Ф.Ю. Попеленский - Математические основы современной физики (1162163), страница 2
Текст из файла (страница 2)
ЗарядыКак следует из основного постулата, заряды бывают 4 типов.• Электрическое поле — порождает электрический заряд.• Электромагнитное поле: оно бывает двух сортов: классическое («большое»), описываемое уравнениямиМаксвелла, и квантовое (для небольшого количества взаимодействующих электронов). Если разглядетьполе более детально, то отдельные кванты энергии становятся видны (они называются фотонами илиγ-квантами).• Слабое поле: для слабого взаимодействия классического поля не бывает (всё происходит на уровне отдельных частиц).
Слабое взаимодействие переносится так называемыми бозонами. Их имеется три: ω+ , ω− иz0 с массой 80 mp.• Для сильного поля взаимодействие переносится с помощью глюонов, которых бывает 8 видов.Замечание. Количество частиц, осуществляющих взаимодействие, не случайно. Оно совпадает с размерностью алгебр Ли su1 , su2 , su3 .41.2. Хронология развития квантовой физики1. 1901 г. — Квантовая гипотеза М. Планка о том, что энергия излучается порциями («квантуется»)2.
1950 г. — Квантовая теория электромагнитного поля3. 1960 г. — Стандартная модель (теория электрического и слабого взаимодействия) — Глэшоу, Салам, Вайнберг4. 1964 г. — КХД (квантовая хромодинамика) сводит сильное взаимодействие p и n в ядре к взаимодействиюкварков, из которых, по этой теории, состоят n и p5. Теория струн1.3. Структура курса1. Основные понятия квантовой механики, наблюдаемые, состояния, измерения, принцип неопределённости,вероятность2. Лагранжев формализм в теории поля. Пространство Минковского, уравнения Эйлера – Лагранжа, теоремаНётер Сохраняющиеся величины: энергия, импульс, угловой момент, электрический заряд3. Уравнение Клейна – Гордона – Фока и его решение4.
Спиноры. Спинорные поля. Уравнение Дирака и его решение5. Квантование свободных полей (материи)6. Калибровочные поля — поля взаимодействия2. Основные структуры2.1. Наблюдаемые величины. Состояния2.1.1. НаблюдаемыеВ классической механике наблюдаемыми являются функции Rm 7→ R. В квантовой же механике в качественаблюдаемых будут выступать операторы. Более точно, рассмотрим H — сепарабельное гильбертово пространство над полем C, в котором скалярное произведение h·, ·i : H2 → C антилинейно по первому аргументу (тоесть комплексные числа выносятся из первого аргумента с сопряжением, а из второго — просто так).Определение.
Наблюдаемая величина — самосопряжённый оператор в H, то есть такой оператор A, чтоhAx, yi = hx, Ayi .(1)Буквой a мы будем обозначать множество наблюдаемых. Готическими буквами обычно обозначают алгебрыЛи, и мы сейчас убедимся в том, что это множество действительно является алгеброй Ли. Но сначала напомним,что это такое.Определение. Алгеброй Ли называют векторное пространство g с билинейной кососимметричной операцией[·, ·] : g × g → g, удовлетворяющей тождеству Якоби [[f, g], h] + [[g, h], f ] + [[h, f ], g] = 0.На a есть привычные нам операции сложения и умножения на вещественные числа. Введем еще одну операцию, называемую квантовой скобкой Пуассона. Пусть A и B — наблюдаемые, тогда положимi{A, B}~ := − [A, B] ,~(2)где [A, B] = AB − BA — обычный коммутатор операторов, а ~ — некоторая константа, физический смыслкоторой — постоянная Планка.Эта операция обладает обычными свойствами коммутатора, то есть билинейна и кососимметрична, а такжеудовлетворяет тождеству Якоби {{A, B} , C} + {{B, C} , A} + {{C, A} , B} = 0 (индекс ~ для краткости опущен).Легко также проверить, что имеет место нечто вроде правила Лейбница:{A, BC}~ = {A, B}~ · C + B · {A, C}~ .(3)Отметим также, что если A, B ∈ a, то {A, B} ∈ a.
Это даёт нам право утверждать, что пространство a соперацией {·, ·}~ образует алгебру Ли.Замечание. При разных значениях ~ получаются, вообще говоря, разные (неизоморфные) алгебры.52.1.2. СостоянияОпределение. Состоянием ω квантовой системы будем называть функционал на пространстве a.Пусть A ∈ a. Определим отображение A 7→ hAiω , удовлетворяющее следующим аксиомам:1.2.3.hλ · idiω = λ (здесь id — тождественный оператор из a, а λ ∈ R);hλA + µBiω = λ hAiω + µ hBiω (здесь λ, µ ∈ R, а A, B ∈ a); 2A ω > 0 (отметим, что если A ∈ a, то и A2 ∈ a).Определение.
Оператор A называется положительным, если hAv, vi > 0 для всех v ∈ H.Вообще говоря, такой оператор называется неотрицательным.Определение. Следом оператора A в бесконечномерном гильбертовом пространстве называется сумма рядаиз диагональных элементов матрицы оператора (в нашем пространстве имеется счётный базис, поэтому операторможно записать бесконечной матрицей). След существует не всегда (будем говорить, что он существует, еслиряд абсолютно сходится).Задача 2.1. Доказать, что след оператора не зависит от выбора базиса.Видимо, тут можно попробовать воспользоваться тем фактом, что в конечномерном пространстве это верно, и устроить предельный переход. .
. Хотя Р. Жданов предлагает следующее:Указание. Согласно книжке Кириллова – Гвишиани (задача 572), след оператора мы умеем считать, когда оператор являетсяядерным, то есть представляется в виде произведения двух операторов Гильберта – Шмидта. Оператором Гильберта– ШмидтаPбудем называть оператор, у которого для некоторого гильбертова базиса {xi } (а тогда и для любого) сходится ряд:|Axn |2 .
ПустьnC = AB, где A и B — операторы Гильберта – Шмидта. ТогдаXX(Cxn , xn ) =(Axn , B ∗ xn ) = hA, B ∗ i ,nnгде последнее выражение означает скалярное произведение операторов в пространстве операторов Гильберта – Шмидта.Теорема 2.1 (Задача со звёздочкой).
Если ω — состояние, то существует положительный самосопряжённый линейный оператор ρω со следом 1, такой, что hAiω = tr(ρω A) для всех A ∈ a.Имеет место так называемый принцип суперпозиции: если ω1 и ω2 — состояния, то (1 − t)ω1 + tω2 — тожесостояние (здесь t ∈ [0, 1]).2.1.3. Чистые состоянияПусть ψ ∈ H, |ψ| = 1. Рассмотрим оператор проекции на вектор ψ:Pψ : ϕ 7→ hψ, ϕi ψ.(4)Утверждение 2.2. Оператор Pψ задаёт некоторое состояние:hAiψ = tr(Pψ A).(5) Заметим сначала, что оператор Pψ самосопряжённый (совсем легко проверить). Теперь выберем ОНБв H, такой, что ψ = e1 .
ТогдаXXtr(Pψ A) =hPψ Aen , en i =hAen , Pψ en i = hAψ, ψi ,(6)так как все слагаемые, кроме первого, занулятся. Проверить остальные свойства состояния предоставляетсячитателю. Определение. Состояния, отвечающие проекторам на одномерные подпространства, называют чистыми.Допуская вольность речи, мы часто будем называть чистыми состояниями не операторы Pψ (которые фактически являются функционалами на H), а сами векторы из H, поскольку между проекторами и единичнымивекторами имеется очевидная биекция.2.2.
Теория и эксперимент2.2.1. Отклонение эксперимента от теорииПопробуем установить связь нашего понятия наблюдаемой величины (оператора) с тем, что имеет место вфизическом эксперименте. Естественно, измерения проводятся с некоторой погрешностью, поэтому чтобы что-тоизмерить, нужно провести много экспериментов и вычислить среднее значение, которое бы будем обозначать6Aav (индекс происходит от слова «average»).
Имеется связь между теоретическим значением — оператором A исредним Aav :hAiω = Aav .(7)Легко видеть, что если A ∈ a, то (A−Aav )2 ∈ a. Величина (A−Aav )2av является среднеквадратичным отклонениемэксперимента от теории. С учётом нашего соотношения (7) получаем 22(A − Aav )2 ω = A2 − 2Aav A + (Aav )2 ω = A2 ω − 2Aav hAiω + hAiω = A2 ω − hAiω .(8)| {z }2hAi2ωДанную величину мы будем обозначать символом ∆2ω A.Выше был определён оператор Pψ . Заметим, что он является состоянием, так как он самосопряжённый иtr Pψ = 1. Кроме того, в силу самосопряжённости мы можем рассматривать его как наблюдаемую, определяющую, находится ли наша система в состоянии Pψ , то есть чистом состоянии, соответствующем вектору ψ.Для сокращения записи введём обозначение hAiψ := hAiPψ .Утверждение 2.3.
hAiψ = hψ, Aψi. Выберем в H ортонормированный базис {ei }, у которого e1 = ψ. ТогдаhAiψ = tr(Pψ A) =X!hen , Pψ Aen i =Переход «!» сделан ввиду самосопряжённости Pψ . X(9)hPψ en , Aen i = he1 , Ae1 i = hψ, Aψi .2.2.2. Вероятностная интерпретация чистых состоянийПусть система находится в чистом состоянии, отвечающем единичному вектору ϕ. Вычислим среднее:!(Pψ )av = hPψ iϕ = hϕ, Pψ ϕi = ϕ, hψ, ϕi ψ = hϕ, ψi hψ, ϕi = | hψ, ϕi |2 .(10)В равенстве, отмеченном «!», мы применили доказанное только что утверждение.Теория вероятностей учит нас понимать полученное равенство так: если система находится в (чистом) состоянии ϕ, то вероятность обнаружить её в состоянии ψ равна | hψ, ϕi |2 .Определение.
Величину hψ, ϕi называют амплитудой вероятности.Приведём еще одну вероятностную интерпретацию. Пусть A ∈ a, и пусть этот оператор хороший, то естьсуществует ортонормированный базис из собственных векторов {ψn }, то есть Aψn = an ψn . Пусть ϕ — некотороечистое состояние. Разложим его по базису ψn :XXϕ=cn ψn ,|cn |2 = 1.(11)ТогдаhAiϕ = hϕ, Aϕi =Xncn ψn , AXkck ψk=Xhcn ψn , an cn ψn i =Xan |cn |2 =X2an |hϕ, ψn i| .(12)Это равенство можно понимать так: при экспериментальных измерениях собственное число an будет получаться2с вероятностью |hϕ, ψn i| . Заметим также, чтоhAiψn = hψn , Aψn i = hψn , an ψn i = an ,(13)то есть эта интерпретация согласуется с исходным соотношением (7).Добавим еще пару слов о связи физического эксперимента и нашей теории. Что, собственно говоря, являетсянаблюдаемой величиной в физике? Конечно, сам оператор мы из эксперимента не увидим.
Зато приборы отлично показывают нам его спектр. И наши собственные значения an как раз и составляют спектр оператора A,если он достаточно хороший. Отметим также, что этот случай (наличие точечного спектра) в каком-то смыследостаточно типичный: наобум взятый оператор почти всегда имеет различные собственные значения («плохих»операторов в некотором смысле «мало»).Пусть Pψ — чистое состояние. Зададимся вопросом: когда ∆2ψ A = 0? Мы знаем, что 22∆2ψ A = A2 ψ − hAiψ = ψ, A2 ψ − hψ, Aψi .Отсюда следует, что если ψ — собственный вектор оператора A, то ∆2ψ A = 0.7(14)2.2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
