Н.Н. Сунцов - Методы аналогий в аэрогидродинамике (1163179), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Если рассматривать расйространение волн бесконечно большой длины на поверхности жидкости, имеющей конечную глубину, то формула (5.32) примет вид с=~уЬ. (5.36) В этом случае дисперсия отсутствует и становятся справедливыми установленные выше соотношения газогидразлической аналогии. Практически мы, конечно, никогда не будем иметь волн бесконечной длины, а соотношение (5.36) будет выполняться приближенно, если отношение длины волны к глубине жидкости будет больше некоторого определенного значения.
Определение условий, при которык соотношение (5.36) выполняется с достаточной для практики точностью, весьма важно, так как, исходя из этого, мы должны выбрать глубину модельного потока воды. Если рассматривать обтеканнепотоком капельной жидкости ие вполне погруженного тела, то будет существовать определенная зависимость между длиной обтекаемого тела и длиной вызываемых им поверхностных волн.
Существование такой зависимости подтверждается многочисленными работами по изучению корабельных волн. Об этом же свидетельствуют и опыты, выполненные В. Н. Сунцовым шз). Остановимся более подробно на этих опытах и их результатах. В бурный поток воды помещалась модель клина„ изготовленная ив дерева. Модель ставилась таким образом, что $5.51 повзгхностныв волны в модвльном потока воды 249 Рис.
90. Обтекание модели клина. р увеличивается. Увеличение угла Р происходит лишь до определенного предела р , н при дальнейшем увеличении ( р не меняется. Значение С при котором заканчивается рост угла р, и р различны для разных глубин набегающего потока. Однако существует универсальная зависимость — =7( †), а приведенная на рис. 91. Приведенные результаты опытов можно обьяснить следующим обравом. Угол Р, как угол малых возмущений, определяется зависимостью с Р = агсз!ив и (5.37) С увеличением длины обтекаемого тела растет длина вызываемых им волн возмущения. При этом увеличивается скорость распространения этих волн, а это в свою очередь, как видно из (5.37), вызывает увеличение угла Р. При определенном отношении длины обтекаемого тела (длины волны) одна сторона ее была параллельна направлению набегающего потока (рис.
90). При этом с одной стороны клина возникал косой гидравлический прыжок АВ, а с другой в слабая волна АС. В ходе опытов измерялись поверхностная скорость набегающего потока и, глубина жидкости и и угол р между направлением скорости набегающего потока и слабой волной АС. Опыты показали, что угол р практически не зависит от угла при вершине клина м, но зато на его величину оказывает существенное влияние длина клина 1, причем с ростом 7 250 ГАЗОГИДРАВЛИЧВСКАЯ АНАЛОГИЯ 1гл. и к глубине потока дисперсия перестает сказываться, и рост угла Р на этом заканчивается.
Так как при помощи гаэогидравлической' аналогии мы собираемся моделировать такие случаи движения газа, когда дисперсия звука отсутствует, то необходимо, чтобы и в потоке воды отсутствовала дисперсия поверхностных волн, о а в Гг ю 3о м ~в1 33 и Рис. 91. Зависимость угла возмущения от длины обтекае- мого тела. а это, согласно скааанному выше, будет иметь место в том случае, если — ~ ЛГ*, (5.88) И где гн* †некотор критическое число. Из кривой, приведенной на рис. 91, видно, что ш'= 15 — 20. Следовательно, прн проведении опытов на установке газогидравлической аналогии отношение длины модели обтекаемого тела к глубине потока воды должно составлять не менее 15 — 20. То обстоятельство, что глубине модельного потока воды зависит от размеров лотка, становится очевидным и нз рекомендаций, даваемых в других работах. Так, Лайтон 1) ') УЛ1Р. СА01, 0ера Бяйпц, 1ЕСЬ.
ЙЕР. Н5-11б.313, 1930. $5,51 повввхиостиыз волны в модвльиом потока воды 251 рекомендует глубину в 6 мм при размерах лотка 6 Х 1,2 и, а Рябушинский †глуби в 100 мм при размерах лот.ка 60 Х 1О м. В дальнейшем мы всюду будем предполагать, что условие (5.38) выполнено и Р = Р„ Заметим далее, что формула (5.36) для скорости распространения поверхностных волн применима лишь к стоячей воде или потоку идеальной жидкости. В реальном же потоке воды, где вследствие наличия сил вязкости скорости пои тока по глубине будут меняться, действительная скорость распространения поверхностных волн будет отличаться от той, которую дает формула (5.36). Рассмотрим распространение поверхностных волн в по- Рис.
92 Профиль скоростей токе воды. Пусть в открытом в модельнОм потоке воды. канале с горизонтальным дном движется поток вдоль оси х (рис. 92) со скоростью тэ = тэ . На этот поток накладывается волновое движение. Волновое движение тоже плоское, ио волны распространяются вдоль Рис. 93. Распространение позерхиостиых волн. оси 1, составляющей с осью х угол 6 (рис. 93). Скорость волнового движения обозначим тэ. Составляющие скорости суммарного потока будут: явь+а соз 6, шз1пб, тва по оси $ по оси по оси я Запишем уравнения, описывающие движение результирующего потока жидкости, 252 1гл.
ч ГАЗОГИДРАВЛИЧВСКАЯ АНАЛОГИЯ Уравнение сплошности вапишется в виде д д дала — (явя+ те сов 9) + — (тв з1п 9)+ — * = О. (539) дЕ ач дл Запишем далее уравнение движения в проекции на ось Е: д д — (п~е+ ш соа 6) +(пь+тв соз 9) — (юе+ ш соз 6)+ аг дЕ д д 1 др +чван 9 — (чвя+ созб)+яи — (чве+езсоз9)= — — —. дч Я дл Р дЕ (5.40) Имея в виду, что тв не зависит от Е, ч и Г, а тв от ть пере- пишем уравнения (5.39) и (5.40) в виде дв~ да), дЕ дю (5.41) а|Р1 - д 1 ар — +(чве+ тв СОЯ 6) — +чв — (яв1+яв соз6) = — — —. да дЕ * дл Р дЕ (5.42) Считая чва и яиы а также их производные малыми, отбросим в уравнении (5.42) члены, содержащие произведения малых величин.
Поступаем так потому, что рассматриваем распро- странение малых возмущений. В результате получим — + — явсоя6+ — чв соз9= — —. (5.43) аяЧ дю1 д - 1 ар дг дЕ дл Я р дЕ' Глубину потока воды представляем в виде суммы й=й +й', где й †глуби невозмущениого потока, й' †добав, обусловленная волновым движением. Так как мы рассматри- ваем волны малой амплитуды, то й' мало по сравнению с й .
Закон распределения давлений по глубине считаем гидро- статическим, что находится в соответствии со сделанным допущением о малости ускорений вдоль оси л, так что Р =РЯ+Т (й л) =Ра+ Т (йса+й в) (5 44) Подставляя (5.44) в (5.43), получим — + — яв соз 9 + — чв соз 9 = — и —. (5.45) аяЧ абая ди - дй' аг дЕ дл Я дЕ $5.5) поввгхйобтййв войиМ в йодвЛЬйой йбтойв Воды 258 ф(8, л, 1)=7(г)еавй-нп (5.47) 2я где А = — — волновое число, с, — скорость распространения волн относительно дна, причем с, = с+и соя 8.
Используя (5.47), находим составляющие скорости волнового движения: яв "т ~у (в) ега (е-с,п да яв 18У(л) ега б-е,й дФ в (5.48) Выражение для Ь' запишется в виде йг — пеай (е-а,й (5.49) где а †амплиту волны. Подставляя (5.48) и (5.49) в (5.45) и испольауя граничные условия (5.46), после простых преобразований получаем Г лл 1 (5. 50) (ысоаз — е,)' л ' е В потоке идеальной жидкости ям= и=сопз1. В атом случае из (5.50) следует с,=~йй+исоз6, с= у'йл, т.
е., как и следовало ожидать, скорость распространения поверхностных волн одинакова во всех направлениях и такова же, что н в стоячей воде. Граничные условия для уравнения (5.45) запишутся в виде при я=О э,=О, И дй~ да' (5.46) при в=В щ = — = — +исозб —. ~ ег й м. ! Имея в виду уравнение (5.41), можем ввести для волнового движения функцию тока. Допустим, что волновое движение может быть представлено в виде прогрессивных гармонических волн постоянной формы с амплитудой, аависящей только от л. Тогда функция тока может быть представлена в виде газогидгавйичвскся анаЛогия '1гл.
Ч Рассмотрим далее случай линейного распределения скоIл1 ростей по глубине та= и 11 — ). Ив (5.50) находим 1а)' Г исаа ачз 1 , =У дй.~-1 1 -)- — 9. (5.51) / исаа атз 1 с=ф~ уй+~, ) — — исоз8. 2 ) 2 Таким образом, мы видим, что в том случае, когда скорости в потоке воды по глубине меняются. скорость распространения поверхностных волн различна в различных направлениях. Обозначая череа с =~ йй скорость распространения поверхностных волн в потоке идеальной жидкости и и через М,=- — '), приведем формулу (5.51) к виду с,„ — = у 1+ 4 М,соз 8 — — М,соз8.
(5.52) с Г 1 з з 1 сил Ив формулы (5.52) видно, что — = 1 при 8 = 90' и 8 = 270'. с Наибольшее отличие — от единицы имеет место при 8=0' с и 8=180'. Значения — для этих двух случаев, рассчис„ танные по формуле (5.52), приведены в таблице 15. Таблица 15 Значения — при линейном распределении сиоростей с с по глубине и, ! ос 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 1,0 1,5 з) Мт может быть названо теоретическим значением числа М, и в атлнчне от действительного М = — . с в'0.5) поввгхностйь1в волйь1 в нбдвйьНом потоки воды 255 те =и( — „) (5.53) В этом случае из (5.50) получаем следующее трансцендентное уравнение: — + — с+ 7с'+ 14сз+ 35сз — 7сз+ 5 2 +42сз1п= — 7 - =М,соз 6, с, 1 — с где с с — 1 исоа З Это уравнение приближенно может быть аппроксимировано следующей простой зависимостью: 0,94М созе+1 с— (5.54) М созе Приближенная зависимость (5.54) дает особенно хорошее совпадение с точной в диапазоне чисел М, от 0,9 до 2,5.
Из(5.54) найдем скорость распространения поверхностных волн: с = исоа 6 (с — 1), с = (1 — 0,06М, соа 6) УК~. — = 1 — 0.06М, соз 8. с (5.55) Из таблицы 15 видно, что при линейном распределении скоростей по глубине скорость распространения поверхностных волн может очень сильно отличаться от скорости распространения поверхностных волн в идеальной жидкости. Мы рассмотрели линейное распределение скоростей по глубине, как наиболее неблагоприятный случай. В действительных потоках такого профиля скоростей не встречается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
