Ф.Ю. Попеленский - Математические основы современной физики (1162163), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Решение уравнения ДиракаЭтот текст существует в виде файла формата PDF с множеством опечаток. Набирать его заново пока временинет.5.6. Решения некоторых задачНиже следует более общее доказательство написанной в соответствующей главе теоремы. (С) А. ЮхименкоЗадача 5.30 (Задача 23). Для вектора энергии-импульса вещественного скалярного поля получить выражение через a± (k).Решение. Для начала получим выражение для энергии, т. е. P 0 . Как известно,!ZZ3X132 20300P = d xT =d x∂µ ϕ∂µ ϕ + m ϕ=2µ=0!Z3X13+−+−2+− 2=d x∂µ (ϕ + ϕ )∂µ (ϕ + ϕ ) + m (ϕ + ϕ )=2µ=0!Z3X13++2+ 2=d x∂µ ϕ ∂µ ϕ + m (ϕ ) + I +− + I −+ + I −− .

(79)2µ=0Посчитаем лишь I ++ и I +− , тогда станет ясно чему равны остальные. Итак,!Z0003X11ei(k +l )x ei(k+l)x +++333n n2√√I=d xd kd lik il + ma (k)a+ (l) =0 2l 02 (2π)32kn=0ZZ00 ei(k +l )x0 +1√= (2π)−3 d3 x eikx = δ(k) =d3 k d3 l m2 − k 0 l0 − kl √a (k)a+ (l)δ(k + l) =22k 0 2l0= (k 0 )2 = m2 + k2 = 0. (80)40I +−!Z0003X1 1ei(k −l )x ei(k−l)x +3332√ √d xd kd likn (−iln ) + m=a (k)a− (l) =0 2l 02 (2π)32kn=0ZZZ000 ei(k −l )x +1= (2π)−3 d3 x eikx = δ(k) =d3 k d3 l m2 + k 0 l0 + kl √ √a (k)a+ (l)δ(k − l) =22k 0 2l0ZZ111+−320 22√=d k (m + (k ) + k ) √a (k)a (k) =d3 k k 0 a+ (k)a− (k).222k 0 2k 0Итак,Z1P =20а общий ответ такой:d3 k k 0 a+ (k)a− (k) + a− (k)a+ (k) ,P µ = I −+ + I +− =12Zd3 k k µ a+ (k)a− (k) + a− (k)a+ (k) .Задача 5.31 (Задача 43). Вывести из уравнения Дирака уравнения на χ± (k) и (χ∗ )± (k).Решение.

ψ(t) должно удовлетворять уравнению (iγ µ ∂µ − m)ψ(x) = 0, распишем чему равно ψ(x):ZZ+−3ikx +ψ(x) = ψ (x) + ψ (x) = d k e χ (k) + d3 k e−ikx χ− (k),поэтому0=ПоэтомуZ3d keikxµ+(iiγ kµ − m)χ (k) +Zd3 k e−ikx (−iiγ µ kµ − m)χ− (k).(γ µ kµ ± m)χ± (k) = 0.Уравнение на (χ∗ )± (k) получается из этого простым сопряжением:(χ∗ )± (k)(γ µ )∗ kµ ± m = 0.Задача 5.32 (Задача 45). Получить условие нормировки решений, сопряженных по Дираку:∓v±s (k)vr (k) = ±m sδ .k0 rРешение. Доказательство нагло скатаем с книжки Боголюбова – Ширкова. Умножим равенство(γ µ kµ + m)vr+ (k) = 0∗∗±± 0слева на v −s (k), получим (учитывая, что v r γ = v r )∗∗+− µ +− +k0 v −s vr − kµ v s γ vr + mv s vr = 0.∗∓ ∗µ∗Применим к полученному эрмитово сопряжение (и воспользуемся тем, что v ±= −γ µ ):r = (vr ) и γ∗∗+− µ +− +k0 v −r vs + kµ v r γ vs + mv r vs = 0.Сравнивая эти два выражения, получаем требуемое. 41(81)(82)(83).

Характеристики

Список файлов лекций