Ф.Ю. Попеленский - Математические основы современной физики (1162163), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Соотношения неопределённости ГейзенбергаОтвлечёмся на секунду от квантовой механики и рассмотрим классическую систему. Например, мы наблюдаем за движением материальной точки. Мы вполне можем измерить её скорость, никак на неё не повлияв (онабудет двигаться так же, как и до нашего наблюдения) — можно просто засечь время, за которое она проходитнекоторое фиксированное расстояние. А вот в квантовой механике всё иначе: наблюдатель, чтобы обнаружитьчастицу и что-то о ней сказать, не может сделать этого, не повлияв на частицу. Посветить на неё нельзя (тоесть можно, конечно, но от ударов фотонов по ней она изменит курс), а других способов, кроме как подействовать на частицу излучением, чтобы её засечь, пока не придумали.
Погрешность измерения пропорциональнадлине волны того излучения, которое мы направляем на частицу. Например, для красного света частица приоблучении получает маленький импульс, зато сильно смещается в пространстве. А если на неё ультрафиолетомпосветить, или, хуже того, рядом атомную бомбу рвануть, то сместится-то она не сильно, зато импульс получитгигантский. Так что в квантовой механике любая система фактически имеет вид «частица(ы)—прибор».Математический смысл вышесказанного можно сформулировать так:Теорема 2.4 (Соотношения неопределённости Гейзенберга).
Пусть A, B ∈ a, а ψ ∈ H — единичныйвектор. Тогда21∆2ψ A · ∆2ψ B >hi[A, B]iψ .(15)42C ψимеемЦентрируем наши операторы: рассмотрим операторы C := A−hAiψ и D := B−hBiψ . Тогда имеем ∆2ψ A = и ∆2ψ B = D2 ψ . Применим стандартный приём доказательства неравенств типа Коши – Буняковского:Раскрываем скобки:h(C + itD)ψ, (C + itD)ψi > 0.(16)hCψ, Cψi + hCψ, itDψi + hitDψ, Cψi + hitDψ, itDψi > 0.(17)Теперь немного преобразуем выражение, пользуясь самосопряжённостью операторов:ψ, C 2 ψ + t hψ, iCDψi + t hψ, −iDCi + t2 ψ, D2 ψ > 0,ψ, C 2 ψ + t hψ, i(CD − DC)ψi + t2 ψ, D2 ψ > 0.(18)(19)Заметим теперь, что [A, B] = [C, D], так как скалярные операторы h·iω коммутируют со всеми.
Поэтому можнопереписать последнее равенство в виде∆2ψ A + t hi[A, B]iψ + t2 ∆2ψ В > 0.(20)Дискриминант данного квадратного уравнения должен быть отрицательным, чтобы выражение всегда былонеотрицательным. Но это условие и есть в точности требуемое неравенство. 3. Уравнения квантовой механики3.1. Две картины квантовой механики3.1.1. Классическая системаКак обычно, сначала рассмотрим какой-нибудь пример из классической механики.
Например, возьмём простейшую классическую систему — математический маятник, имеющую гамильтонианp2mω 2 q 2−,2m2Напомним, что q — это координата, а p — это импульс. Уравнения движения системы имеют вид∂Hp= , q̇ =∂pm∂H ṗ = −.∂qH(p, q) =(1)(2)Первое уравнение выражает связь координаты и скорости, а второе — не что иное как второй закон Ньютона(производная импульса пропорциональна ускорению). Если координат и импульсов много, то система имеетобщий вид∂H q̇k =,∂pk(3)∂H ṗk = −.∂qk8Но мы далее для простоты будем рассматривать одномерные системы.Введём важное понятие, которое далее будет преследовать нас повсюду.Определение.
Скобкой Пуассона функций f и g называется «коммутатор»{f, g} :=∂f ∂g ∂g ∂f−.∂q ∂p ∂q ∂pЕсли система многомерная, то берётся сумма по всем частным производным:X ∂f ∂g∂g ∂f− k k .{f, g} :=∂q k ∂pk∂q ∂p(4)(5)Свойства скобки — такие же, как и у квантовой: антикоммутативность, линейность, тождество Якоби. Отметим также, что оператор Df := {f, ·} является оператором дифференцирования (то есть на произведениефункций действует по правилу Лейбница — это следует из того, что обычное дифференцирование обладаетэтим свойством).С помощью скобки можно переписать уравнения Гамильтона так:(q̇ = {q, H} ,(6)ṗ = {p, H} .Очевидно также, что {qk , ql } = {pk , pl } = 0, а {qk , pl } = δkl .Итак, в классической механике наблюдаемыми являются координата q и импульс p.
Вообще, если f — некоторая наблюдаемая, то эволюция системы задаётся уравнениемf˙ = {f, H} ,(7)где H — гамильтониан. В классическом случае f~ = (p, q).3.1.2. Уравнения для квантовых системТеперь перейдём к квантовой системе. Она задаётся некоторым оператором H ∈ a — оператором Гамильтона.Пусть A — наблюдаемая, ψ — состояние системы. Наша система как-то эволюционирует, поэтому A = A(t),ψ = ψ(t). Но когда всё зависит от времени, то получается всё слишком сложно. Поэтому в квантовой механикерассматриваются две в некотором смысле противоположных ситуации, или, как ещё говоря, две картины —Гейзенберга и Шрёдингера.1◦ Картина ГейзенбергаГейзенберг сказал: а пусть ∂ψ∂t = 0, то есть ψ не зависит от времени.
Тогда уравнение (7) будет названоуравнением Гейзенберга и перепишется в видеdiA = {A, H}~ = − [A, H].dt~(8)Как его решать? Для хороших операторов H можно найти оператор эволюции, то есть решение дифференциального уравнения d U (t, t ) = − i H(t)U (t, t ),00dt~(9)U (t, t) = id .Если бы оператор H не зависел от t и был бы ограниченным, то мы могли бы сразу написать решение:iU (t, t0 ) = exp − (t − t0 )H .~(10)Поэтому далее мы будем рассматривать только хорошие операторы H, для которых существует оператор эволюции U .Задача 3.1.
Проверить, что U — унитарный оператор.dРешение. Мы хотим доказать, что U ∗ U = U U ∗ = id. При t = t0 это верно. Покажем, что dt(U U ∗ ) = 0, тогдаdiэто будет верно и при всех t. Эта производная равна dt (U U ∗) = − ~ [H, U U ∗]. При t = t0 коммутатор справаравен нулю по свойству оператора U . Но t0 произвольно, значит, производная всегда равна нулю. Задача 3.2. Если существует оператор эволюции U , то решение уравнения Гейзенберга имеет видA(t) = U ∗ (t, t0 )A(t0 )U (t, t0 ).9(11)Решение.
Продифференцируем выражение для A(t) (при фиксированном t0 ):d d ∗ddA(t) =U ∗ (t, t0 )A(t0 )U (t, t0 ) =U (t, t0 ) A(t0 )U (t, t0 ) + U ∗ (t, t0 )A(t0 )U (t, t0 ) =dtdtdtdti ∗i ∗i ∗= U (t, t0 )HA(t0 )U (t, t0 ) − U (t, t0 )A(t0 )HU (t, t0 ) = − U (t, t0 ) A(t0 ), H U (t, t0 ).~~~(12)В частности, это верно при t0 = t. В силу свойств оператора U в правой части U и U ∗ пропадают, остаётся вотчто:diA(t) = − [A(t), H],(13)dt~что и требовалось доказать. 2◦ Картина ШрёдингераВ картине Шрёдингера, наоборот, ∂A∂t = 0, а ψ = ψ(t). Состояния будем описывать оператором ρω (t) (мы егопока не знаем, и хотим получить на него какое-нибудь соотношение):(14)hAiω = tr(ρω A).У нас была задача со звёздочкой, которая утверждала, что такой оператор существует.Получим уравнение для ρω .
Пусть A0 и ρω,0 — это наши наблюдаемые и состояния при t = t0 .Индексами H и S будем обозначать операторы для картины Гейзенберга и Шрёдингера соответственно(по первым буквам фамилий). В картине Гейзенберга AH (t) = U ∗ (t, t0 )A0 U (t, t0 ) и ρHω (t) = ρω,0 , а в картинеШрёдингера AS (t) = A0 и ρSω (t) = нечто. Получим уравнение на ρSω (t), исходя из того, что мы знаем о картинеГейзенберга. Самой квантовой системе без разницы, в какой картине мы её рассматриваем — она про эти картиныничего не знает, поэтому ответ должен получиться в обеих картинах одинаковый. Найдем среднее значение Aв обеих картинах. Имеем tr ρω,0 U ∗ (t, t0 )A0 U (t, t0 ) = AH (t) ρH (t) = AS (t) ρS (t) = tr(ρSω(t) A0 ).(15)ωωКак известно, tr(AB) = tr(BA), поэтому переставим оператор U (t, t0 ) в начало:tr ρω,0 U ∗ (t, t0 )A0 U (t, t0 ) = tr U (t, t0 )ρω,0 U ∗ (t, t0 )A0 .(16)Для полного обоснования того текста, который здесь написан, потребовалось бы сказать ещё достаточно много умных слов.
Вокончательной версии этих лекций этот текст будет.Итак, в картине Шрёдингера имеемρSω (t) = U (t, t0 )ρSω (t0 )U ∗ (t, t0 ).Задача 3.3. Доказать, чтоd Sρω (t) = − ρSω (t), H ~ .dtРешение. При фиксированном t0 продифференцируем уравнение для ρSω (t):ddd Sρω (t) =U (t, t0 ) ρSω (t0 )U ∗ (t, t0 ) + U (t, t0 )ρSω (t0 )U ∗ (t, t0 ) .dtdtdt(17)(18)(19)Подставляя значения производных операторов U и U ∗ из уравнения (9) и не забывая, что при сопряжениисомножители H(t) и U ∗ (t, t0 ) во втором слагаемом переставляются, получаемd Siiiρω (t) = − H(t) U (t, t0 )ρSω (t0 )U ∗ (t, t0 ) + U (t, t0 )ρSω (t0 )U ∗ (t, t0 ) H(t) = [ρSω (t), H(t)] = − ρSω (t), H(t) , (20)|{z} ~|{z}dt~~ρSω (t)ρSω (t)что и требовалось доказать. Выясним, как будет выглядеть это уравнение для чистого состояния.Задача 3.4.
Если ρSω (t) был проектором при t = t0 , то он будет проектором и при любом t.Решение. Почти очевидно. Для краткости ρ(t) := ρSω (t), U := U (t, t0 ). Нам дано, что ρ2 (t0 ) = ρ(t0 ), и нужнодоказать, что ρ2 (t) = ρ(t) (это определение проектора). По нашей формуле имеем ρ(t) = U ρ(t0 )U ∗ . Тогда2∗∗2ρ2 (t) = U ρ(t0 )U ∗ = U ρ(t0 ) U(t0 ) U ∗ = U ρ(t0 )U ∗ = ρ(t),(21)| {zU} ρ(t0 )U = U |ρ {z}idρ(t0 )10а этого мы и добивались. Задача 3.5 (Гипотеза Попеленского).
Если ρSω (t0 ) — проектор на одномерное направление (то естьчистое состояние), то ρSω (t) — проектор на некоторый вектор ψ(t).Решение. Пусть ρ(t0 ) = Pψ (индекс ω и аргументы у U (t, t0 ) для краткости писать не будем). Тогда ондействует на вектор ϕ так:ρ(t0 )ϕ = hψ, ϕi ψ.(22)Тогдаρ(t)ϕ = (U ρ(t0 )U ∗ )ϕ = U ρ(t0 )(U ∗ ϕ) = U hψ, U ∗ ϕi ψ = hU ψ, ϕi (U ψ) = PUψ ,(23)то есть этот оператор является проектором на вектор ψ(t) := U (t, t0 )ψ, то есть тоже будет некоторым чистымсостоянием. 3.2. Уравнение Шрёдингера3.2.1. Уравнение Шрёдингера для чистых состоянийПустьρSω (t)=: Pψ(t) — проектор на вектор ψ(t) ∈ H. Тогда по задаче 3.3 уравнение на ψ(t) имеет видdiPψ(t) = [Pψ(t) , H].dt~(24)По определению проектора, Pψ(t) ϕ = hψ(t), ϕi ψ(t) для любого вектора ϕ. Поэтому уравнение приобретает такойвид:dihψ(t), ϕi ψ(t) =Pψ (t)Hϕ − HPψ(t) ϕ для всех ϕ ∈ H.(25)dt~Дифференцируем правую часть по правилу товарища Лейбница и применяем формулу для проектора:DdEdiψ(t), ϕ ψ(t) + hψ(t), ϕi ψ(t) =hψ(t), Hϕi ψ(t) − hψ(t), ϕi Hψ(t) .dtdt~(26)diψ(t) + Hψ(t) = 0,dt~(27)Утверждение 3.1.
Для чистых состояний ψ(t) выполняется уравнениеТут было сказано, что «из физических соображений вектор ψ не является собственным для оператора H, а потому вектора ψdψ(t) тоже линейно независимы.» Вроде бы для доказательства это дажеи Hψ линейно независимы. Так как |ψ(t)| = 1, то ψ(t) и dtне особо нужно...Перепишем наше уравнение, используя самосопряжённость H, в виде didiψ(t), ϕ +Hψ(t), ϕψ(t) + hψ(t), ϕiψ(t) + Hψ(t) = 0,dt~dt~(28)или, что то же самое,didiψ(t) + Hψ(t), ϕ ψ(t) + hψ(t), ϕiψ(t) + Hψ(t) = 0.dt~dt~(29)Вектор ϕ в наших рассуждениях произвольный, значит, коэффициент при втором слагаемом не тождественноdравен нулю.
Обозначим ξ(t) := dtψ(t) + ~i Hψ(t). В этих обозначениях уравнение запишется в видеhξ(t), ϕi ψ(t) + hψ(t), ϕi ξ(t) = 0.(30)Если ξ(t) ≡ 0, то мы всё доказали, так как это в точности требуемое уравнение. Если же нет, то вектор ξпропорционален вектору ψ с каким-то коэффициентом k. Значит, 2k hψ(t), ϕi ψ(t) = 0, откуда k = 0, а значит,ξ ≡ 0. Уравнениеdiψ(t) + Hψ(t) = 0.(31)dt~называется уравнением Шрёдингера и описывает динамику вектора ψ(t).113.2.2.
Координатное и импульсное представленияА теперь придётся немного вспомнить функциональный анализ. . .Пусть H = LC2 (R), то есть рассматриваемR комплексно-значные функции на прямой. Скалярное произведениезадаётся обычным образом: hψ(x), ϕ(x)i := ψ(x)ϕ(x) dx.1◦ Координатное представление.Будем рассматривать два оператора Q и P , действующих по формуламQψ(x) := xψ(x),P ψ(x) :=~ dψ(x).i dx(32)Задача 3.6. Доказать, что {Q, P }~ = id.На всякий случай подчеркнём, что скобка Пуассона для этих операторов есть именно скалярный оператор (а после умноженияна подходящий коэффициент — тождественный), а не нуль. Благодаря этому обстоятельству, в каком-то смысле, и существуетквантовая механика. Главное её отличие от классической механики именно в «некоммутативности».Решение. Распишите скобку по определению — и всё получится.
2◦ Импульсное представление.В координатном представлении мы дифференцировали по x и умножали на x. В импульсном представлении,как несложно догадаться, будут очень похожие формулы, только с импульсом:Qψ(p) := −~ dψ(p),i dpP ψ(p) := pψ(p).(33)Теперь найдём связь между этими двумя представлениями. Оператор дифференцирования и умножения нанезависимую переменную (а тем более их коммутатор) уже напоминают нам про оператор Фурье. В качествезадачи читателю предлагается доказать, что изоморфизм между координатным и импульсным представлениемосуществляется с помощью преобразования Фурье (правда, не совсем обычного):Zi1ψ(p) = √ϕ(x)e− ~ xp dx.(34)2π~Сформулируем без доказательства следующий важный факт.Теорема 3.2 (Стоун – фон Нейман). Пусть есть два пространства H1 и H2 , в которых заданы наборы(1)(1)(2)(2)операторов Qi , Pi , и Qi , Pi соответственно, i = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
