Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1161662), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Для случая прямолинейной пластинки можно положить: () = — соле!, Тогда из (6.13) получим; 6= 5,48 е~ —" Р (Г' (6,14) Сопоставляя правую часть (6.14) с правой частью (2.22), мы приходим к заключению, что подсчдт толщины пограничного слоя с помощью упрощднных уравнений (6.2) и (6.4) дает завышенное вначение для числового коэффициента порядка 5,4О1 . Ошибка и определении значения числового коэффициента в формуле для толщины пограничного слоя по рассматриваемому методу оказывается всв же меньше, чем это получилось в ф 4 при применении метода интегральных соотношений, з сами вычисления стали проще и ие потребовали численного метода решения лнфференциального уравнения.
Основная скорость и по толщине слоя распределяется по параболическом> закону (6.9). По этоп причине мы не можем установить положение точки отрыва пограничного слоя. Чтобы установить пологкение точки отрыва, необходимо предварительно > точнить полученное решение для основной скорости.
Это уточнение можно произвести с помощью первого уравнения (6.2), если подставить в правую часть значение ускорения, подсчитываемое уже по формуле (6.5). БСли подставить значение и из (6.9) в (6.5) и произвести 282 1гл. щп ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ зсе вычисления, то для ускорения %' получим многочлен четвертой степени, а поэтому оспозная скорость, определяемая по первому уравнению (6.2), будет представляться во втором приближении уже многочленом шестой степени. Толщина слоя в этом приближении будет определяться равенством (6,15) а положение точки отрыва булет определяться из равенства Полученное значение (6.16) отличается от экспериментального значениа (4.!3) лла эллиптического цилиндРа на 30е/е, но вез же оно ближе к эксперииентальному, чем то значение, которое получается при применении приближенного метода Польгаузена, й 7.
Распространение тонкой ламинарной струн у ~ ля,(у (7.1) Если жидкость простирается до бесконечности и там находится в покое и если нет каких-либо тзардых границ внутри жидкости, то давление можно считать всюд) постоянным, т. е. ,О = сопя(. (7.2) )(ифференциальные ураанения, выведенные для пограничного слоя вблизи тнардой стенки, нашли своЕ применение и в изучении распространения движения от струи, зтекающей з полубесконечное пространство, заполненное той же жидкостью, но нахолящейся на бесконечности в состоянии покоя.
Если при обтекании твардой границы происходит распространение торможения от стенки внутрь потока благодаря вязкости, то при втекании струи в безграничную жидкость происхолит распространение уже самого движения благодаря той же вязкости жилкости. Такое сходство явлении и обусловливает возможность использования однкх и тех же дифференциальных ураанений. рассмотрим случай бесконечно тонкой плоской струи типа источника. Начало координат поместим в точке источника струи, ось х направим по плоскости симметрии, а ось у †- перпенликулярно к этой плоскости. Так как через элементарный отрезок г(у проходящая масса рис!у переносит с собой количество дзижения ри ггуи, то полное количество лвижения, переносимое всей струей черед зсю прямую, параллельную оси у, будет представляться в аиде РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТОНКой ЛАМННАРНОй СТРУИ Применяя теорему об изменении количества движения жидкости к области межлу двумя прямыми, параллельными оси у, и используя постоянство дааления, мы приходим к выводу о постоянстве переносимого струай количества лаижения, т.
е. риэ г(у = сопя( = / = ОК . (?.3) Полное количество дан>кения, переносимое струай, называется импульсом сжруи. Импульс струи считается заданным, так как считается заданным распределение скоростей в начальном сечении струи. Лля изучения движения частиц внутри струи используются уравнения (И)3) пограничного слоя. Эти уравнения при использоаании постоянства лавления принимают вил ди <)и дэи и — +Π— = — У— дх ду дух ' ди, ,дэ — + — =- О. дк ду (7.4) На линии симметрии продольная составляющая аектора скорости должна быть наибольшей, а поперечная составляющая лолжна обратиться в нуль.
Таким образом, для линии у = О будем ил|еть следующие граничные условия; ди д — — О, у при у=О (7.5) Считая, что движение от струи распространяется до бесконечности, булем иметь дополнительное условие; при у — «оо и-ьО. (7.6) Таким образом, задача изучения движения жилкости в плоской струе сводится к решению уравнений (7.4) при граничных условиях (7.5) и (7.6) и при интегральном инварнанте (7.3). Для случая струи типа источника можно методом размерностей свести уразнения (7,4) к одному обыкновенному уравнению. В этом случае единственной заданной размерной величиной будет импульс струи и, следовательно, масштабы длины ( и скорости (7 будут связаны олним соотношением Пэ! Кэ' у'й где (х †чис Рейнольдса, а а в неопределенное пока безразмерное число.
Пользуясь этим соотношением, мы можем, например, масштаб длины выразить через масштаб скорости в аиде 284 [гл. шц ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ При таком выборе масштаба длины формулы перехода от размерных координат и скоростей к безразмерным будут представляться в зиле Кз х=-!х =-— пз У х — 'и'у,,! У= ~- У1= (7.9) и =Уи,, У . '111— у [а Уравнения (7.4) при переходе к безразмерным коорлинатам и скоростям примут вид ди1 ди1 дзи1 и 1 -+о — = дх ду ду (7. 1О) а.-::,=' ! Если мы построим решения уравнений (7.!О) и затем перейлзм к размерным величинам, то размерные скорости окажутся функциями произвольного масштаба скорости У, который в размерные уравнения (7А) не входит.
Следовательно, можно потребовать, чтобы размерные скорости не зависели от произвольного масштаба скорости У. Если положить и, = — /(хт, у,) =/[ —, узх, — у), КА Кч (7. 11) —,'у- ~ЬУ ( — "",' У х, -" —," у)~ = 0. Выполняя дифференцирование и используя (7,9), по.учим следующее уравнение: У+ бх — -+ 2у — О. дУ дУ 1дх, 1 ду, Применяя метод характеристик, получим: ду дх1 ду1 — Х дх1 271 ' Интегралами зтих уравнений характеристик будут: ух,п= С1, утх, '= С, и поэтому решение уравнения (7.12) будет представляться в виде и =7(х1, у,) = х, 'ф(у х, '"). (7.13) то требование независимости размерной скорости от -асштаба У даат1 $ 7) Распеостганание тонкой ламинлгной ствяя 286 Таким образом, новым независимым безразиерным переменным будет: 9=Угхг ", (7.14) н для этого переменного будем иметь: (7.15) Если ввести безразмерную функцию тока, полагая ф(хм уг) = ) и,дур — — хз ' ) 9(т) г)ог=хзи ~ 9(т~) сН1 =ха Р(т), (7 16) о а о то получим: и,=ха ""Е (з;) При подстановке этих равенств в первое уравнение (7.10) получим следующее обыкновенное дифференциальное уравненяе для введенной функции тока 7а(т): +3( + (7.18) Иа граничных условий (7,5) получим следующие условия для искомой функции Р(т): т = О, Р" (0) = О, Р(О) =- О.' (7.19) Непосредственно находим первый интеграл уравнения (7.18) в виде Р" + — сс' = С.
(7.20) На основании граничных условий (7.!9) постоянную С необходимо положить равной нулю: С= О. Выполняя дальнейшее интегрирование уравнения (7.20), найдем: (7.21) На основании равенств (7.17) и (7.9) размерная продольная состав- ляющая скоросги будет представляться в виде (7.22) ди, дх, ди, ду, др 1 о = — д ' = 3 хг "(2тУ й) — Р) дх, 3 1 = — —;хг '(К + 2з~Рт), ь (7.17] ! и ду," [гл. нщ 286 твовия погглничного слоя Распорядимся выбором неопределенного числа а так, чтобы Р'(О) = 1. (7.23) При этом условии и втором условии (7.19) постоянное интегрирова- ния В должно равняться единице. Таким образом, получим лля функ- ции г'(т)) следующее уравнение первого порядка: Р'+ — Гм = 1. (7.24) Решая это > равнение методом разделения переменных и используя второе условие (7.19), получим конечное выражение для искомои функции в виде 7'(т,)=)т'611 (' ' ').
х~'б/ (7. 25) На основании (7.25) и первых равенств (7.17) получим следующие выражения для безразмерных скоростей; и =-х 1 — з с па = а )г 6 (7.25) о =- — кг ' — '1/ б 99 = 1;,Г 2т )6 )' 6 йля мзксимальноп скорости на линии симметрии будем иметьп итж = х! (7.27) Связь между продольной скоростью и максимальной выражается в виде (7 23) 1 пт — пгт ' сиз уб — и, (У„=- ~ 76ж( 1) пт, = ~ '-.— — = — ф 6 = 3,27. (7.29) 3 1' 6 Переходя в равенстве (7.3) к безразмерным величинам на основании (7.9), (7.15) и (7.26), получим следующее выражение для числа п: ф 7! глспоостглнвниа тонков ллминавной отгон 287 В заключение подсчитаем расход через бесконечную прямую, параллельную оси дп Э + = — „' У ' ~ и,г(У, = — 'х',"(7 ' ~ Лг(т)г)т, чы =( „) ~ ' =2Ф 6( — ~) .
(73О) 6 Таким образом, расход через начальное сечение струи (х= 0) равен нулю, а затем расход растет благодаря подтеканию с боков струи. Примерный характер линий тока, определяемых по уравнению х'ЛГ(т() = сопв1, (7.31) показан на рис. 72. Обращаемся теперь к рассмотрению пространственной ламинарной струи, имеющей ось симметрии. Расстояние точки до оси симметрии будем обозначать через г, Импульс пространственной струи необходимо определить в виде 2п ~ рое,г дг =- РКе, (7.32) гле о представляет осевую компоненту скорости. В силу отсутствия стенок давление можно полагать всюду постоянным: р = соп51. до, дол Г дзоо 1 до Π— — +Π— =ч~ — + — — и дх "дг (, дга г дг)' д (гол), д (гоИ (7.33) Если обратиться к уравнению Рис. 72.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
