Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1161662), страница 57
Текст из файла (страница 57)
(6.6) Выполняя преобразование Лапласа над уравнением (6.5) и граничным условием (6.6) и учитывая при этом начальное условие, можно Лифференциальное уравнение (6.3) для определения скорости принадлежит также к параболическому типу, Решение этого уравнения может быть проведено аналогично тому, как это было сделано выше по отношению к дифференциальному уравнению (5.2) длн неустановившегося прямолинейного движения вязкой жидкости в цилиндрической трубе. га В качестве простейшего примера кругового движения частиц вязкой жидкости рассмотрим задачу о вращении вокруг своей оси бесконечного круглого цилиндра, заполненного вязкой жидкостью. Пусть цилиндр радиуса а (рис.
86) с мо- Рнс. 36. мента г = О начал вращаться с постоянной угловой скоростью еь Вели учесть условие прилипаннч частиц жидкости к стенкам, то рассматриваемая задача будет сводиться к регпепню дифференциального уравнения (6.5) 328 нззстановившвеся движение вязкой жидкости [гл. ~х (6.7) Б(г 1/ — ) уг (а 1/г — ) (6. 8) Решение же задачи для оригинала будет тогда представляться в виде интеграла (6.9) Особенности подннтегрального выражения (6.9) будут совпадать с корнями функции Бесселя от мнимого аргумента ! (а1/ ~)=0. (6.10) Корни уравнения (6.10) будут чисто мнимыми и будут связаны с действительными корнями функции Бесселя первого порядка /„(йь) = 0 (6.1 1) соотношением а з/ — = гйь.
— / Рь (6.12) Используя разложение мероморфной функции на простые дроби, будем иметь: (6. 13) привести рассматриваемую задачу определения скорости оч к задаче определения изображения втой скорости при г=а о'=ма Общее решение дифференцнааьного уравнения (6.7) будет представляться через функцию Бесселя первого порядка от мнимого аргумента в виде не = А/т(г1/ -)+ВК,(г 1/ — '). Учитывая, что функции Кт обращается в бесконечность при г = О, т. е. на оси цилиндра, мы должны постоянную В приравнять нулю. Определяя оставшуюся постоянную А из граничного условия (6.7), получим решение задачи для изображения в виде ф 6] неУстановнвшееся кРУГОВОе ДВижение вязкой жидкости 329 где "=~ мю1..= >>(г р — ) аг( 'Ь) лье Р~Л (а ~/ Р)— 2 У>рь (6.14) При вычислении коэффициентов (6.14) были использованы известные соотношения из теорий функции Бесселя: )г(тх) = — га>( — х), ь (2) у> (х) ха ~~ ( 1) е](~ ] )> чз=а ~ 1,(гх) = з, (х).
Так как — ерг Р == 1, 2м а — Го — РРГ =е Рь, 2кг,! р — р„ От(г, т)= ма ~ — +2 Х е а' — —,— 1. (6 15) >.,~,(>.е) 1 >!одсчнтывая силу вязкости на стенке вра>цаюгцегося цилиндра по формуле (6.4), получилн ьь, (т)а=-р'(( ]г) а(ОР)а1=2 '",айг л=-> умножая силу вязкости (т)а на длину окружности цилиндра и его радиус, получим выражение для того момента, который должен быть то для искомой скорости о нз (6.9), (6.13) и (6,14) будем иметь следующее вь>ра>кение> ЗЗО неястлновившеяся движения вязкой жидкости [гл.
~х приложен к цилиндру, чтобы поддерживать его вращение с постоянной угловой скоростью гз л Е = 4ириаз ~ е (6.16) н=г С возрастанием времеви величина момента, необходимого для поддержания вращения цилиндра с постоянной угловой скоростью, будет уменьшаться ло нуля. ф 7. Врлщение круглого цилиндра в неограниченной жидкости Пусть вязкая несжимаемая жидкость простирается до бесконечности. Внутри этой жидкости находится круглый цилиндр радиуса а, который с момента г = О начинает вращаться вокруг своей геометрической оси с постоянной угловой скоростью и (рнс.
87). Если прелполагать, что частицы жидкости перемещаются строго по концентрическии окружностям и на бесконечности они находятся в состоянии покоя, то данная задача будет сводиться к решению дифференциального уравнения дв дЪ 1 да а~ дг ', дгя г дг гег (7.1) прн следующих граничных и начальных условиях: при г=а о'р ма' 1 при г=со от = О, ~ (7.2) Рис. В7. при Г =О и г) а от=О. 3 Умножая уравнение (7.!) и первые два условия (7.2) на г-лгИ, провала интегрирование и обозначая — т = ~ е-Р'о„(г, 1)г(Г, Р (7.3) длв изображения искомой скорости получим: Льл ' г Лг т\,т+ гз/ (7.4) при г = а о" .== иа, т при г=со о" =О, 9 Чтобы удовлетворить условию обращения изображении в нуль на бесконечности, необходимо из двух частных решений уравнения (7А), представляемых в виде функций Бесселя первого порядка от мнимого 9 7) вгхщвнив ктгглого цилиндга в нвогглничвиной жидкости 331 аргумента, использовать лишь то, которое будет содержать функцию Макдональда, т, е.
о" = ВК, (г ф/ ~). Определяя постоянное В из первого граничного условия (7.4), будем иметь для изображения: (7.б) а для оригинала: Кх(г Уу †", ) „ «-ео К,(а ~/ †) (7.6) Функция Макдональда К,(г) не имеет корней в правой половине всей плоскости комплексного переменного г '), где 1агаз! < —. Если на плоскости комплексного переменного мы возьмйм совокупность всех точек, для которых г. я — — с.
агяг С вЂ”, 2 2' то этой совокупности точек иа плоскости комплексного переменного, равного р ла ') Ватсон, Теория бесселевых функций, И/1, 1949, стр. 302. будет отвечать вся плоскость с разрезом вдоль отрицательной действительной оси от р = О до р =- со. Следовательно, подинтегральная функция (7.8) на плоскости комплексного переменного р не имеет никаких других особенностей, кроме точки ветвления в начале координат. Вводя в рассмотрение на плоскости комплексного переменного р замкнутый контур АВСОВРА, показанный на рис. 80, н 332 нвтстановившввся движвнив вязкой жидкости [гл.
~к проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были проведены в ф 2, получим: (7.7) 1 Лля малых значений аргумента функция К,(х) имеет порядок —, поэтому (7.8) Функция К, (х) связана с функцией Ханкеля 77, (гх) и обычными н) функциями Бесселя следующей зависимостью: К,( — тх) = — — —,, Н~" (х) = — —,-[з' (х)+ 1Л(,(х)[. Поэтому булем иметь: Полставляя (7.8) н (7.9) в (7.7), получим выражение лля скорости кругового движения частиц жидкости в виде ЗВЗ лиееузия внхтввой нити Вычисляя силу вязкости на стенке вращающегося цилиндра по фор- муле (6.4), получим: (7.!1) Лля вронскиана функции Бесселя мы имеем: 2 Ус (х) Мс (х) — Ус (х) дс; (х) — — — —.
Умножая силу вязкости (7.11) па длину окружности и ей радуис, получим следующее выражение лля момента сил вязкости; с!а 1 о а!е(= ) + асс (=) Чтобы вращение цилиндра в неограниченной жидкости происходило с постоянной угловой скоростью, необходимо приложить к цилиндру переменный момент, равный правой части (7.12). С возрастанием времени величина момента, необходимого для поддержания вращения с постоянной угловой скоростью, булет уменьшаться до своего предельного значения, отвечающего установившемуся круговому движению частиц неограниченной вязкой несжимаемой жидкости. й 8.
Диффузия вихревой нити (8.1) Дифференциальные уравнения плоско-параллельного движения вязкой несжимаемой жидкости без учета сил из (6.4) главы !! пред- ставляются в виде ди ди ди 1 др дС дх ду е дх --+ и — + о — =- — — — + а с!сс, да ди, да 1 др — + и — + о — = — — — + ч Ло. дг ' дх ' ду аду Исключая перекрестным дифференцированием давление, используя уравнение несжимаеиости и выражение для вихря ди ди 2й == — — —, дх ду' получим следующее дифференциальное уравнение для вихря: до. до до — '+и — "+о —" = аой. дс дх ду неустАнОВЙВшееся лВнжвние Вязкой жидкости (гл, ох Левая часть (8.1) представляет.собой индивидуальную производную по времени от вихря, поэтому при переходе к полярным координа- там будем иметь: дп дй оо дц — +о — + — ' — = «ЬЯ. дс гдг г дт рассмотрим теперь задачу о диффузии прямолинейной вихревой нити. Пусть в начальный момент г = 0 распределение скоростей частиц безграничной несжимаемой жидкости совпадает с распределением скоростей вокруг одной прямолинейной вихревой нити, расположенной вдоль оси г, т.
е. 1'о (оо)г о 2; (8. 3) гле Го — начальное значение циркуляции вихря. Попытаемся выяснить: 1) как будет изменяться благодаря вязкости циркуляция заданной вихревой нити в последующие моменты времени и 2) как вихревое лвижение в силу вязкости будет передаваться от олних частиц к другим. В данном случае лвижение частиц и в последующие моменты времени останется круговым. Для кругового движения частиц единственная компонента вихря на основании (8.10) главы 1 будет прелставляться в зиле Обе части равенства (8.4) умножим на площадь элемента г днгтг и проведам интегрирование радиуса г: по площади окружности произвольного 2 ) ~ (дгдрдг = 1 ~ д(гоо)льу = 2пго .
а о о о Левая часть полученного равенства представляет собой полный поток вихревых линий, пронизывающих площаль засланной окружности, который по теореме Стокса равен циркуляции вектора скорости по этой окружности. Обозначая эту циркуляцию через Г, получим: 1'= 2пго . (8.6) Таким образом, для определения циркуляции необходимо установить выражение для самой скорости частиц жилкости. Попытаемся это 2ь)= д 1 д (8.4) г дг Так как скорость о не зависит от угла (о, то выражение для вихря также не будет завйсеть от этого угла. Поэтому дифференциальное уравнение (8.2) для вихря в круговом движении будет иметь вид — = «ЬЯ.
(8.5) Е8) диеэтзяя вихвввой нити 333 выражение для скорости найти с помощью решения (7.10) задачи о вращении цилиндра в безграничной жидкости. Подставляя в это решение вместо угловой скорости вращения цилиндра выражение а 1' 2гаэ' будем иметь (8.7) Будем теперь радиус цилиндра а уменьшать до нуля. Из приведенного в 9 6 разложения функции Бесселя первого порядка следует, что На основании этого разложения заключаем, что (77,(х) х!..„= — —, 2 и,(=)~ (8.9) Подставляя в выражение (8.7) предельные значения (8.8) и (8.9), получим: (8.10) О Если в правой части этого равенства время т увеличить до бесконечности, то скорость частиц жидкости будет стремиться к тому выражению, которое имеет место для одной вихревой нити: (от)г Г (8.11) Составляя разность правых частей (8.1!) и (8.10), получим следующее выражение для скорости частиц жидкости: Г (8.! 2) Иш ~У,( — '"=)~ =0.
(8.8) Для функции Неймана имеет место следующее разложение: й тт М,(х) — l,(х)(1п — + с) — — — — ~~У ~ лт' — + ~~~~~-~. нвтстоновившевся движении вязкой жидкости [гл. ~х Покажем, что данное выражение и будет представлять решение рассматриваемой задачи о диффузии прямолинейной вихревой нити, В теории бесселевых функций приводится следующая интегральная формулаа): — () — г аз' Х (ат)е эч'о(Г = — е ол'о' ~ — ). — .
~зла). о Полагая в этой формуле 1 2 и учитывая, что 1 Л „(х) = — ==. (е — е л), уо2гл получим; о Таким образом, решение задачи о диффузии прямолинейной вихре- вой нити будет предстзвляться следующей конечной формудой: 1о (1, оо) 2ог (8. 13) о а,.г е '" (8.14) Непосредственной подстановкой можно убедиться, что выражение (8.14) для вихря удовлетворяет дифференпиальному уравнению (8.6). Если подставить выражение (8.13) в (8.6), то получим следующее выражение для циркуляции: (8.15) В =1'о(1 — о "'). Таким образом, циркуляция заданной в начальный момент прямолинейной вихревой нити будет убывать до нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
