−∞()()=() |+∞=0() =−∞(1.15.5)(1.15.6)так как вероятность обнаружить частицу с бесконечным значением импульса равнанулю.Таким образом после данной процедуры останутся только слагаемые с = 1.
Опустим навремя часть гамильтониана 1. Тогда0 (⃗1 )==⃗1⃗1⃗120(1.15.7)alexandrows.narod2.ruвыносится за знак интеграла.∫︁ ⃗2 . . . ⃗ ⃗2 . . . ⃗ =∫︁∫︁ (⃗1 ) ⃗1 = ⃗2 . . . ⃗ ⃗2 . . . ⃗ − ⃗2 . . . ⃗ ⃗2 . . . ⃗⃗1 ⃗1 ⃗1Следовательно(1.15.8)(1.15.9)Если восстановить опущенную часть гамильтониана, можно чисто формально записать (, ⃗, ⃗) (, ⃗, ⃗)⃗ =+−=0 ⃗⃗ ⃗ (, ⃗, ⃗)⃗ +−= ⃗⃗ ⃗(︂)︂(1.15.10)стгде, сам собой через одночастичную функцию невыражающийся.Интеграл столкновений является важной частью, так как без него отсутствовал бы механизм, заставляющий систему релаксировать к равновесному состоянию (а это обязательный признак статистической системы).(︂)︂интеграл столкновенийст⃗⃗ представляет собой скорость измеС физической точки зрения величинанения числа частиц в 6-мерном объемчике ⃗⃗ за счет взаимодействия частиц друг сдругом.(︂)︂стЧтобы написанное уравнение было действительно кинетическим, замкнутым относительно (, ⃗, ⃗), необходимо выразить интеграл столкновений через (, ⃗, ⃗).
Универсальногокинетического уравнения для нет, для разных физических систем оно имеет разнуюматематическую структуру.Так как мы интересуемся поведением термодинамических систем, то интеграл столкновений должен иметь структуру, обеспечивающую релаксационный характер эволюции системы, направленной в сторону достижения состояния термодинамического равновесия.1.16Записать кинетическое уравнение с релаксационным членом вместо интеграла столкновений и получить его стационарное решение в первом порядке попараметру .Кинетическое уравнение с релаксационным членом:⃗ − 0 (, ⃗, ⃗)+−=− ⃗⃗ ⃗(1.16.1)где такое, что при & система является слабонеравновесной, 0 - равновеснаяодночастичная функция распределения.Стационарный случай ( (,⃗, ⃗) = 0):⃗ − 0−=− ⃗⃗ ⃗21(1.16.2)alexandrows.narod2.ru(︂ (⃗, ⃗) = 0 (⃗, ⃗) − ⃗ − ⃗⃗ ⃗)︂(1.16.3))︂(1.16.4)Решая методом итераций в нулевом приближении(︂ (⃗, ⃗) = 0 (⃗, ⃗) − ⃗ 0 0− ⃗⃗ ⃗В классическом варианте теории равновесным распределением по импульсам являетсяраспределение Максвелла (в системе отсчета, двигающейся вместе со средой):(︂0 (⃗, ⃗) = (⃗)1.1712(⃗))︂3/2{︂}︂(⃗ − ⃗(⃗))2exp −2(⃗)(1.16.5)Сформулировать концепцию самосогласованного поля в системах с дальнодействием.
Получить из первого уравнения цепочки Боголюбова кинетическоеуравнениеВласова как нулевое приближение по параметру дальнодействия√︀ 3 / в классической плазме.Рассмотрим систему частиц с кулоновским взаимодействием⃗ =±Φ(||)2(1.17.1)В целом система электрически нейтральна. Радиус взаимодействия 0 = ∞ - каждая частица взаимодействует с каждой. Этот коллективный эффект связывают с понятием самосогласованного поля, описываемого формулами, не чувствительными к нумерациичастиц, причем индивидуальная корреляция частицы 1 с какой-либо частицей 2 пренебрежимо мала на фоне ее взаимодействия с коллективным полем.С точки зрения статистической функции распределения это означает, что2 (, ⃗1 , ⃗2 , ⃗1 , ⃗2 ) = 1 (, ⃗1 , ⃗1 )1 (, ⃗2 , ⃗2 ) + 2 (, ⃗1 , ⃗2 , ⃗1 , ⃗2 )(1.17.2)причем вклады в физические характеристики системы, связанные с учетом индивидуальных корреляций 2, пренебрежимо малы по сравнению с эффектами, обусловленнымиглавным членом 2 = 1 · 1.Электростатическое взаимодействие экранируемо, причем величина радиуса экранировкиописывается формулой Дебая√︂ =(1.17.3)22Пусть ≡ −1.
Так как для реализации самосогласованного поля внутри сферы радиуса необходимо участие большого числа частиц, то среднее расстояние между ними =( / )1/3 должно удовлетворять неравенству ≪ (1.17.4)То есть ≪ 1 является малым параметром.Ограничиваясь нулевым приближением, будем считать 2(, ⃗1, ⃗2, ⃗1, ⃗2) = 1(, ⃗1, ⃗1) ·1 (, ⃗2 , ⃗2 ). Тогда правую часть первого уравнения цепочки Боголюбова1 ⃗1 1 11+−= ⃗1⃗1 ⃗1∫︁Φ(|⃗ − ⃗′ |) 2 (, ⃗, ⃗′ , ⃗, ⃗′ ) ⃗′ ⃗′ ⃗⃗22(1.17.5)alexandrows.narod2.ruможно переписать в следующем виде:где1∫︁Φ(|⃗ − ⃗′ |)1 (, ⃗, ⃗) ⃗′ ⃗′ ˜ (, ⃗) 1 (, ⃗, ⃗)1 (, ⃗′ , ⃗′ ) =⃗⃗⃗⃗1˜ (, ⃗) =∫︁Φ(|⃗ −⃗′ |)1(, ⃗′ , ⃗′ ) ⃗′ ⃗′∫︁=⃗′ (, ⃗′ )Φ(|⃗ − ⃗′ |)(1.17.6)(1.17.7)- потенциал самосогласованного поля.Тогда уравнение Власова перепишется в следующем виде:⃗ 1 ( + ˜ ) 11+−=0 ⃗⃗⃗1.18(1.17.8)Линеаризуя уравнение Власова для классического электронного газа в компенсирующем поле положительно заряженных тяжелых ионов, получить системууравнений для эволюции слабонеравновесного состояния.Пусть ионы тяжелые и неподвижные, а также «равномерно размазаны» по объему.
Функцию 1(, ⃗, ⃗) представим в виде:1 (, ⃗, ⃗) = 0 (⃗, ⃗) + (, ⃗, ⃗)(1.18.1)где 0(⃗, ⃗) - равновесная функция распределения (по ⃗ - максвелловская, по ⃗ - равномерная). Формально, плотность положительного заряда запишем так:(+)= −(−)∫︁= 0 ⃗ = (1.18.2)Поэтому величина электростатического поля, создаваемого фоном положительного зарядав точке ⃗ равна∫︁−2 (⃗) = 0 (⃗′ , ⃗′ ) ⃗′ ⃗′(1.18.3)|⃗ − ⃗′ |Самосогласованный потенциал, создаваемый электронами˜ (, ⃗) = 2∫︁|⃗ − ⃗′ |1 (, ⃗′ , ⃗′ ) ⃗′ ⃗′[︂ ∫︁]︂[︁]︁2⃗ ⃗) = −− ( + ˜ ) = −(,1 (, ⃗′ , ⃗′ ) − 0 (⃗′ , ⃗′ ) ⃗′ ⃗′⃗⃗|⃗ − ⃗′ |(1.18.4)(1.18.5)Возмем дивергенцию от левой и правой частей, учтем, что получим1|⃗ − ⃗′ |⃗ = −4 = −4(⃗ − ⃗′ )∫︁ (, ⃗′ , ⃗′ ) ⃗′(1.18.6)(1.18.7)Положим, что система слабонеравновесна.
(, ⃗′ , ⃗′ )≪10 (⃗′ , ⃗′ )23(1.18.8)alexandrows.narod2.ruПерейдем к новым аргументам⎧1⎪⎨ (⃗) → 3 (⃗ )⎪⎩ (⃗) → 1 (⃗ )003(1.18.9)Получим линеаризованное уравнение Власова1 01+ ⃗−=0⃗ ⃗(1.18.10)1где опущен член второго порядка малости − Таким образом:⎧1 01⎪+ ⃗−=0⎪⎪⎪⃗ ⃗⎪∫︁⎪⎨⃗ = −4 (, ⃗′ , ⃗′ ) ⃗′⎪⎪}︂{︂⎪(︁ )︁3/2⎪⎪ 2⎪⎩ 0 =exp −221.19(1.18.11)Записать кинетическое уравнение Больцмана в пространственно однородномприближении. Охарактеризовать физические ограничения на интеграл столкновений в системах типа газа с короткодействием (отсутствие тройных и массовый характер парных столкновений, подход Боголюбова к описанию кинетической эволюции системы).(см 2.10)1.20Показать, что локальное распределение Максвелла при подстановке в качествеодночастичной функции распределения в интеграл столкновений Больцманаобращает его в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
