Уравнение Дирака (1162162)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Óðàâíåíèå Äèðàêà.Ñïèíîðíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû Ëîðåíöà ðåàëèçóåòñÿ ïîëåì Äèðàêà ÷åòûðåõêîìïîíåíòíûì ñïèíîðîì, êîòîðîå ìîæíî èçîáðàçèòü â âèäå ñòîëáöàψ(x) = ψ1ψ2ψ3ψ4.Ñïèíîðíîå ïîëå ψ(x) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Äèðàêà(1)(iγµ ∂ µ − m)ψ(x) = 0 ,ãäå ìàòðèöû Äèðàêà γµ ÿâëÿþòñÿ ÷åòûðåõðÿäíûìè ìàòðèöàìè, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþγ µ γ ν + γ ν γ µ = 2η µν .(2)Óñëîâèå (2) íå çàäàåò ìàòðèöû Äèðàêà îäíîçíà÷íûì îáðàçîì. Îíè ìîãóò áûòüâûáðàíû ðàçíûìè ñïîñîáàìè òàê, ÷òî îíè îòëè÷àþòñÿ íà ïðåîáðàçîâàíèÿ âèäà(3)γµ → U −1 γµ U .U ïðîèçâîëüíûå ÷èñëîâûå ìàòðèöû 4×4, êîòîðûå îáû÷íî ïîëàãàþòñÿ óíèòàðíûìè,÷òîáû ñîõðàíèòü îäèíàêîâûå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ γ ìàòðèö ïðè èõ ýðìèòîâîìñîïðÿæåíèè (ñì. íèæå ôîðìóëà (6)).×àñòî óäîáíî èñïîëüçîâàòü òàê íàçûâàåìîå ñòàíäàðòíîå ïðåäñòàâëåíèå, â êîòîðîììàòðèöû Äèðàêà çàïèñûâàþòñÿ â áëî÷íîì âèäå1 00 −10γ =!0 σn−σn 0n, γ =!(4),ãäå äâóõðÿäíûå ìàòðèöû 1, 0, σn åñòü, ñîîòâåòñòâåííî,1=σ1 =0 11 01 00 1!, σ2 =!0 00 0, 0=0 −ii 0!!, σ3 =,1 00 −1!.(5)Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî çàäàííûå ôîðìóëàìè (4) ìàòðèöû ïðè ýðìèòîâîì ñîïðÿæåíèè âåäóò ñåáÿ êàê++γ 0 = γ0 , γ n = −γn .(6)Ñâîéñòâî (6), êàê óæå îòìå÷àëîñü, â ñèëó óíèòàðíîñòè ìàòðèö U ñïðàâåäëèâî è ïðèäðóãèõ âûáîðàõ ÿâíîãî âèäà ìàòðèö Äèðàêà.Âåðíåìñÿ ê óðàâíåíèþ (1) è ïîêàæåì, ÷òî åñëè ñïèíîðíîå ïîëå óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþ Äèðàêà, òî òîãäà êàæäàÿ èç åãî ÷åòûðåõ êîìïîíåíò óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ ÊëåéíàÃîðäîíàÔîêà.

Äëÿ ýòîãî ïîäåéñòâóåì íà óðàâíåíèå (1) ñëåâà äèôôåðåíöèàëüíûì îïåðàòîðîì (iγ ν ∂ν + m) . Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ (2) ïîëó÷èì(iγν ∂ ν + m)(iγµ ∂ µ − m)ψ(x) = −(∂µ ∂ µ + m2 )ψ(x) = 0 .1(7)Ò.ê. äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð ïðîïîðöèîíàëåí åäèíè÷íîé ìàòðèöå, òî óðàâíåíèåÊëåéíàÃîðäîíàÔîêà óäîâëåòâîðÿåòñÿ ïîêîìïîíåíòíî.Óðàâíåíèå(1) ðåëÿòèâèñòñêè êîâàðèàíòíî. ×òîáû ðåëÿòèâèñòñêè êîâàðèàíòíîìóóðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿë òàêæå è ñîïðÿæåííûé ñïèíîð, îïðåäåëèì åãî ñïåöèàëüíûìîáðàçîì. Íàçîâåì äèðàêîâñêè ñîïðÿæåííûì ñïèíîðîì âûðàæåíèå+(8)ψ(x) =ψ (x)γ 0 ,ñîäåðæàùåå, ïîìèìî ýðìèòîâà ñîïðÿæåíèÿ, óìíîæåíèå ñïðàâà íà ìàòðèöó γ 0 .Âûïîëíèâ ýðìèòîâî ñîïðÿæåíèå óðàâíåíèÿ (1) è óìíîæèâ åãî ñïðàâà íà γ 0 , ñó÷åòîì (6) è (8) ïîëó÷èìi∂µ ψ(x)γ µ + mψ(x) = 0 .(9)Óðàâíåíèå (9) òàêæå çàïèñûâàþò â âèäå(10)ψ(x)(i∂µ γ µ + m) = 0 ,ïîäðàçóìåâàÿ, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ äåéñòâóåò íà ôóíêöèþ, ñòîÿùóþ ñëåâà.

 äàëüíåéøåì ìû, êàê ïðàâèëî, íå áóäåì óêàçûâàòü èíäåêñû ñóììèðîâàíèÿ â ñêàëÿðíîì ïðîèçâåäåíèè γ∂.Ïîñêîëüêó êàæäàÿ èç êîìïîíåíò äèðàêîâñêîãî ñïèíîðà óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþÊëåéíàÃîðäîíàÔîêà, òî ôóðüåïðåäñòàâëåíèå ñïèíîðíîé ôóíêöèè ψ(x) çàïèñûâàåòñÿ â âèäåZ3ψ(x) = (2π)− 2 d4 keikx δ(k 2 − m2 )ψ̃(k) .(11)Âûïîëíÿÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî k0 , ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëîæèòåëüíî èîòðèöàòåëüíî ÷àñòîòíûõ ÷àñòåé ôóíêöèè ψ(x)− 32±ψ (x) = (2π)Zd3 ke±ikx χ± (~k) .(12)qÍà÷èíàÿ ñ ýòîé ôîðìóëû, êàê îáû÷íî, k0 = ~k 2 + m2 . Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî,÷òî â îòëè÷èå îò ñîîòâåòñòâóþùåé ôîðìóëû äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, â èíòåãðàëå (12)1íåò ìíîæèòåëÿ (2k0 )− 2 . Ýòî îçíà÷àåò ïðîñòî äðóãîé âûáîð íîðìèðîâêè ñïèíîðíûõôóíêöèé χ± (~k).Óðàâíåíèå (1) äëÿ ñïèíîðíûõ ôóíêöèé χ± (~k) ïðåâðàùàåòñÿ â(m ± γp)χ± (~k) = 0 .(13)Ðàññìîòðèì ýòî óðàâíåíèå â ñèñòåìå îòñ÷åòà, â êîòîðîé ~k = 0 . ýòîé ñèñòåìå k0 = m, è óðàâíåíèå (13) âûãëÿäèò êàê(14)(I ± γ0 )χ± (0) = 0 . ñòàíäàðòíîì ïðåäñòàâëåíèè γ ìàòðèö äëÿ êàæäîé èç ôóíêöèé χ± (0) ïîëó÷èì ïîäâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèÿ âèäàv1− (0) = C1 1000 , v2− (0) = C2 0100 ; v1+ (0) = C3 20010 , v2+ (0) = C4 0001.Ci (i = 1, 2, 3, 4) íåêîòîðûå îòëè÷íûå îò íóëÿ ÷èñëà, çàäàþùèå íîðìèðîâêó.×òîáû ïîëó÷èòü ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà â ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìå, âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ñïèíîðîâ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõËîðåíöà.

Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èìïóëüñ ~k íàïðàâëåí âäîëü îñè x3 , ò.å.kµ = (k0 , 0, 0, k3 ).  ýòîì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèå âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:1ϕv(k3 ) = exp − [γ3 , γ0 ]v(0) ,22(15)ãäå [γ3 , γ0 ] = γ3 γ0 − γ0 γ3 , à óãîë ãèïåðáîëè÷åñêîãî ïîâîðîòà ϕ îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâàìèv1√.(16)cosh ϕ = √,sinhϕ=−1 − ~v 21 − ~v 2Âñïîìèíàÿ âûðàæåíèå èìïóëüñà ÷åðåç ñêîðîñòü:~k = √ m~v ,1 − ~v 2ïîëó÷èìqk0k3cosh ϕ = , sinh ϕ = − , k0 = k32 + m2 .mm ñòàíäàðòíîì ïðåäñòàâëåíèè, êàê íåòðóäíî ïðîâåðèòü,1− [γ3 , γ0 ] =2Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâîì0 σ3σ3 0è ðàçëàãàÿ ýêñïîíåíòó â ðÿä ïîëó÷èì(0 σ3σ3 0exp!Òàêèì îáðàçîì,v(k3 ) =ϕ2)0 σ3σ3 0(17)!(18).!2(19)= I,ϕϕ= cosh I + sinh221 cosh ϕ2 σ3 sinh ϕ2σ3 sinh ϕ2 1 cosh ϕ20 σ3σ3 0!(20).!(21)v(0) .Ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíêöèè ïîëîâèííîãî óãëà ñ ó÷åòîì (17) ðàâíûϕcosh =2sk0 + mϕ, sinh =2m2sk0 − mk3=q.2m2m(k0 + m)(22) èòîãå ïîëó÷èì 4 ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêàsv1− (k3 )= C1k0 + m 2m 10k3k0 +m0sk0 + m− , v (k3 ) = C222m3010−k3k0 +m,sv1+ (k3 )= C3k0 + m 2m k3k0 +m , v + (k3 ) = C42010sk0 + m 2m +0−k3k0 +m01.(23)∗±Îáîçíà÷èì ðåøåíèå äëÿ ýðìèòîâî ñîïðÿæåííîãî ñïèíîðà ψ (x) ÷åðåç v s (k3 ), s = 1, 2,à äëÿ äèðàêîâñêîãî ñîïðÿæåííîãî ñïèíîðà ψ(x) ÷åðåç v ±s (k3 ).

Î÷åâèäíî, ÷òî∗±(24)v s = (vs∓ )+ .Âûáåðåì âñå íîðìèðîâî÷íûå êîýôôèöèåíòû â ôîðìå Ci =∗±v s (k3 )vr∓ (k3 ) = δsr .mk3(i = 1, 2, 3, 4). Òîãäà(25)Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü ñïèíîðû ñ ïðîèçâîëüíûì íàïðàâëåíèåì ~k. Äëÿ íèõòîæå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå íîðìèðîâêè∗±v s (~k)vr∓ (~k) = δsr ,(26)à òàêæå óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè ñïèíîðîâ ñ àðãóìåíòàìè, îòëè÷àþùèìèñÿ çíàêàìè,∗±~ = 0.v s (~k)vr∓ (−k)(27)Íåòðóäíî òàêæå âûâåñòè óñëîâèå îðòîíîðìèðîâàííîñòè äëÿ äèðàêîâñêè ñîïðÿæåííûõ ñïèíîðîâm∗±~ ∓~v±δsr , (v ± =v γ0 ) .(28)s (k)vr (k) = ±k0Èòàê, ïðîèçâîëüíûé ñïèíîð, óäîâëåòâîðÿþùèé óðàâíåíèþ Äèðàêà, ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè íåçàâèñèìûõ ðåøåíèéχ± (~k) =X~ ±~a±s (k) vs (k) ,(29)∗±~as (~k) v ±s (k) ,(30)s=1,2χ± (~k) =Xs=1,2∗±~~ãäå a±s (k), as (k) ÷åòûðå ïðîèçâîëüíûå ÷èñëîâûå ôóíêöèè.Óðàâíåíèÿ (1) è (10) ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èçëàãðàíæèàíàiihL=ψ(x)γ∂ψ(x) − ∂ψ(x)γψ(x) − mψ(x)ψ(x) .(31)2Îáðàòèì âíèìàíèå íà ñòðóêòóðó ëàãðàíæèàíà (31).

Åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåñóììû äâóõ ñëàãàåìûõ, ïðîïîðöèîíàëüíûõ ëåâûì ÷àñòÿì óðàâíåíèé (1) è (10). Ïîýòîìó, åñëè ïîäñòàâèòü â L â êà÷åñòâå ïîëåé ψ(x) è ψ(x) ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Äèðàêà,òî ëàãðàíæèàí (31) îáðàòèòñÿ â íóëü.4Ó÷èòûâàÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñïèíîðíîãî ïîëÿ, ïîëó÷èì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿäëÿ òåíçîðà ýíåðãèèèìïóëüñà è âåêòîðà òîêà:T µν =iihψ(x)γ µ ∂ ν ψ(x) − ∂ ν ψ(x)γ µ ψ(x) ,2(32)J µ = ψ(x)γ µ ψ(x) .(33)T µν 6= T νµ .(34)Çàìåòèì, ÷òîÏîâòîðÿÿ âû÷èñëåíèÿ àíàëîãè÷íûå òåì, êîòîðûå ïðèâåëè ê ñîîòâåòñòâóþùèìôîðìóëàì äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, è èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (28), ïîëó÷èì âûðàæåíèÿäëÿ âåêòîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà è çàðÿäà â âèäå èíòåãðàëîâ ïî ~k ïðîñòðàíñòâóPµ =Zd3 k kµ∗−~~ +~as (~k)a−s (k)− as (k)as (k) ,X ∗+(35)∗−~ +~~as (~k)a−s (k)+ as (k)as (k) .(36)s=1,2Q=Z3~dkX ∗+s=1,25.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций