Ответы на вопросы к экзамену, теория (1163361), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Охарактеризоватькорреляционную функцию случайного силового воздействия на частицу.Опр. 3: Броуновская частица (БЧ) - крупная (т.е. наблюдаемого размера ∼ 10−4 )частица в среде.Предположения и ограничения:1. Непосредственно друг с другом броуновские частицы не взаимодействуют2. Так как движения БЧ независимы, то мы вправе рассматривать одну, а потом распространить полученные вероятностные характеристики на остальные.10alexandrows.narod2.ru3.
Среда является равновесной и пространственно однородной, температура и всенеобходимые параметры среды заданы.4. Так как среди БЧ не найти двух одинаковых по форме, то мы считаем ее в среднемсферой радиуса .5. Броуновские частицы движутся в результате непрерывного взаимодействия с большим количеством молекул среды, то есть свободного пробега у БЧ нет.6. Ограничимся поступательным движением (без вращательного).Рассмотрим одну БЧ в равновесной и пространственно однородной среде (внешний потенциал (⃗) = 0).
Все три координаты эквивалентны, рассмотрим движение вдоль .Представим силу, действующую на частицу в виде двух составляющих:(1.7.1)ℱ() = ℱ() + ()где ℱ() - «регулярная» часть силы - сила вязкого трения в простейшем случае, согласно закону Стокса:(1.7.2)ℱ() = − = −Γ ; = 6 ; Γ =где - коэффициент вязкости, - масса частицы, , - скорость и импульс частицысоответственно. Тогда из второго закона Ньютона получаем{︃(1.7.3)˙ + Γ = ()(0) = 0- уравнение Ланжевена - стохастическое дифференциальное уравнение.Формальное решение элементарно получается, например, методом вариации постоянной: = 0 −Γ +∫︁ −Γ(−1 ) (1 ) 1(1.7.4)0Характеристики взаимодействия БЧ с средой типа жидкость или газ:∙ Время между отдельными взаимодействиями: ′ ∼ 10−16 ÷ 10−17 ∙ Время соударения с частицей среды: ∼ 10−12 1∙ Время исчезновения информации о начальном состоянии: ≃ ∼ 10−10 Γто есть1(1.7.5)Изначально сила () является детерминированной величиной.
Введем «грубую» шкалувремени: характерный интервал времени ∆ ≫ . При этом значения силы () некоррелированы. () = 0 ; (1 ) (2 )| − |> = (1 ) · (2 ) = 0(1.7.6)Пусть (1 − 2) ≡ (1) (2). Самая грубая аппроксимация:′ ≪ ≪1Γ2⎧1⎨ при|′ | 6 (′ ) = 2⎩0 при|′ | > 11(1.7.7)alexandrows.narod2.ruРис. 1:Примерный вид корреляционной функции(′ )и ее аппроксимация ступенчатойфункцией.1.8Дать физическую интерпретацию уравнения Фоккера-Планка в трехмерном пространстве и дополнительных условий к нему. Получить решение уравнения длясвободной диффузии в одномерном пространстве.Будем описывать эволюцию БЧ с помощью функции распределения (, ⃗) такую, чтовеличина (, ⃗)⃗ представляет собой вероятность обнаружить БЧ в интервале (⃗, ⃗ + ⃗)в момент времени , что допустимо в самой грубой шкале времени ≫ Γ1 .Уравнение Фоккера-Планка в трехмерном пространстве:− (︂)︂1 ▽ +▽ =0(1.8.1)Для броуновского движения = и уравнение можно переписать в следующем виде: 1− ( ▽ ) − △ = 0 Дополнительные условия:⎧ ∫︁⎪⎪(, ⃗) ⃗ = 1⎪⎪⎪⎪⎪( )⎪⎪⎪⎨ ≫ 1Γ⎪⎪|⎪→±∞ = 0⎪⎪⎪⃒⎪⎪ ⃒⎪⎪=0⎩ ⃒⃒⃗ →±∞(1.8.2)(1.8.3)где последние два условия означают отсутствие потоков на бесконечности.Уравнение Фоккера-Планка, дополненное условием нормировки, начальными и граничными условиями, полностью определяет решение для функции распределения (, ⃗).
Эторешение определяет эволюцию системы на временах ≫ Γ1 , которая имеет релаксационный характер (стремится к распределению Больцмана) с некоторым временем релаксации,12alexandrows.narod2.ruзависящим не только от индивидуальных свойств среды и БЧ, но и от формы сосуда, типаего границ и т.д.Рассмотрим одномерный случай свободной диффузии. = 0, начальное условие (0, ) =() соответствует нахождению БЧ в начальный момент времени в начале координат.Получаем параболическое уравнение диффузии, которое имеет решение в квадратурах.Получим его, используя спектральный метод. 2= 2(1.8.4)Перейдем к Фурье-представлению:1(, ) =2∫︁∞(1.8.5) ()−∞Получаем уравнение:Решение:⎧⎨˙ = − 2 ⎩ (0) = 1(1.8.6)(1.8.7){︂}︂ 2 () = exp − Переходя к -представлению, получаем искомый ответ:1(, ) = √︀4(/)1.9{︂exp −24(/)}︂(1.8.8)Получить уравнение Смолуховского для общего марковского процесса и обсудить его физический смысл.
При каких условиях это нелинейное уравнениеописывает броуновское движение и более общие диффузионные процессы?Рассмотрим одномерный случай. Введем функцию распределения (0, 0; , ) такую, чтовеличина (0, 0; , ) определяет вероятность обнаружить БЧ в интервале (, + ∆)в момент времени , если она была в точке 0 в момент времени 0.⎧∫︁⎨ ( , ; , ) = 1 ∀0 0⎩(0 , 0 ; , 0 ) = ( − 0 )(1.9.1)В грубой временной шкале ≫ Γ1 процессы «безынерционны». Следовательно, функция(0 , 0 ; , ) не зависит от событий, которые произошли с БЧ до момента 0 . Также она независит от того, каким способом БЧ попала из 0 в .
То есть процесс - марковский.Рассмотрим два последовательных интервала времени (0, ) и (, + ∆). Составим произведение:[(0 , 0 ; ′ , ) ′ (′ , ; , + ∆)] (1.9.2)которое представляет вероятность обнаружить частицу в момент времени + ∆ вобласти (, +∆), если в момент 0 она была в точке 0, а в момент в области (′, ′+∆′).Проинтегрировав во всем возможным промежуточным состояниям ′ частицы в момент, получим условную вероятность (0 , 0 ; , + ∆)∫︁(0 , 0 ; , + ∆) =(0 , 0 ; ′ , ) ′ (′ , ; , + ∆)13(1.9.3)alexandrows.narod2.ru- уравнение Смолуховского (Чепмена-Колмогорова-Смолуховского).
Это нелинейное интегральное уравнение, теоремы единственности в том виде, к которому мы привыкли,исследуя задачи, сводимые к линйным дифференциальным уравнениям различных типов, для этого уравнения не существет. Наоборот, оно имеет массу решений совершеннонефизического характера. Можно показать, что физически осмысленное решение, относящееся к описанию брауносвского движения и диффузионных движений общего вида,должно удовлетворять условиям нормировки:⃒⎧′ − ) ⃒⎪(⃒⎪⎪= ()⃒⎪⎪⃒∆⎪⎪Δ→0⎪⃒⎪⎪⎨ (′ − )2 ⃒⃒= 2()⃒⎪∆ ⃒⎪⎪⎪⃒Δ→0⎪⎪⎪(′ − ) ⃒⃒⎪⎪= 0 при > 3⎪⎩ ∆ ⃒⃒(1.9.4)⎧1 ⎪⎪⎨() = 0 = − ⎪⎪⎩() =(1.9.5)Для броуновского движения:Δ→0При этих условиях и заданных граничных условиях решение уравнения Смолуховскогоединственно.1.10Пользуясь спектральным представлением стационарного случайного процесса,получить спектральную форму условия стационарности и указать связь междукорреляционной функцией и спектральной плотностью процесса.Плотность вероятности:(1.10.1) (1 , .
. . , ) ≡ (1 , 1 ; . . . ; , )Условная вероятность:(1.10.2)Опр. 4: Стационарный СП - такой, для которого и однородны во времени - неизменяются при сдвиге всех времен 1 . . . на одну и ту же величину.Пусть () - процесс с нулевым средним ( = 0)Спектральное представление: (1 , . . . , −1 | ) ≡ (1 , 1 ; . . . ; −1 , −1 | , )∫︁∞() = − ; =12−∞∫︁∞−∞⃒⃒⃒−|| ⃒()⃒⃒(1.10.3)>0 ; →0где введение - процедура, обеспечивающая математическое существование величины для (), не обладающих необходимым убыванием при → ±∞.Свойства корреляционной функции ℱ() и спектральной плотности ():ℱ(0 , 0 + ) ≡ * (0 )(0 + ) = ℱ() в случае стац.
процесса(1.10.4)14alexandrows.narod2.ruТеорема Винера-Хинчина:⎧∫︀∞⎪⎪()−ℱ()=⎨−∞⃒⃒∫︀∞⎪⎪ℱ()−|| ⃒⃒⎩() =−∞Условие стационарности:Вывод:(1.10.5)>0 ; →0(1.10.6) * ′ = ()( − ′ )ℱ() = * (0 )(0 + ) =∫︁∞⎛∫︁∞ ⎝−∞⎞′ ′ * ′ −(− )0 ⎠ −(1.10.7)−∞Зависимость от 0 исчезает только если(1.10.8) * ′ ∼ ( − ′ )Откуда и получаем искомое условие.1.11Определение стационарного марковского гауссовского случайного процесса иматематические выражения для его свойств.Пусть 1 < .
. . < .Опр. 5: Марковский СП - СП, для которого условная вероятность(1.11.1)Марковский случайный процесс может быть описан при помощи 1() и 2. Причем 2опредеделяется уравнением Смолуховского (1.9.3). (1 , 1 ; . . . ; −1 , −1 | , ) = 2 (−1 , −1 | , )2 (1 , 2 ) = 1 (1 )2 (1 |2 )3 (1 , 2 , 3 ) = 2 (1 , 2 )3 (1 , 2 |3 ) = 2 (1 , 2 )2 (2 |3 ) = 1 (1 )2 (1 |2 )2 (2 |3 )и т.дОпр. 6: Марковский гауссовский СПлением:1.11.1(1.11.2)(1.11.3)- марковский процесс с нормальным распреде-2exp − 21 () = √22 2{︂1}︂(1.11.4)Теорема Дуба3 (1 , 2 |3 ) =- не зависит от 1.3 (1 , 2 , 3 )2 (1 , 2 ){︃}︃323 (1 , 2 , 3 )31 ∑︁ (3)1 ∑︁ (2)=exp − + 2 (1 , 2 )22 ,=1 2 ,=1 (1.11.5)(1.11.6)Чтобы эта функция не зависела от 1, 11 и 12 должны быть одинаковыми для распределений 2 и 3, а 13 = 0.Для гауссовского распределения∑︁ℱ = (1.11.7)15alexandrows.narod2.ruВ нашем случае⎧⎪⎨ℱ11 11 + ℱ12 21 + ℱ13 31 = 1ℱ21 11 + ℱ22 21 + ℱ23 31 = 0⎪⎩ℱ31 11 + ℱ32 21 + ℱ33 31 = 0(1.11.8)Система переопределена (так как 13 = 0).
Следовательноℱ32 ℱ21 − ℱ31 ℱ22 = 0(1.11.9)ℱ(0)ℱ(3 − 1 ) = ℱ(3 − 2 )ℱ(2 − 1 )(1.11.10)ℱ() = ℱ(0)−||(1.11.11)Для стационарного процессаОткуда1.121.12.1Получить формулу Найквиста для спектральной плотности теплового шумасопротивления при температуре в полосе частот Δ .Смещение во времени случайной величиныПусть () - случайный стационарный процесс с нулевым средним = 0. Случайная величина () называется «»:смещением∫︁ () =(1.12.1)(′ ) ′0Средний квадрат * ()() = |()|2 =∫︁ ∫︁ 2 * (2 )(1 ) =100∫︁ ∫︁ 0(1.12.2)2 ℱ(1 − 2 )10Записывая корреляционную функцию ℱ(1 −2) с помощью спектрального представления,получим∫︁∞2(1 − ())2|()| =()(1.12.3)2−∞Еслито при ≡ Γ и ≡ 1|()|2 = 2(0)Γ2() = (0) 2 + Γ2∫︁∞(︂(1 − )11− 22 + 2)︂(1.12.4)1 − −Γ= 2(0) 1 −Γ(︂)︂(1.12.5)−∞- интеграл вычисляется при помощи леммы Жордана методом вычетов.Учитывая, что (0)Γ = ℱ(0) = 2, получим⎧22 2⎪⎪⎨|()| ≃ ; при Γ ≪ 1⎪2 2⎪⎩|()|2 ≃ ;Γ16при(1.12.6)Γ ≫ 1alexandrows.narod2.ru1.12.2Формула НайквистаПусть из спектральной плотности () случайного стационарного процесса () сохраненатолько полоса частот (, + ∆) в том диапазоне (0, ), в котором () ≃ (0) - белыйшум.{︃(0) ; при 6 | ′ | 6 + ∆Δ ( ′ ) =(1.12.7)0 ; в остальных случаяхПри помощи такой спектральной интенсивности можно определить стационарный «шум»величины 2 в данной полосе частот:⃒⃒∫︁∞⃒2=Δ ′ Δ ( ′ ) ≃ 2(0)∆(1.12.8)−∞Так как(0) =то⃒⃒⃒2=Δ2 2 ()=Γ22 2 ∆ 2 () ∆·=·Γ(1.12.9)(1.12.10)- это формула Найквиста в абстрактном виде.Применительно к условиям задачи: рассмотрим цепь из последовательно соединенныхсопротивления , катушки и эквивалентного шумового генератора.˙ + = ℰ , 2=22(1.12.11)Обозначим = , = , Γ = /, ℰ = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
