Ф.Ю. Попеленский - Математические основы современной физики (1162163), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Очевидно, что после применения оператора x −у которого при xn+1−2k будет следующий коэффициент(−1)k cnk − (−1)k−1 (n − 2(k − 1))cn(k−1) = (−1)kddxк Pn (x) получится многочлен n + 1 степени,n!(n + 1 − 2k + 2k) = c(n+1)k .2k k!(n + 1 − 2k)!(63)Таким образом, пункт 1◦ доказан.Докажем 2◦ . Имеем1a+ = √ (ωQ − iP ) ,2ωQψ(x) = xψ(x), P ψ(x) =1 dψ(x),i dx(64)поэтомуn1x2d√ωx −C · exp −ω=dx22ωn−1 √ √ 11dωxx2x2 − ωx√√ exp −ω√= √ωx −− exp −ω=dx222ω22n!n−1√√1dx2Cx21√=√ωx −P1 ( 2ωx)C · exp −ω= . .

. = √ Pn ( 2ωx) · exp −ω. (65)dx222ωn!n!(a+ )n1ψn = √ ψ0 = √n!n!Таким образом, можно считать, что пункт 2◦ доказан.Для доказательства пункта 3◦ нужно воспользоваться следующей теоремой из функционального анализа:если f ∈ L2 (a, b) (интервал может быть бесконечным)и f (x)eδ|x| ∈ L2 (a, b), то система функций {xn f (x)}n∈Nω 22полна в L (a, b). В нашем случае f (x) = exp − 2 x , а xn получается из линейной комбинации Pn (x). 4.

Теория относительности. Классические поляВ этой главе мы на некоторое время забудем то, что мы изучали раньше, и будем изучать группу Лоренца, лагранжев формализм в теории поля, а также примеры релятивистских полей, согласованных с группойЛоренца. Нашими основными объектами изучения скоро станут тензорные и спинорные поля. Поэтому для начала нам придётся сначала опять немного вспомнить алгебру и обыкновенные дифференциальные уравнения,а потом — тензорное исчисление в пространстве с метрикой Минковского.В этой главе мы будем действовать по следующей схеме: напишем лагранжиан, соответствующий тому илииному полю, напишем для него динамические инварианты, пользуясь теоремой Нётер, а затем будем это полеквантовать (но это будет уже в следующей главе).164.1. Группа Лоренца и пространство Минковского4.1.1.

Основные постулаты и определенияОпределение. Система отсчёта называется инерциальной, если в ней при материальная точка движетсяравномерно и прямолинейно при отсутствии воздействия на неё.Мы хотим (и потому это постулируем, что все законы природы (уравнения движения) одинаковы во всехсистемах отсчёта.∂VВ классической механике потенциал V (x) зависит от точки, Fk = − ∂xk и взаимодействие распространяетсямгновенно.

На самом деле взаимодействие распространяется с конечной скоростью (не превосходящей скоростисвета c = 2.998 · 108 м/с).Во втором томе книжки Ландау и Лифшица написано, что мы живём в пространстве Минковского R1,3 сметрикойds2 = (c dt)2 − (dx)2 − (dy)2 − (dz)2 .(1)Далее мы будем иметь дело с 4-мерными векторами x = (x0 , x1 , x2 , x3 ), где x0 = сt (время), а x1 = x, x2 = yи x = z.34.1.2. Парадокс специальной теории относительностиОдин из парадоксов теории относительности («парадокс близнецов») заключается в замедлении временидля систем отсчёта, движущихся равномерно прямолинейно с некоторой скоростью V (скорость движущейся системы отсчёта мы почти всегда будем обозначать именно этой буквой). Пусть t — время в неподвижной2системе отсчёта, а t′ — в подвижной.

Из формулы (1) мы получаем, что (c dt′ )2 = (c dt)2 1 − Vc2 , то естьq2dt′ = dt 1 − Vc2 . Пока эти формулы никакого удивления не вызывают. Но давайте проведём такой опыт: запустим одного человека в космос на ракете, движущейся со скоростью V , а другого оставим на Земле. Пусть черезнекоторое время космонавт вернулся на Землю. Тогда из формул следует, что он постареет меньше, чем тот, который сидел на Земле.

Тут, правда, есть некоторое жульничество, заключающееся в том, что в момент разворотаракета испытает ускорение, и вроде бы наша формула перестаёт работать. Но в общей теории относительностиэту трудность можно решить.4.1.3. Группа ЛоренцаИтак, выше было сказано, что мы будем рассматривать пространство R1,3 (пространство Минковского) сметрикой, задаваемой диагональной матрицей Грама G1,3 := diag(1, −1, −1, −1).Определение. Рассмотрим группу преобразований пространства R1,3 , сохраняющий наше скалярное произведение.

Она состоит из тех и только тех невырожденных преобразований Λ из группы GL4 (R), для которых Λt G1,3 Λ = G1,3 . Данная группа преобразований называется группой Лоренца и обычно обозначаетсяL := SO1,3 (R). Если добавить к этим преобразованиям ещё и параллельные переносы, то получится группа, называемая группой Пуанкаре (формально говоря, она является полупрямым произведением группы L на группупараллельных переносов).Для краткости пространство Минковского с соответствующей метрикой будем обозначать M (или M 4 , чтобыподчеркнуть размерность). Матрицу Грама G1,3 для краткости будем обозначать просто G.Задача 4.1.

Пусть диффеоморфизм ϕ : M → M сохраняет метрику Минковского. Тогда он лежит в группеПуанкаре.Решение. Мы будем решать чуть более общую задачу.Пусть задано гладкое n-мерное многообразие M с постоянной матрицей римановой метрики gij , такое, чтоe обозначим группу, сохраняющую квадратичнуюлюбые две точки можно соединить геодезической. Через Lформу, соответствующую g.Рассмотрим p ∈ M . Пусть G = Isom M , и пусть H := St(p) ⊂ G — стабилизатор точки p.

Рассмотрим h ∈ H.Тогда дифференциалdp h : Tp M → Tp M(2)e Рассмотрим отображениесохраняет скалярное произведение в касательном пространстве, то есть dp h ∈ L.e которое элементу h ∈ H ставит в соответствие его дифференциал. Очевидно, что это гомоморфизмλ : H → L,групп. Докажем его инъективность.Достаточно доказать, что Ker λ = 0. Покажем, что если λ(h) = id, то h = id. Пусть dp h = id. Рассмотримпроизвольную точку q ∈ M и покажем, что h(q) = q. Рассмотрим геодезическую из точки p в точку q. При17изометрии геодезические переходят в геодезические, потому что сохраняются символы Кристоффеля (они выражаются через метрику).

Посмотрим, куда перейдёт наша геодезическая γ. Её начало сохраняется, потому чтоточка p неподвижна, то есть h(γ(0)) = γ(0). Кроме того,dh(γ)= dp h(γ̇(0)) = γ̇(0).dtt=0(3)А теперь срабатывает теорема единственности для задачи Коши: у нас есть уравнение геодезических второгопорядка и заданы нулевая и первая производные (начальная точка и направление).

Одно решение у этогоуравнения уже есть — это сама геодезическая γ. Значит, h(γ) = γ и тем более h(q) = q, то есть h = id.eТаким образом, построено вложение H ֒→ L.Аналогично поборемся со сдвигами. Организуем отображение(4)ν : g 7→ (g(p), dp g).Покажем, что оно инъективно. В самом деле, пусть ν(g1 ) = ν(g2 ). Тогда, в частности, g1 (p) = g2 (p), откудаследует, что h := g2−1 g1 ∈ H. Имеем dp h = (dp g2 )−1 dp g1 = id (потому что dp g1 = dp g2 ), откуда, как мы ужепоказали, h = id. Следовательно, g1 = g2 .По сути всё сделано. Мы показали, что всякий элемент группы G определяется тем, куда он перемещаетнекоторую фиксированную точку многообразия и дифференциалом в этой точке, который, как было показано,eпринадлежит группе L.А что такое группа Пуанкаре? Они именно так и устроена: это полупрямое произведение SO3,1 на группупараллельных переносов, изоморфную R3,1 .

Задача 4.2. Доказать, что группа L в пространстве всех матриц 4-го порядка Mat4×4 является подмногообразием.Решение. Для каждой матрицы Λ ∈ L у нас есть уравнение Λt G1,3 Λ = G1,3 . Это матричное уравнениеэквивалентно некоторой системе уравнений (вообще говоря, второй степени) на коэффициенты матрицы Λ (тоесть на её координаты в нашем пространстве Mat4×4 ). Значит, локально наша группа представляет собой некоторую (гладкую) поверхность, то есть подмногообразие.

Конечно, хорошо бы ещё проверить, что эти уравненияхорошие, но это достаточно просто. Посмотрим, как устроена алгебра Ли группы L, то есть касательное пространство TE L к L в единице.В одном из определений касательного вектора говорится, что касательное пространство состоит из векторов скорости кривых, лежащих в многообразии. Рассмотрим произвольную кривую A(t) в группе, у которой A(0) = E, и продифференцируем её при t = 0. Естественно, эта производная будет некоторым вектором в касательном пространстве. У нас есть соотношение A(t)t GA(t) = G. Дифференцируем его по правилуЛейбница: (A′ )t (t)GA(t) + At (t)GA′ (t) = 0.

Характеристики

Список файлов лекций