Н.Н. Сунцов - Методы аналогий в аэрогидродинамике (1163179), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Уравнение количества движения для жидкости, протекающей через выделенную контрольную поверхность, может быть преобразовано к виду Исключая при помощи (5.6) — иа уравнения сплоше'Ь Ь ности (5.3), получаем 4йэ 1 сяш ЛЬ Ь са — эЯ' (5.7) Из формулы (5.7) видно. что в случае спокойного течения ~йи (те(с) — С О, т. е.
сужение канала приводит к увеличению лЬ скорости, расширение канала — к уменьшению скорости. В случае бурного течения (тэ) с) — ) 0 и сужение канала лв лЬ приводит к уменьшению скорости, расширение канала— к увеличению скорости. Если при помощи формулы (5.6) исключить из уравнения кь сплошностн (5.3) —, то получим соотношение между тя н Ь; Ь ' это соотношение имеет внд са — +тэдте=О. . лЬ Ь (5.8) Рассмотрим теперь установившееся движение невязкого газа в трубе прямоугольного сечения с переменной шириной Ь н постоянной высотой Ь. Считаем, что все параметры газового потока зависят только от координаты х, направленной вдоль трубы.
Движение гааа считаем ивоэнтропийным, так что Р Ро рь а (5.9) Уравнение сплошности запишется в виде раФ = сонэ! (5.10) или Нр льэ лЬ вЂ” + — + — = О. р аю Ь (5.! 1) Используем рис. 77 и, учитывая, что в данном случае Ь = сопя!, составим уравнение количества движения для гава, протекающего через контрольную поверхность, выделенную на этом рисунке.
Уравнение количества движения можно привести к виду Ыр ! яяр МЬ Ь лз — а~а ' (5.12) 15 змь змз. н. н. стнцоа $ 5.11 авлййвйия одйойврйоро двйжзнйя газа Й вод)л 225 газоййдглвйичискля анллоуия ' (г». !Р где амы 'у'ФАРа-~. (5. 13) Из (5.12) следует, что в случае дозвукового течения газа (тв С а) „Ь ) О, т. е. с ростом ширины трубы плотность МР гааа растет, с уменьшением — падает. При сверхзвуковом течении гааа (ти) а) имеет место обратная картина, так как МР вЬ вЂ” (О. Исключая при помощи (5.12) — из уравнения сплошяр Р ности (5.11), получаем ~йо 1 атм лЬ Ь аз — яФ' (5.14) отоке Иа (5.14) следует. что в дозвуковом газовом п Йя — ( О, и, следовательно, сужение канала приводит к увеличению скорости, а расширение канала — к уменьшению ~Й6 скорости; в сверхзвуковом потоке †„ ) О и имеет место обратная картина.
в'Ь Исключая далее при помощи формулы (5.12) отношение— Ь из уравнения сплошности (5.1!), будем иметь аз — Р+ чи с(чи = О. (5.15) Р Сравнивая уравнения (5.3), (5.6), (5.7) и (5.8), описывающие движение несжимаемой жидкости в открытом канале, с уравнениями (5.11). (5.12), (5.14) и (5.15), описывающими движение газа, убеждаемся в их полной аналогии.
Эта аналогия и получила название газогидравлической аналогии. Аналогия имеет место между следующими величинами: скорость движения несжимаемой жидкости аналогична скорости движения газа, скорость распространения поверхностных волн в жидкости с аналогична скорости звука в гавел, и, наконец, глубина жидкости в канале Ь аналогична плотности газа р. Аналогия между скоростями движения жидкости и газа имеет не только математический, но и вполне определенный $ б.!1 ававнвнпя одНдмвгНойо движвНня глад н воды 227 физический смысл. То же можно сказать и в отношении аналогии между скоростью поверхностных волн и скоростью звука: и та и другая являются скоростями распространения малых возмущений в среде.
Свойства потока несжимаемой жидкости зависят от соотношения между скоростью жидкости н скоростью поверхностных волн, а свойства газового потока зависят от соотношения между скоростью газа и скоростью звука. Одинаковыми свойствами обладают спокойный поток жидкости (ш(с) и доавуковой газовый поток (а~ ч,.а), а также бурный поток жидкости (а~) с) и сверхзвуковой газовый поток (яв ) а).
Рассмотрим более подробно аналогию между массовой плотностью газа р и глубиной жидкости в канале Ь. Если в газовом потоке выделить элементарный объем М~, масса газа в котором Ляг, то массовая плотность газа в данной точке представляет собой предел отношения Ьлг к ЬУ при МГ, стремящемся к нулю, т.
е. ляг р= Иш — „„. и".эо р= — '" = — А. Лги р йУ Н (5.! 6) Здесь р н Н суть постоянные и переменной является только л, которая и является величиной, пропорциональной массовой плотности газа. Установим далее, что является аналогом давления газа в потоке несжимаемой жидкости. Совершенно очевидно, что Установим физический аналог массовой плотности газа в потоке несжимаемой жидкости. Поступим для этого следующим образом. Проведем мысленно горизонтальную плоскость, отстоящую на расстоянии Н ) А от дна потока, и рассмотрим элементарный объем в виде цилиндрика, заключенного между дном потока и этой плоскостью.
Площадь основания его пусть будет Ьа, тогда объем его составит ЬУ = Н Ьл. Масса среды в этом цилиндрике, если пренебречь массой воздуха в нем, составит Ьт=рйба, где р — массовая плотность жидкости. Аналогом массовой плотности газа будет являться отношение этой массы к объему, который она занимает.
т. е. 228 ГлвОГИдглвлйчвсйая аИАЛОГИй (ГЛ. Ч Аналогом давления будет являться отношение этой силы к площади, на которую она действует, т. е. — т йг НЛГ 2Н (5. 17) Если подставить в (5.17) значение л из (5.16), то получим ~ =Ам (5.!8) 7= ' где А = — — постоянная величина. ан 2г Уравнение (5.18) аналогично уравнению изоэнтропы (5.9) только при А=2. Вследствие этого и формула (5.5) для скорости поверхностных волн аналогична формуле (5.13) для скорости звука лишь при 5=2.
Проинтегрируем далее уравнение (5.8) с учетом формулы (5.5), получим са+ — = сопя!. 2 (5.19) Если проинтегрировать далее уравнение (5.15), используя уравнение изоэнтропы (5.9), то будем иметь вя жя — + — = сопя!. а — 1 2 (5.20) Выражения (5.19) и (5.20) представляют собой уравнения энергии для несжимаемой жидкости и для газа соответственно; они также аналогичны лишь при й=2. Таким образом, полная аналогия имеет место между уравнениями, описывающими движение невязкой несжимаемой им не может быть гидростатическое давление, определяемое формулой (5.!).
Действительно, гидростатическое давление является функцией двух переменных: х и г, в то время как аналог давления должен быть функцией только х. Для установления аналога давления поступаем так. В потоке жидкости выделяем влементарную вертикальную площадку высотой Н и шириной Л. Если давление воздуха считать равным нулю, то сила, действующая на эту элементарную площадку, будет ь тл г(Р=гУ„~ Т(й — я)г(л=~ И1. 2 о 9 5.2] глспгостганвнив гга нл плосков твчвнив 229 жидкости в открытом канале, и уравнениями, описывающими изоэнтропийное яви>кение некоторого гипотетического газа с покааателем изоэнтропы й = 2. Этот гипотетический газ иногда называют «гидравлическим газом».
ф 6.2. Распространение газогидравлической аналогии иа плоское течение Газогидравлическая аналогия, показанная выше на примере одномерного движения. может быть распространена на случай плоского течения. которое может быть как установившимся, так и неустановившимся. Рнс. 78. Плоское движение воды з открытом канале. Рассмотрим движение невязкой несжимаемой жидкости в горизонтальном канале, глубина жидкости в котором много меньше ширины канала.
Направим ось х вдоль канала по его дну, ось у в в плоскости дна канала перпендикулярно оси х и ось и†вертикально вверх. Скорость жидкости и> и ее составляющие и> и и>, а также глубину жидкости Ь считаем функциями х и у. Вертикальной составляющей скорости и>, пренебрегаем. Как и ранее, считаем, что давление в жидкости распределяется по гидростатическому закону. В потоке жидкости выделим элементарный объсм так, «ак это показано на Рис.
78, газогидгавличвская аналогия [гл. т 230 Рассматривая выделенный объем как фиксированный, получим уравнение сплошности в виде дд д (Дш ) д (дша) — 0 (5.21) да+ дх + ду Если составить далее уравнения движения для выделенного объема, то они могут быть приведены к виду дэ ды„, дша са дд да+ "дх+ а ду ддх' дыя дша дшя +яв +тв дР х дх а ду Иду' (5.22) (5.23) даЪ даЪ да~а аа др — +те — +та дР адх Яду рдх' (5.24) д я д я д я а' др я+ я+ я дт адх Я ду р ду' Уравнения (5.23), (5.24) и формула для скорости авука (5.13) образуют замкнутую систему, в которую нходят четыре неизвестные: составляющие скорости яв и ва, плотность р м скорость звука а.
Сравнивая уравнения (5.21) н (5.22) с уравнениями (5.23) и (5.24), убеждаемся, что плоское движение невязкой несжимаемой жидкости в открытом канале и плоское движение невязкого газа описываются одинаковыми уравнениями. Аналогия имеет место между составляющими скорости тв, явя х1идкостн и газа, глубиной жидкости л и плотностью газа у, Уравнение сплошности (5.21) и два уравнения движения (5.22) составляют совместно с формулой (5.5) для скоростй поверхностных волн замкнутую систему, в которую входят четыре неизвестные: составляющие скорости |в, те„, глубина Ь и скорость поверхностных волн с. Рассмотрим теперь плоское движение невязкого газа.
Уравнение сплошности для такого движения имеет вид др д(ра~ ) д(ры ) дг+ дх + ду Уравнения, описывающие рассматриваемое движение, могут быть записаны в виде 6 5.31 экспвгымвнтлльнья установка 23! а также между скоростью поверхностных волн с и скоростью звука а. Однако формулы (5.5) и (5.13) для с и а аналогичны лишь при л = 2, а следовательно, и вся аналогия имеет место лишь при выполнении этого условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
