С. Такетоми, С. Тикадзуми - Магнитные жидкости (1163253), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Плотность вероятности того, что магнитная частица, которая в момент времени( р находилась в положении г, перейдет в момент времени( в точку г, можно представить как и (г,(; го,г „). Функцию ю (г, (7 г„,(о) лла магнитных частиц УльтРамикРоскопического РазмеРа можно описать уравнением Смолуховского'> (5): аю(Г,Г;Г,,(,)lа( =Взугю(Г,(Г Г„(,) + С 7ю(Г,(; Г,,(,), (8.8) с =,В(п>.57)Н/Кт, (8.9) гдето — козффициент диффузии ультрамикроскопических магнитных частиц; гп — магнитный момент частицы, lг — постоянная Больцмана, à — абсолютная температураг>.
Если использовать модель, согласно которой любая ультрамикроскопическая магнитная частица представляет собой сферу диаметром а, то козффициенты диффузии '> В отечественной литературе кинетическое уравнение такого лола обычно называют уравнением Фоккера — Планка. — Прин. ред. " если члены чг и, о. ч и, (ш. ч) в уравнениях (8.8) и (879) представить а системе декартовых координат (х.
у, г ), то получатся следуюшие соотношения: ш = (т„тя т,г о = (с„с, с,), Н = (Н Н и,>, чгв — (аггахг+ агуауг+ аггагг>н = агн|эхг+ аги 7ауг+ агг|агг Е Ч = с„а 7аг +;ан уау + с,азг 7ц, (т-г>) = т,агах + т,агах + тэгаг. Отсюла слелует, что, например,с„выразится таким образом: с, = ( „ЭН„7 а» + т,ан„уау + т,ан„г аг >(О Л т >, 157 Дисперсии магнитных холлоннных частно Р и е выразятся следующими равенствами: Р =/сТ/бная, С = (1тт7)Н/бкал, (8.Ю),(8,11) где и — вязкость жидкой основы. Рассматривая случай коллоидных магнетитовых частиц, у которых а = 5. Ю-э м, примем, что ч составляет 0,1 П. с, а 1 т/Н ! = 10' А/мт. Тогда получим Р— 10 ц мэ/с, ! с ! — 10 'э м/с, и, следовательно„вторым членом в правой части уравнения (8.8) можно пренебречь.
Вместе с тем из дальнейшего изложения ясно, что в тех случаях, когда параметр ! 57Н ! принимает очень большие значения, его необходимо учитывать. 8.3. СТАБИЛИЗАЦИЯ КОЛЛОИДНЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНЫХ ЖИДКОСТЯХ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В ГЕРМЕТИЗАТОРАХ ВАЛОВ [51 Принцип действия и конструкционные особенности герметизаторов с магнитными жидкостями рассмотрены в гл.
2. На рис. 2.10 показана часть ерметизатора, удерживающая перепад давления. Вблизи «острия» зубца параметр ! ~7Н ! достигает исключительно большого значения„и поэтому магнитные коллоидные частицы со временем скапливаются у острия. В результате способность герметизатора «держать» все более высокое давление возрастает. Очевидно, что необходим четкий анализ данного явления. Обычно диаметр вала, например изображенного на схеме рис.
2.10, составляет несколько десятков миллиметров, тогда как максимальное расстояние между валом в герметизируюшем узле и неподвижным корпусом составляет около 1 мм. На рис. 8.5 показано сечение зубца полюсного наконечника, о котором говорилось выше, т. е. части герметизатора, которая компенсирует приложенный перепад давления.
При анализе поведения магнитных коллоидных частиц эту часть герметизатора следует рассматривать как двухмерную и использовать, таким образом, систему декартовых прямоугольных координат ху (ось х направлена по оси вала, а ось у — по радиусу). Полярные координаты связаны с прямоугольными декартовыми следующими зависимостями: + У~ 188 = У/х. (8.12), (8.13) За начало координат принимают точку на середине расстояния между «острием» зубца и внутренней стенкой корпуса машины. Если в момент времени г = 0 магнитная коллоидная частица находится в положении го = (х,ур), то плотность вероятности того, что в момент вре- 'г58 Глава 8 Рис.
8.5. Сечение зубца пониклого наконечника в магиитожилкоетном герметизатоРе !5!. менн г она перейдет в положение г = (х, у), можно выразить функцией гг(х. У. 0 хо, У„), котоРаЯ соотвегствУет.УРавненню (8.8). Если считать параметр сдостоянным, то уравнение (8.8) примет внд ди'lдГ = Р(бз!Ьха + бз/дуз)зг + с(дlдх + дlду)зг. (8.14) Распределение величины ! зуН ! вдоль оси х(у = О) показано на рис.
8.б (5). При х 0,05 мм ! 8Н/дх ! достигает весьма большого значения. В качестве граничного условия для уравнения (8.14) принц- мают, что все коллоидные частицы, переместившиеся к началу координат н находяшиеся в непосредственной близости от него, располагаются внутри круга, центром которого является зта точка, а диаметр составляет е . Математическое выражение этого граничного условия таково: (8.15) зг(0,0,г; хо,уо) = О. Начальное условие (при г = 0) в случае г = го описывается равенством за(х, у, 0; хо Уо) = 8(х — хо) ЫУ вЂ” Уо)» (8 16) где 8(х) — дельта-функция Дирака.
С учетом начального и граничного условий, определенных таким образом, равенство (8.14) записывается 159 Дисперсии магнитным яоллоилныя частил Рис. 8.6. Итмемение градиента наполнен- ности магнитного поля ~ОН/дл! алова оси г. "н ГООО Й ы ла 5 00 О О ОО Од 0,5 х,им в виде 4нР~ ( ~ 4РО 2Ю 4Рг с(У вЂ” У ) с'г 1 Г (х + хо)т с(х — хо) ехр 2Р 2Ю .~ ( 4Р1 2Р (У+ Уо) с(У Уо) с г 1 4Р( 2Ю 2Р 3 (8.17) агу а ° У„= — ете — Р—, У = — сгг — .Р—. (8.18) ах' д„р Вели испольэовать условие (8.15), то в начале координат вероятность (Уяг Уу ) мОжнО ПРедставнть так Х„! = — Ю вЂ” 1, У ! = — Р— ~ .(8.19) ам д» =о дх =о ,=о ау .=о' ' Наконец, используя равенство (837), можно вычислить величину гг ~» + У в начальной точке: (8.20) 4ггР1 Р1 ~ 4Р1 2Ю Теперь следует рассчитать число магнитных коллоидных частиц, которые захватываются полем в окрестности начала координат в период времени от г = О до и Вероятность (Уг, У ) того, что коллоидная частица эа единицу времени проходит единицу длины (двухмерная задача), выражается равенствами Глава 8 где ° — ~ 3+Ур.
(8.21)- 4Ф= пр.2 ~ гЮр ~ Фрг ~- х Г сгрип(др + к/4) грз 1 .(8.23) Используя теорему о среднем, можно выполнить следующее преоб- . разование: Гй Г сгрип(до + я/4) ~ д)~ =ч~ .ч— (824) гле г'и др — соответствующие константы. Что касается намагничен- ности насыщения М (г) внутри секторов, то в момент времени г она составляет Мв(8) М (О) + М (0)ЬИ/лавр (8.25) где М (0) — намагниченность насыщения в момент г О, рр — пло. шадь секторов, составляющая рр = (а/2)4. (826) При использовании выражения (8.24) уравнение (8.25) принимает вид М (!) = М,(0) 1 + — у —.- ехр ~ р —" — ~ .
(8.27) И~ Г СГрв81П(рр + К/4) 1 С помощью всех этих зависимостей можно определить вероятность того, что за период времени от г = 0 до г коллоидная частица, находящаяся первоначально в положении г = г, окажется внутри одного из двух секторов с центром в начале координат (радиус сектора равен 8„, угол сектора составляет а/2): (' 8 Г'*;(В~~+~= р с а Гсг вл(д + а./4) 1 Г ю~ ~ (822) я яр пРичем 88др = Ур/хр. Обозначив концентРацию коллоидных частиц в момент времени г = О через лр, можно опрелелить число этих частиц -йЖ, оказавшихся внутри указанных секторов в период времени от 8=Одоп Дислсрсии масси!иыи иоллоиииыс частил Намагниченность насыщения магнитной жидкости на участках, непосредственно примыкающих к верхней точке зубца (рис.
8.5), где удерживаемый перепад давления достигает максимума, увеличивается пропорционально ~гн Способность магнитожндкостного герметизатора удерживать перепад давления [уравнение (2.27)) оценивается по соотношению (2.37). Параметр Н(В) достигает исключительно большого значения в рабочем зазоре герметизатора, а М(Н(В)) можно приближенно рассматривать как намагниченность насыгцения магнитной жидкости. Тогда выражение (2.37) принимает вид Ьр = М,(г)[Н(В) — Н(А)[, (8.28) а при использовании (8.27) преобразуется в Др = М,(()) [Н(В) — Н(.4)).
1 + — Ъ' — х 1 ьсг Г сгс з(п(д; + и /4) с' 2 23 (8.29) Таким образом, удерживаемый перепад давления увеличивается про- порционально иг). Экспериментально этот вывод подтверждается графиками иа рнс. 2.28 н 2.29. 8.4. АГРЕГАТИРОВАНИЕ КОЛЛОИДНЫХ ЧАСТИЦ (РАСЧЕТ) ась!. МЕТОДИКА ДЖОРДАНА [с) Исследуя взаимодействие магнитных диполей в коллондных частицах, Джордан рассматривал, в частности, силы, действующие между одинаковыми частицами такого типа. Потенциальная знергия вза22модействия У„двух магнитных диполей описывается следующим равенствам: 1 Г 3 ~l, = — — ~ (гп пз2 — — (гп г)(гп г) 4к!и ~ ! 22 ! 2 (8.30) ,г 74 .Лс,(2 (8.31) гле сл — среднее значение магнитного момента коллоидной частицы, С2 — расстояние между центрами частиц лри контакте между ними. Здесь пз!, гп и г,, г — соответственно магнитные моменты и векторы положения первой и второй коллоидных частиц, причем г = г, — г; и = 1 г 1.
Расположение частиц представлено на рнс. 8.7. Параметр си определяется равенством Глава 8 луг Рис. 8.8. Лва случая осгьединения че- тырех коллоидных частиц. 7 — маг- нитный момент; 2 — коллоидная ча- стила, Рис. 8.7. Иллюстрация к вырюкению для энергии вэаимодейстаия межа> магнитными моментами пвух коллоидня~х частиц.
! — коллоилная частица. Величина 28п опРеДелаетсй как энеРгиЯ свЯзи межДУ магнитными коллоидными частицами; в случае типичной магнитной жидкости она составляет 25 кДж/моль. Очевидно, что по сравнению с энергией связи между атомами углерода, равной 350 кДж/моль, эта величина крайне мала, однако она близка к энергии водородных связей (8 — 32 кДж/моль), выполняюших важнейшие функции в биохимических процессах. Прежде всего Джордан исследовал начальную стадию агрегатирования, а именно слипание нескольких магнитных частиц. Два случая обьединения четырех коллоидных частиц с образованием либо двух пар, либо агрегата из трех частиц и одной отдельной частицы представлены на рис. 8.8. В первом случае энергия связи составляет — 48„, тогда как во втором достигает — 4,258л„т.
е. вторая конфигурация устойчивее. На рис. 8.9 показаны дополнительно два вида агрегатов четырех частиц, когла они объединяются в кластеры типа «клубок» (слева) или образуют цепочки. Обозначая энергию связи в этих случаях соответственно через 8, и 8, Джордан получил следующее равен- Рис. 8эк кластер типа кклубок» и цепочка частиц. 1 — магнитный момент; 2 — коллоиднвя частица.
163 Дислерсиа магнитных коллоидных частил Рис. 8.10. Нелочечны» кластер. à — коллоиднаа частила. ство: (й.32) е = е, + 0,138. Число степеней свободы при расположении частиц в виде цепочки сушественно выше. Между двумя указанными состояниями сушествует энергетический барьер 0,488„. Обе структуры возни в отсутствие внешнего магнитного поля, однако при его приложении образование цепочечщщкластеров более вероятно. В тех с1гучаях, когда агрегатирование охватывает значительное число коллоидных частиц, Джордан проводил вычисления на основе матричного метода, применяемого в статистической механике при расчетах линейной структуры полимеров (рис.
8.10). Ему удалось показать, что и в случае малой концентрации магнитных частиц при приложении внешнего магнитного поля происходит агрегатирование частиц с образованием цепочек или 'линейных кластеров„поскольку именно такой процесс требует наименьших энергетических затрат. 8.4.2. РАСЧЕТ ДВУХМЕРНОЙ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО Чантрелл с сотр. [7) на основании численного моделирования на ЭВМ дипольного момента взаимодействия частиц показали, что магнитные коллоидные частицы образуют кластеры, и рассчитали кривые намагничивания для такой системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
