Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1161662), страница 56
Текст из файла (страница 56)
и у — ч -,— „"," 4» г гп(г — г) Выражении (3.7), (3.9), (3.10), (3.11) и (3.12) — частные решения дифференциально~о уравнения вихря одномерного поля скоростей, которое мы получим иа (2.1) с помощью дифференцирования по у: д„, дгг дт дуг ' (3.
13) Уравнение (3.!3) совпадает с уравнением одномерной задачи теории теплопроводности, а введеннгге выше функции источника (3.7) и диполей (3,11) и (3.!2) совпадают с соответственными функциями теплового источника и тепловых диполей. (3.1 2) $4. Движение между неограниченными параллельными стенками Допустим, что неограниченная стеяка, совпадающая с плоскостью хОя, является неподвижной, а параллельная стенка, расположенная на расстоянии Л от первой, начала переиещаться с момента г = 0 с постоянной скоростью (7 в положительную сторону оси х 320 нвястлновившввся движение вязкой жидкости (гл, ~к (рис. 84). Предполагая движение частиц вязкой несжимаемой жидкости строго прямолинейным и используя условия прилипания для рассматриваемой задачи, будем иметь: (4.1) Рнс.
84. Выполняя преобразование Лапласа над дифференциальным уравнением и граничными условиями, получим; (4. 2) где (4.3) Решение задачи (4.2) для изображения будет представляться в виде (4.4) Используя формулу (2.14) для обращения преобразования Лапласа, получилг для скорости движения частиц след)чощее интегральное выражение: "р р гз а(у, Г) = —, ~ егк 2щ — гьл (4.5) Для вычисления интеграла (4.5) по комплексному переменному надо установить вычеты подиптегрального выражения. Приравнивая знаменатель нулю и учитывая, что корни гиперболического синуса являются чисто мнимыми и численно равными целому числу я, ггайдзм: (4.6) да дга дг дуг ' при у)0 и 1=0 при Г)О и у=О при т) 0 и у=8 лги" р — — — и*= О, ауг при у=О и*=0, при у=8 и'= К .,)/ ру а" (у, р) = У- зла .р р' р„ Й )/ — =- Ик, рг —..= — —,', )г = 1, 2, г -- угг и =- О, и=О, а=К 8 41 движение между няогеьничянными плтллляльными стенками 321 Все полюсы будут простыми, поэтому мы можем воспользоваться разложением мероморфной функции на простые дроби в виде Ь=а Ра(р) ад + у сь (4.7) ра(Р) Р лм Р Рь 1=1 йля определения вычета сю мы должны умножить обе части равенства (4.7) на Р н затем устремить Р к нулю, т.
е. с,= 1!а —, рра(р) (4.8) ю — а Р(и) Таким образом, для коэффициента сь получим: Р ) Р, (рь) (4.9) В рассматриваемом нами случае (4.5) будем иметь: ан у т „/Р Ра(Р) / р Р' / р = — 1пп у р-аю р юну 1/ ею= Ию ея' Р-аа, / р (4.10) ь;. — дву 2е " ! а!и — '. л с„ р,сил ~у Грь л 2У ра !аз юоаля М =-- ( — 1)ее "' з!п — 'У. (4.11) л Суммируя вычеты (4.10) и (4.11) и подставляя в (4.й), получим следуююцее выражение для скорости частиц жидкости: ь-. ь.
а1п— Лчу и(у, т) = (7 — + — ~~~~~( — 1)" е Выражение (4.12) указывает на то, что при стремлении т к беско- для определения же вычета сь надо умножить (4.7) на разность Р— Р„и УстРемить Р к значению Рл, УчитываЯ, что 1!ю — з — = 11гп " а «)=Р.(Р) „ьр — рь ' „р — рл нечности распределение скорости становится линейным, т. е. !>щ (у, 1)гя(7 У вЂ”. (4. 13) с.+„' = -й Таким образом, решение задачи об установившемся движении жидкости между параллельными стенками получается из решения задачи о неустановившемся движении при обращении 1 в бесконечность. Для силы вязкости ка движущейся стенке получим из (4.12): — ь* ° ч = — г( — ) = — „Г'-ьгл'* ч ~ ячь> а=> Для начального момента 1 = 0 сумма ряда (4.14) обращается в бесконечность. Следовательно, сила вязкости на движущейся стенке в момент начала внезапного перемещения ев с конечной скоростью будет обращаться в бесконечность.
Если стенка будет перемещаться с переменной скоростью (7 = (7(г), то решение задачи по формуле (1.12) будет представляться в виде и(у, Г) = (7(О) и (у, Г)+ ~ (7'(т) и (у, à — т)ггт, (4дб) я я =гя Ь.;, я>п — „- 1>яя пг(у Г)=в+ — „Х( — 1)ьа ь' а . (418) где ф 5. Задача Громеки о движении жидкости в цилиндрической трубе Рассмотрим неустановившееся дни>кение вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе в предположении, что по двум еб сечениям, находящнися иа расстоянии 1, Р, Р, распределены давления Рг н Ря (рис. 85), Регнение втой задачи при переменных давлениях Р, и р> и Р .
85. нс. при произвольном начальном распределении скоростей было дано еще в 1882 г. в работе И. С. Громеки '). Мы будем г) Гро меха И. С., К теории движения жидкости в узких цилиндрических трубках, Казань, издание Уняверс. типографии, 1882. В книге Дюрэнда адэродянамнкаэ, т.
П1, 1989, сгр. 77, в статье Л. Прандтля неправильно ярн. писывается первое решение рассматриваемой задачи П. Шиманскому; зто решение было дано Громеков на 50 лег раньше, а при простейшем начальном условии с учеточ действия силы тяжести решение бмло дано еща Наяье (см. введение). 322 нвтстлновившакся двнжаиив вязкой жидкости (гл. >х $5) злдлчл гтомвки о движвиии жидкости в цилиидгичвской тгтзв 323 рассматривать тот случай, когда давлеиия р, и рз во времени не меняются, а в начальный момент с=О жидкость иаходится в покое.
В силу зтих предположений движение вязкой жилкости будет осесимметричным, т. е. — — О, ди дз (5.1) где б — полярный угол, проведенный в плоскости уОг, перпендикулярной к оси трубы. В полярных координатах дифференциальное уравнение(1.4) прямолинейного движения вязкой жидкости при использовании (5.1) представится в виде ди /дзи ! ди1 1 др — =»( — + —— де = (дгз г дг) р дл' (5.2) В рассматриваемом нами случае последнее слагаемое, представляю- щее собой перепад давления, отиесенпый к плотиости, будет постоян- ным, т. е.
1 д — — — = Р = совз1, (5.3) Начальиое условие и условие прилипаиия будут иметь вид: при 1=0 и=О, при г=а и=О. ~ (5 4) Проводя преобрааовапие Лапласа, т. е. переходя от оригииала к изо- бражению в уравнении (5.2) и граничном условии (5.4), получим; изи» 1 дй р „. Рг — + — — — — ив= — — ' ига г де при г=а и'=О. (5.5) Независимыми решениями уравнения (5»5) без правой части будут функции Бесселя от мнимого аргумента и'(г, р) = А!е(г ~/ — )+ВКе~ г~/ Р )+ — — '. Так как функция Кз обращается в бесконечность при г = О, то необходимо постоянную В положить равной нулю.
Для определеиия а частиым решением уравнения (3.5) с правой частью будет постоянная Р, л Таким образом, общее решение уравнения (5.5) будет иметь вид 324 нвтстьновившввся движения вязкой жидкости (гл. ок постоянной А используем граничное условие (5.5). В результате всего этого для иэображения скорости будем иметь: уо(г1/ Р) — Го(а $/ Р) и" (г, р) — — — ' (5.6) а для оригинала "( ~~'-)- ( к'-р), и(г, Г)= — — г ело го(а)/' ) ' — - ° (5. 7) Используя разложение (4.7) и равенства (4.8), получим: '( ~ —;)-"( 1~-',) р1о(а р — ) (5,8) "'~" — ")-"( ~у — ') Рьуо (иэоУ )и (5.9) (-)' (~-)' Подставляя этот ряд в (5.8), получим: с = — (гз — аз). 1 о — 4„ (5.10) Между функциями Бесселя от мнимого аргумента и от действитель- ного имеет место следующее соотношение: (5.1 1) уо(х) = Г-"./о(Хх).
На основании этого соотношения корни уравнения l (ау Р)=0 будут представляться в виде /рл (5. 12) функция Бесселя от мнимого аргумента представляется следующим рядом: 5 51 задача ггомеки о движении жидкости в цнлиндгической тетив 325 где йа — корни функции Бесселя нулевого порядка /0()а) = О. (5.13) Подставляя значения корней (5.12) в правую часть (5.9), получим: ф, аз! ' ч 0( йл) На основании одного нз рекуррептных соотношений для функций Бесселя имеем: ! )о ( — !йь) = — !д (!Аа) = — — у ( — лв) = — (3 (Ал). (5.
14) Суммируя (5.10) и (5.14) и подставляя в (5.7), получим решение рассматриваемой задачи в виде следующего ряда; н(г, Г)=Р ~ 1 — — -- — 3 д е ю — ~ ° (5.15) хр~ аз ' эх 7 (1 со аг в Чтобы получить формулу для расхода, умножим обе части (5.15) на 2ягг(г, проинтегрируем от 0 до а и воспользуемся рекуррептной формулой Я / .ге(х) хйх =. а.гг(а). о В результате получим ч= [! — 32 (5,16) Формула Пуазейля (5.9) главы 1'гг получится из (5.16) при предельном переходе времени г к бесконечности. Для силы вязкости на стенке цилиндрической трубы будем иметь: , 'а а= — —,с ~! ,г'ледовательно, коэффициент сл будет окончательно представляться в виде 2,."( —.) -.—:.
гь = — нз — — — е lг (ль) нвястлновившвеся движение вязкой жидкости [гл. !х Для корней функции Бесселя и-го порядка имеют место следующие равенства '); Х вЂ” = "1 1 1,з г (л+Н ь=! а (5.18) 1 1 ЬИ Л$ 2! 1)'( +2 ' (5.19) С возрастанием времени расход (5.16) и сила вязкости (5.17) на стенке будут возрастать и приближаться к своим предельным значениям, имеющим место при установившемся движении вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе.
й 6. Неустановившееся круговое движение вязкой жидкости Если предполагать жидкость несжимаемой, пренебрегать действием массовых сил и считать движение жидкости плоско-параллельным, то дифференциальные уравнения (6.6) и (6.7) главы Н в полярных координатах г и ф будут представляться в виде дсг дп, п дог оз 1 дл г е„2 два! дс "дг г дт г я дг [, " гз гз дт)' дпт дпт пт дп,г огпт ! др сч 2 дог ь (6.!) Для кругового движения частиц вязкой жидкости радиальную компоненту скорости о, необходимо положить равной нулю: о„= О. Тогда из уравнения несжимаемости (6.1) получим: до, — = О.
дт (6.2) ') Ку з ь и ни Р. О., Бесселевы функции, ОНТИ, !935, стр. 112. В нашем случае п=О. Полагая в (5.16) и (5.17) !=О и используя (5.16), получим, что для начального момента расход и сила вязкости на стенке обращаются в нули: й 6) ншстлновившввся кгтговов движение вязкой жидкости 327 Считая давление р не зависящим от полярного двух уравнений (6.1) будем иметь: пз 1 дд г Г дг' дтп угла ф, из первых (6.3) Первое уравнение (6.3) может быть использовано для определения давления, после того как ив второго уравнения будет определена скорость о частиц жидкости. Скорость деформации сдвига в полярных координатах согласно (8.9) главы 1 представляется в виде ! дог дп и 2а„= — — + г дт + дг Следовательно, сила вязкости для кругового движения частиц жидкости будет определяться равенством удпт птт т=2ре =р( — — — ). 1, дг (6.4) при следующих граничном и начальном условиях: при г==а от=ма, ~ при 1=0 от=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
