Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1161662), страница 53
Текст из файла (страница 53)
11ря этих трех предположениях из уравнения несжимаемости будем иметь: — =О, (1.1) а дифференциальные уравнения движения (!0.1) главы Н предста- вятся в виде (1.2) На основании двух последних уравнений заключаем, что давление не зависит от переменных у и . Если при этом учесть (!.1), то в первом уравнении (!.2) слагаемые, содержавгие и, будут зависеть от переменных у, я н Г, тогда как слагаемое с давлением будет зависеть от переменных х и Г, а это возможно только в том зой наустлнОВЯВшявся дяижВния ВязкОЙ жидкости (гл, ьх случае, если перепад давления по течекию будет функцией только от одного переменного — времени, т.
е. — -" — =у(г). ! др р дх Таким образом, задача изучения неустановившегося прямолинейно- параллельного течении вязкой несжимаемой жидкости сводится к решению дифференциального уравнения параболического типа д (д + )+М' (!.4) (1.5) при с==О и =ф(у, з). Область течения в плоскости уОз может быть олносвязной, дву- связной и многосвязной. Если, например, рассматривается прямоли- нейно-параллельное течение между двумя цилиндрическими поверх- ностями, ограниченными в сечениях какими-либо замкнутыми кри- выми (рис.
76), то область течения будет двусвязной. На обоих контурах 5г и 5п должны быть заданы граничные условия. Если полагать, что внутренний цилйндр перемещается параллельно своей образующей со скоростю у, (Г), а внешний цилиндр неполвижен, то граничные условия, выражающие г гипотезу о прилипании частиц жидкости к стенкам, будут представляться в виде: на 57 и =)г(г),~ на 5п и=0. Рис. 76. Слеловательно, изучение неустановившегося прямолинейно-параллельного тече- ния вязкой несжимаемой жидкости сводится математически к решекию уравнения (1.4) типа уравнения теплопроводности при начальном условии (1,5) и граничных условиях (1.6), Общую задачу решения уравнения (1.4) при условиях (1.5) и (1.6) мы можем разделить на две отдельные задачи, из которых первая задача будет учитывать действие перепала давления, а вторая— движение стенок и начальное распределение скоростей.
Полагая и=и+и, функция у(Г), характеризующая перепад давления на единицу длины, должна, вообще говоря, считаться известной. Лля определанностн решения дифференциального уравнения (1.4) должны быть заданы начальные и граничные условия, Начальное условие должно сводиться к заланию распределения скорости во всей рассматриваемой области в плоскости уОг для какого-либо момента времени, принимаемого обычно за начальный, т. е. 9 1) пгямолинзйно-плвлллвльнов нвтстлновивш. твчзнив жидкости ЗОЗ будем иметь для первой задачи: при 1=0 из=О, наБг и =О, на бд и,=О, (1.7) и для второй: при г = 0 из= р(у, а), иа Б~ ля=/,(Г), на 5и из — — О.
(1. 8) то для первой задачи будем иметь: при г.=- 0 па — — ср(у, а), на 5г оз= О, на оп ов — — 0 (1.9) и для второй: при 1=0 шв —— О, на 5г шз=у,(Г), на Бп ш. =О. (1.10) Таким образом, решение первоначальной общей задачи можно составить из решений трех отдельных задач (1.7), (1.9) и (1.!0). Если перепад давления будет равен нулю, то решение первой задачи (1.7) будет тождественно равно нулю.
Если же для начального момента времени жидкость будет находиться в покое, то решение задачи (1.9) будет также нуавм. При выполнении зтих двух условий задача изучения прямолинейного движения жидкости будет сводиться только к задаче (1.10). Решение задачи (1.10) при произвольном задании функции уг(г) может быть построено на основании решения той же Вторую задачу в свою очередь можно разделить также на две отдельные задачи. Первая из них будет представлять собой задачу о выравнивании начального распределения скорости, а вторая будет характеризовать распространение скорости движения от стенки к промежуточным слоям жидкости. Если мы положим: ге= па+ шз 304 нгжстлновившвяся движение вязкой жидкости (гл. !х задачи, отвечающей значению шя, равному единице на границе 5н с помощью интеграла Люгамеля.
В самом деле, обозначии через шг единичное решение задачи (1.10), т. е. решение уравнения (1.11) при условиях при г=О ш,=О, иа 5! шх.= 1, на 5ц ш, =-О. Тогда решение задачи (1.10) будет представляться формулой Люга- меля ,',.гю Данную кривую заменим ломаной линней, .начальная ордината которой будет у',(0).
К концу интервала времени бг приращение ординаты будет равно у,'(о)м. в(у, ° Г) =Л(0) ~,(у, я, Г)+ Ху ( ),(У,,à — х)ах. (1,12) ч Покажем вначале формально, что правая часть (1.12) действительно представляет собой решение задачи (1.10). Так как правая часть (!.12) представляет собой предел суммы частных решений вида еи (00 я, ! — х)7', (х) г(т дифференциального линейного уравнения (1.10), то этот предел будет также решением того же уравнения. Полагая в правой части (!.12) Г.=- О и учитывая значение тв,, получим, по и ша = О. диалогично обстоит дело и с удовлетворением граничного условия иа контуре 5ц. На.
ух 0 г)ы-ляг/д! контуре же 5з будем иметь: ш,(у,г,г)==1, ю.,(тчя,()= фмг =у,(О)+~у, (т).х =Л(Г) 0 Таким образом, функция езж представляемая ввиде(1.12), действительно будет решеддг нием задачи (1,10) Ладим теперь непосредственный вывод формулы Люгамеля (!.12), Представим заданную функцию 7,(Г) графически в виде некоторой кривой (рнс. 77).
Фиксированный конечный интервал времени от нуля до Г разобьем на малые интервалы продолжительностью бг. т. е, положим Ь 1) пгямолинвйно-пшлллельноз нелстлновпв. тячгниз жидкости 305 Следующее приращение ордннаты равно 1,'(ЬГ) Ы, а приращение гюмера и будет: у, '((й — 1) дг) дг. функция юя(у, я, г) представляет собой решение задачи (1.11), Если бы на границе 5г поддерживалась всв время скорость у„(0), то к моменту конца интервала времени т в произвольной точке области между 5г и 5ц создавалась бы скорость, равная Уа(0)ю,(у, я, à — О).
(1.13) Следовательно, на функцию ю„(у, я, à — О) можно смотреть как на своего рода коэффициент передачи в течение интервала времени à — 0 скорости, возбуждаемой на границе 5н в точку с координатамн у и з. Но так как скорость на границе 5г меняется, то скорость в точке (у, л) может определяться по формуле (1.13) не лля всего конечного интервала времени, а только для интервала времени 0 (г (Ы. 14 концу интервала вреиени лт скорость на границе получит приращение у'(О) ДГ1 это приращение будет передаваться во все точки области между 5г и 5п, но передача будет происходить, не в течение всего интервала времени от нуля до С а в течение интервала времени 1 в ДГ.
Следовательно, если бы дальнейшего приращения скорости на границе 5г не происходило, то к концу интервала времени Г в точке (у, я) мы получили бы приращение скорости равное Гг(0)11ю (У, и, à — 31). (1.14) Но на самом деле скорость на границе к концу интервала времени 2 дс получит новое приращение у;(дс) ЬГ, следовательно, приращение скорости в точке (у, л) можно подсчитывать по формуле (1.14) лишь для интервала времени 31( Гс' 2зт Для следующего интервала времени приращение скорости в точке (у, я) надо уже подсчитывать по формуле у,(ЗГ)31ю,(у, л, 1--231), (231( 1тб 3 ЛГ) Продолжая, далее, эти рассуждения для интервала номера л, будем иметь приращение скорости з точке (у, л) в виде У, 1(л — 1)ДГ) 3)ю,(у, з, à — лзГ), (1.16) 208 нвтстлновившвася движвнив вязйой жидкости (гл.
|х и(у, г, Г) = У,(0)ш,(у, г, à — О)+ + ~ 7"1((й — 1) йт! ш (у, г, à — (гас). л=1 (!.17) Полагая )гйт=т, бт=с!т, пбГ=Г, увеличивая л до бесконечности и уменьшая йт до нуля, в результате предельного перехода получим из (1.17) формулу Дюгамеля (1.12), Заметим, что формула Дюгамеля (1.12) может быть использована не только для решения дифференциального уравнения типа теплопроводности, но и лля некоторых других видов линейных дифференциальных уравнений, содержащих частные производные по времени, Смысл формулы Дюгамеля заключается в том, что скорость в какой- либо момент времени в некоторой точке внутри области, занятой вязкой жидкостью, будет определяться не значением скорости на границе в данный момент времени, а изменением значений скорости на границе за всв предшестнующее время, начиная с начального момента времени. Таким образом, формула Дюгамеля представляет собой математическое выражение своего рода «принципа наследственности» в механике неустановившегося лвижения вязкой жидкости.
й 2. Движение неограниченной плоскости в вязкой жидкости В качестве первого примера иеустановиашегося пряыолннейиопараллельного движения вязкой несжимаемой жидкости рассмотрим то движение жидкости, которое обусловлено перемещением неограниченной плоской стенка. Пусть стенка представляет собой горизонтальную плоскость хОг, а жидкость располагается по олпу сторону Г7 от этой плоскости (рис. 78). Ло момента Г = 0 жидкость н стенка находились з покое. С момента Ряс. 78. Г = 0 стенка приходит в движение с постоянной скоростью У вдоль положительного направления оси х. Благодаря неограниченности стенки з направлении осн г иожно полагать, что скорость частиц жидкости не будет зависеть от переменного г: йи лг — — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
