Ответы на вопросы к экзамену, теория (1163361), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Происходит ли выход на стационарный режим? . . . . . . . . . . .2.6 Вывести одномерное уравнение Фоккера-Планка для марковского процессадиффузионного типа из уравнения Смолуховского. . . . . . . . . . . . . . . .2.7 Вывести цепочку уравнений Боголюбова для кинетических функций распределения из уравнения Лиувилля. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8 С помощью кинетического уравнения с релаксационным членом в приближении = оценить коэффициент внутреннего трения термически однородного классического газа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.9 Получить дисперсионное уравнение для продольных колебаний электростатического поля и плотности в классической плазме, связывающее плазменную частоту с величиной волнового вектора. Показать, как может бытьустранена обратимость во времени уравнения Власова («-процедура»). . .
.2.10 Дать качественный вывод кинетического уравнения Больцмана для пространственно однородного газа с короткодействием (без использования цепочки Боголюбова). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.11 Доказать лемму Больцмана и получить из нее ℋ-теорему Больцмана. Какова причина появления необратимости во времени полученного результата?Обсудить парадокс Лошмидта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .2.11.1 Лемма Больцмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.11.2 ℋ-теорема Больцмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.11.3 Парадокс Лошмидта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .2.12 Линеаризуя интеграл столкновений Больцмана, показать, что характерноевремя релаксации к состоянию равновесия определяется наименьшим положительным собственным значением соответствующего оператора. . . . . . .3 Сокращения3333353637384141424343455alexandrows.narod2.ru1Простые вопросы1.1Пользуясь микроскопическим распределением получить выражение для вероятности крупномасштабной флуктуации в равновесной изолированной системе.- состояние системы, при котором макроскопические параметры системы не изменяются во времени и в системе отсутствуют потокилюбого типа.Микроканоническое распределение - вероятность обнаружить равновесную системув микроскопическом состоянии, описываемом ВФ :ˆ = (1.1.1)равна1(1.1.2) (ℰ, , ) = ∆(ℰ − ( ))Γгде Γ - статистический вес:∑︁Γ(ℰ, , ) =∆(ℰ − ( )) = (ℰ,, )(1.1.3)Опр. 1: Состояние ТД равновесияОпр.
2: Статистические флуктуации - случайные, нерегулярные, самопроизвольные,обязанные микроскопическому движению частиц статистической системы отклонения значений макроскопических характеристик системы от их средних значений.Предположения:1. Крупномасштабные флуктуации - каждая из областей системы, в которой произошли отклонения значений термодинамических параметров от их равновесных величин, является также термодинамической системой.∆ ≫ (1.1.4)своб. проб.2. Рассматриваемые флуктуационные отклонения с микроскопической точки зренияявляются медленными, так что все рассматриваемые интервалы времени∆ ≫ (1.1.5)своб.
проб.3. Флуктуации происходят независимо друг от друга.Согласно микроканоническому распределению Гиббса все микроскопические реализациисостояния ТДС, сосредоточенные в энергетическом слое (ℰ, ℰ + ℰ), равновероятны, а число всех этих состояний определяет статистический вес данного макроскопического состояния системы Γ(ℰ, , ). Однако равновесному термодинамическому состоянию системыотвечает только часть этих реализаций, которая составляет лишь главную асимптотическую (в предельном статистическом понимании) часть от статистического веса Γ.
Именноэта часть статистического веса связана с равновесным (а значит, в удельном выражениипространственно однородным) значением энтропииΓ (ℰ, , ) = (ℰ,, )(1.1.6)Рассмотрим теперь состояние системы, характеризуемое теми же значениями общих термодинамических параметров (ℰ, , ), но локальные характеристики в котором отличаются от соответствующих равновесных пространственно однородных значений. Для фиксации этого состояния можно мысленно разделить систему на участки , которых можетбыть сколько угодно, но достаточно и двух.6alexandrows.narod2.ruВ каждой из подсистем зададим отклоненные от равновесных значения:⎧′⎪⎨ℰ = ℰ + ∆ℰ′ = + ∆⎪⎩ ′ = + ∆(1.1.7)Как ∆-отклоненные (со штрихами), так и равновесные значения (без штрихов) этих величин в изолированной системе подчинены общим условиям:∑︁∑︁∑︁∑︁∑︁∑︁ℰ′ =ℰ = ℰ,′ = = ,′ = = (1.1.8)Среди не принадлежащих Γ, состояний выберем такие, которые соответствуют в каждойиз -областей заданным отклоненным значениям (ℰ′ , ′ , ′), а среди них выберем только те, которые образуют локальное термодинамическое состояние в этих -подсистемах.Главная асимптотика числа таких состояний для каждой из подсистем связана с термодинамической энтропией подсистем соотношением(1.1.9)(Γ′ ) = а полное число реализаций данного состояния для всех -подсистем вместе (т.
е. для всейсистемы в целом) будет равно, согласно принципу ТД аддитивности для статистическоговеса Γ:{︃}︃∏︁∑︁ΓΔ ≡ Γ′ =(Γ′ ) = exp = (1.1.10)′где = - отклоненная от значения энтропии равновесного состояния полнаяэнтропия заданного с помощью набора величин (ℰ′ , ′ , ′) ТД системы.Так как все состояния равновероятны, для вероятности данного отклонения получим:′∑︀˜ =Γ′Γ′∼ Δ = = ΔΓΓ(1.1.11)- формула Эйнштейна.Здесь мы учли, что нормировать данное "распределение"по ∆-состояниям практическиневозможно, и поэтому, особенно не огорчаясь, можно в знаменателе вместо статистического веса Γ(ℰ, , ) использовать его главную асимптотику Γ(ℰ, , ).1.2Вывести общую формулу для вероятности заданной малой термодинамическойфлуктуации в равновесной неизолированной системе из формулы Эйнштейна,связывающей вероятность малой термодинамической флуктуации с изменениемэнтропии.Пусть исследуемая система помещена в очень большой (по сравнению с системой) термостат. В целом ТДС - термостат+исследуемая - изолирована, поэтому⎧⎪⎨∆ℰ = −∆ℰ∆ = −∆⎪⎩∆ = −∆(1.2.1)Считая термостат неограниченно большим, получаем, что в пределе / → ∞ (дарвинфаулеровская предельная процедура) неаддитивные его параметры с точностью до членов7alexandrows.narod2.ru(/ )значенияпри любом заданном отклонении ∆ , ∆ и ∆ℰ сохраняют свои равновесные = , = , = (1.2.2)Поэтому, для разности энтропии двух бесконечно близких равновесных состояний термостата согласно второму началу термодинамики получаем:11(∆ℰ + ∆ − ∆ ) = (−∆ℰ − ∆ + ∆ )(1.2.3)∆ =Откуда, учитывая что ∆ = ∆ + ∆ , из формулы Эйнштейна (1.1.11) получаем{︂}︂1Δ ∼ exp − (∆ℰ + ∆ − ∆ − ∆)(1.2.4)Пусть = (1, 2, 3) = (, , ).
Такжеℰ = − + (1.2.5)Тогда∑︁ ℰ1 ∑︁ 2 ℰ∆ℰ = ℰ( + ∆) − ℰ() = ∆1 ℰ + ∆2 ℰ + · · · =∆ +∆ ∆ + · · · (1.2.6)2 общТак как,(1.2.7)∆1 ℰ = ∆ − ∆ + ∆и(︂∆1ℰ)︂=∑︁ ℰ∆ = (∆,− ∆ , ∆)(1.2.8)С точностью до второго порядка по ∆-отклонениям получаем∆ℰ = ∆ − ∆ + ∆ +Откуда:(1.2.9)1(∆∆ − ∆∆ + ∆∆ )2(1.2.10)Отметим интересное следствие, вытекающее из формулы (1.2.4). Если для изолированнойсистемы (ℰ, , , не флуктуируют) мы имели (исходная формула Эйнштейна):⃒⃒Δ ⃒⃒∼ Δ(1.2.11)ℰ То∙ для системы в термостате (, , , фиксированы):{︂Δ ∼ exp⃒⃒Δ ⃒⃒∙}︂∆ℱ{︂}︂−1∼ exp − (∆ℰ − ∆()) = ;(1.2.12)для системы, выделенной воображаемыми стенками (, , , фиксированы):⃒⃒Δ ⃒⃒∙ −∆∆ + ∆∆ − ∆∆2 ∆Ω{︂}︂−1∼ exp − (∆ℰ − ∆() − ∆( )) = ;(1.2.13)для системы «под поршнем» (, , , фиксированы):⃒⃒Δ ⃒⃒∆}︂{︂−1∼ exp − (∆ℰ + ∆( ) − ∆()) = ;8(1.2.14)alexandrows.narod2.ru1.3Получить выражение для вероятности крупномасштабных флуктуации в равновесной системе, выделенной нежесткими теплопроводящими стенками из термостата ( = , остальные параметры флуктуируют), и установить его связьс условиями устойчивости этой системы.Так как по условию = при операциях индекс далее везде опускаем:(︂∆ =)︂(︂∆ +(1.3.1))︂∆Используя равенство смешанных производных во втором начале ТД, имеем(︂откуда)︂1=(︂(︂ℰ(︂∆ =)︂)︂+(︂=)︂(︂∆ +)︂(︂,)︂)︂(︂∆ =1=(︂ℰ)︂∆ +Подставляя эти два выражения в формулу (1.2.10), получаем:)︂= ∆{︂(︂(︂)︂)︂}︂1 22Δ ∼ exp −(∆) −(∆ )2 (1.3.2)(1.3.3)(1.3.4)< 0, > 0 ⇐⇒ показатель экспоненты < 0 (чем большеУстойчивость системы флуктуации, тем меньше должна быть их вероятность для устойчивости системы).1.4Получить выражение для вероятности крупномасштабных флуктуации в равновесной системе фиксированного объема, выделенной воображаемыми стенкамииз термостата ( = , остальные параметры флуктуируют), и установить егосвязь с условиями устойчивости этой системы.Учитывая, что(︂)︂)︂ (︂(︂ )︂(︂ )︂ 2 =− 2=− = + ⇒ (︂)︂(︂ )︂=− =(1.4.1)(1.4.2)(1.4.3)Формула (1.4.3) получена аналогично пункту 1.3 из равенства соответствующих смешанных производных во втором начале ТД.
Далее из формулы (1.2.10) получаем:{︂}︂{︂(︂(︂ )︂)︂}︂∆∆ + ∆∆1 2 22Δ ∼ exp −= exp −(∆) −(∆ )22 (1.4.4)Условия устойчивости и связь с формулой как в пункте 1.39alexandrows.narod2.ru1.5Показать, что для системы, выделенной нежесткими теплопроводящими стенками из термостата ( = , остальные параметры флуктуируют), флуктуационные отклонения температуры и объема от их равновесных значений независимы.Так как по условию = )︂(︂ )︂∆ =∆ +∆ (︂)︂(︂ )︂(︂ )︂ ∆ +∆ =∆ +∆∆ = (1.5.1))︂}︂{︂(︂(︂)︂1 22Δ ∼ exp −(∆) −(∆ )2 (1.5.3)(︂(1.5.2)Подставляя эти два выражения в формулу (1.2.10), получаем:Легко видеть, что распределение является гауссовским с независимыми величинами, поэтому∆ ∆ = 0(1.5.4)ч.т.д1.6Показать, что для системы фиксированного объема, выделенной воображаемыми стенками из термостата ( = , остальные параметры флуктуируют),флуктуационные отклонения температуры и общего числа частиц от их равновесных значений независимы.Учитывая, что(︂)︂ ,=(︂)︂2=(︂)︂(︂)︂(︂ )︂−,=− (1.6.1)получаем из формулы (1.2.10):{︂}︂{︂(︂(︂ )︂)︂}︂∆∆ + ∆∆1 2 22(∆) −Δ ∼ exp −= exp −(∆ )22 (1.6.2)Легко видеть, что распределение является гауссовским с независимыми величинами, поэтому∆ ∆ = 0(1.6.3)ч.т.д1.7Записать уравнение Ланжевена для импульса броуновской частицы и получитьего формальное решение при начальном импульсе (0) = 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
