Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1161662), страница 49
Текст из файла (страница 49)
=- — УЪ (7 ~"Ф+ — — Рбф' — Ф)1 2 (Рт (5.14) На основании (5.13) и (5.14) получим: д + д ( )+2 ~У ди ди,,з и ! ()з(ги Следовательно, первое уравнение (5.3) представится в виде Наконец, используя предположение (5.1) и поэагая 2ж т лг+!' (5.15) Ф'(оо) = 1. (5.1 ?) При каждом отдельном значении постоянного р уравнение (5.!6) можно интегрировать численным методом. В цитированной выше работе Хартри приведена таблица 2 значений функции Ф' при различных аначениях параметра 5 и таблица 3 вспомогательных функций, через которые вычисляются толщина вытеснения и", толщина потери импульса 6*" и напряжение вязкости на стенке.
Мы приводим некоторые выдержки из этих таблиц (см. стр. 276 †2). На основании второго равенства (5.13) получим следуюгпее выражение для напряжения вязкости на стенке: — (д ) — 1(71/ ~~' Фи(6) (5.1 8) Толщина слоя вытеснения 3' была определена выше формулой (2.20). Подставляя в эту формулу значение у из (5.9), получим: о*= ~: :~1 — — ") ду = ~ (1 — Ф'(т))) г(т! ° 1/ — и, = АД) 1/ —, ° (5.!9) о о получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для неизвестной функции Ф: '„';, +Ф вЂ” ",",., =~~( — ";,)' — ~ (5.16) Для решения уравнения (5,16) к условиям (5.12) необходимо присоединить условие на внешней границе слоя. Если считать слой асимптотическим, то дополнительное условие будет представляться в виде д 5) птивдизкйнный мятод вешания тглвняннй погтхничного слоя 277 условная толщина потери импульса, являющаяся мерой изменения количества движения эа счвт образования пограничного слоя, определяется равенством ~ и'( (7 ) "У а Подставляя значение у из (5.9), получим: 5"= ~ Ф'(О)(! — Ф'(т!))йт, ° ф~ й.', =-В(р) 1/ О!7.
(5,20) Значения функций, входящих з равенства (5.18), (5.19) и (5.20), берут из таблицы 3. Таблица 3 В (5) ! Фж (О) АФ) 1,521 1,Г>87 0,498 Заметим, что случай т = 0 отвечает прямолинейно-параллельному внешнему потоку с постоянной скоростью с, обтекающему продольно- прямолинейную пластинку.
)(ля положительных значений показателя в (5,1) мы будем получать так называемые ускоренные потоки, которые имеют место в конфузорных (сходящихся) каналах, а для отрицательных значений т будем иметь замедленные потоки в диффуаорных каналах. Наконец, случай т = 1 мы получаем для пограничного слоя в передней критнческои точне при обтекании внешним потоком выпуклого контура.
В этом последнем случае У' = сопз1, и поэтому из (5.19) и д5.20) будет следовать, что обе то.шины не — 0,1988 — О,!9 — 0,18 — 0,16 — 0,14 — 0,10 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,80 1,00 1',20 2,00 2,359 2,007 1,871 1,708 1,597 0,984 0,911 0,853 0,801 0,764 0,699 0,648 0,607 0,544 0,585 0,677 О,ьбб 0,552 0,739 0,515 0,470 0,435 0,408 0,386 0,367 0,350 0,336 0,312 0,292 0,276 0,250 0,231 0,0000 0,086 0,1285 0,1905 0,2395 0,3191 0,4696 0,5870 0,6869 0,7748 0,8542 0,9277 0,996 1,! 20 1,2326 1,336 ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ИГП 1Г.Ч. чп! будут зависеть от координаты х, т. е. толщина пограничного слои вблизи критической точки будет постоянной. Из этих же формул при учете (5.1) будет следовать, что при т(! толщина пограничного слоя будет расти по течению, как и в случае пограничного слоя на пластинке.
Наибольший рост толгцины пограничного слоя по течению будет иметь место в замедленных потоках при лг ( О, тогда как при ускоренном течении при ю,.ь 1 толщина пограничного слоя будет даже убывать по течению. На основании таблицы 1 получается, что при р = — 0,1988, т. е. при Гл = — 0,0904, при убывании скорости внешнего потока по закону и — сх - 0.0000 величина Фь(0) обращается в нуль, и поэтому согласно (5.!8) сила трения будет обращаться в нуль на всей стенке соответствующего канала. Этот случай можно рассматривать как предельный случай того безотрывного движения в пограничном слое, который может быть изучен этим методом, так как при р ( — 0,1988 пограничный слой либо вообще не может существовать, либо развитый выше метод становится неприменимым. Таким обрааом, задавая различные значения для показателя т, можно получить различные по своему характеру течения в пограничном слое и эти течения буду~ сходны с теми течениями, которые имеют место в отдельных частях действительного пограничного слоя, например на крыле: вблизи критической точки (лг = 1), вблизи точки наименьигего давления (лг = 0) и вблизи точки отрыва (Гл = — 0,0904).
9 6. Приближенные уравнения теории пограничного слоя !1ля решения отдельных задач были использованы в некоторых случаях упрощенные уравнения пограничного слоя, учитывающие квадратичные члены инерции в левой части первого уравнения (1.13) не полностью. Если, например. воспользоваться идеей метода Озеена и заменить и в первом слагаемом (1.13) через скорость частиц (/(х) иа границе слоя и соверщенно отбросить второе слагаем~в, то получим прнближвнные уравнения теории пограничного слоя (6.1) Уравнения вида (6.1) были уже испольйованы в 9 3 главы У!! для задачи погружения пластинки в вязкую среду.
Если сравнить полученное там значение напряжения вязкости на пластинке (3.1!) 9 6! птиелижйннык ттдвнения теоеин поггдничного слоя 279 с напряжением вязкости, полученным в 9 2 на основании полных ураннений пограничного слоя, то можно заметить различие з значениях числовых коэффициентов порядка ббогго. Таким образом, приближенные уравнения (6.1) являются грубо приближйннымн, дающими заведомо преувеличенные значения для напряжения вязкости.
К этим уравнениям можно обращаться лишь в тех крайних случаях, в которых не- может быть использован ни один из известных приближйнных методов решения полных уравнений пограничного слоя (1.13). Например, в работах . Л. Г. Лойцянского ') приближйнные уравнения (6.1) были использованы для изучения пространственного пограничного слоя на стыке двух плоскостей, В этом случае ни один нз известных методов решения уравнений (1.13) не может быть использован. Уравнения (6.1) используются также для изучения движения жидкости в области позади тела в предположении, что движение считается ламинарным и распределение сноростей по начальному сечению этой области «следа» за телом считается известным из решений уравнений для пограничного слон'-), Упрощение вида первого уравнения (1.13) пограничного слоя можно произвести и другими способами.
Вместо способа частичного учЕта квадратичных членов инерции иожно, например, применить способ осреднвнного их учйта аналогично тому, как это было сделано в 6 !О главы Ч! по отношению н смазочному слою. При таком способе упрощения уравнения пограничного слоя принимают вид дм~ 1 др+1 (6.2) ду ди до 1 — + — =- О, дл ду ! тле )т'„— среднее по толщине слоя значение проекции вектора уско- рения на направление касательной к рассматриваемому контуру (6.3) Учитывая граничные условия (1!4) и (1,15) и уравнение несжимаемости и проводя преобразования, которые были проведены в 9 3, з) Лайцв иск ий Л. Г., Взаимодействие пограничных слове, Труды ЦАГИ, вып, 249, 1936; Об одной задаче пространственного пограничного слоя, Труды ЛИИ, раздел физ.-мат. ввтк, дй 1, !937.
!) Л о й ц я н е к и й Л. Г., Аэродинамика пограничного слоя, ГТТИ, !941, стр. !18. 260 (гл. Чш теОРив пОГРАничнОГО слоя среднее ускорение Ю' можно представить в виде (~и — — [д— ~ и ду — ~ -1 — ~ и г(у)' (6.4) О 0 Таким образом, задача изучения движения жидкости в пограничном слое будет сводиться к решению первого уравнения (6.2) и к использованию соотношения (6А) для определения толщины слоя.
Наконец, можно сохранить все уравнения (6.2), а ускорение определять не с помощью осреднения, а каким-либо другим способом, например с помощью соотношения при у=О и=О, при у=э и=(/(х), 1 ди — = О. ду (6.7) Удовлетворяя этим условиям, получим: 1 др 1 1, (1 2и дх+ 2П и Ээ' и и = — —;(уз — 2еу).
аэ Используя равенство (6.9), будем иметгс (6.8) (6.9) иду = — и', 2 3 о (6.! О) е ) г) Т а р г С, Л(ч Основные задачи теории ламинарных течеиий, Гостех. издат, 196К (Р' (х, у) = и — — — ~ — ду, ди ди Г ди дх ду ,~ дх (6.5) О в ко~ором скорость и считается заранее заданной функцией, удовлетворяющей граничным условиям на границах слоя '). Рассмотрим применение упрощенной теории пограничного слоя, пречстэвляемой первым уравнением (6.2) и соотношением (6.4). Решение первого уравнения (6.2) будет представляться в зиле и = — ( — Р -+ е Ф'.) уэ+ С,у+ С, (6, 6) Как уже было указано в 6 4, основные граничные условия для скорости и имеют вид: 9 6) пгивлижкипые уРАВнения теОРии пОГРАничнОГО слоя 28! Подставляя в (6.4) значение среднего ускорения из (6.8) и используя равенства (6.10), получим: 1др 2~(Г 2 /, еа'1 — — — — —,= — (3()й — () .'). з дк ее 15(, Бели давление определять из интеграла Бернулли, то б> дем иметь: — ' д' = — (уи', и соотношение (6.11) переплат в следующее дифференциальное уравнение для толщины пограничного слоя: 233'+ 9 — 3з = —.
ЕР 30~ (г и' Решение это~о линейного уравнения относительно фе представляется в виде 'е=-В(! 'В "+') (6.13) Таким образом, толщина пограничного слоя определяется олной лишь квадратурой. Постоянное Сз долгкно быть определено либо из условия задания толщины слоя для начала отсчета криволинейной координаты, лцбо из какого-нибуль другого условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
