Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1161662), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Основные граничные условия, выражающие собоИ условие прнлипания частиц к стенке, условие непрерывного перехода значений основноИ компоненты скорости через верхнюю границу слоя н условие отсутствия силы вязкости на этап границе слоя, имеют вид и(О) — О, и (ь) К вЂ” =- О /ди т ~д»)я е Если иметь в виду предположения (4.2) и (4.3), то этн граничные условия можно представить следуюгцим образом: у(О) = О, у(!) = 1, у'(1) = О.
К основным граничным»словиям (4 б) присоединим одно дополнительное условие (3.8), используя (3.12) и (4.3): У-(О) = ---'-'- Г. ' (4.6) (4.6) Наличие четыреэ граничных условий (4.6) и (4.6) позволяет использовать д.ш распределения скоростей в пограничном слое Интегральное сов~ношение (3,6) после использования (3.12) предста- вится в виде (гл. щп тяОРиа погтлничногп слоя Аз= 2(1 2 ) (4.8) Используя выражения (4,8), будем иметь: УРП) = -2 (зч — Р)+ —,(~ — 2п'+ Р), 1 Л (4.9) где Л представляет собой безравмерный параметр, равный (4.10) Определяя силу вязкости на стенке по формуле Ньютона и используя (4.2), (4.3), (4.9) н (4.10), получим: 'оа- — — 11 (ду)о — р З у (О) = 1З (6+Л), (4.11) В 6 1 было указано, что точка отрыва пограничного слоя определяется из условия обращения в нуль силы вязкости на стенке.
Полагая правую часть (4.11) нулю, найдем: Л,! =-- ( — (/) = — 6. (4.1 2) В случае обтекания эллиптического цилиндра экспериментально установлено, что положение точки отрыва определяется равенством Л,„= — 5,4. (4.13) Таким образом, полученный результат (4.12) достаточно близок к экспериментальному, Для опрелеленяя изменения толщины слоя необходимо обратиться к интегра.тьному соотношению (4А), которое при использовании обоаначения (4.10) представитсн в виде 1 ! — ", ( Ц уо( ) (й — ~ Лч) ( ) + о о 1 1 +2Л ( уо(о)) 1111 — Л ~ /(11) о(о) — Л+у'(О) = 0 (4,14) функцию, содержащую четыре неизвестных коэффициента. Если, например, эту функцию брать в виде многочлена, то наиболее простым нв них будет многочлен третьей степени, т.
е. )'(т) = Аа+ А!11+ Ао"йо+ Аот1о (4 У) Определяя коэффициенты многочлена иэ граничных условий (4.6) н (4.6), получим: Ао — О, А1 — — ! (3+ 2 ), Ао — —— ф 4) поэвлничный слой пни овтвклнии выпэклого конттгл 271 (4.15) Вводя новое зависимое переменное за — =ч, Ч (4.16) получим следующее дифференциальное уравнению Ж 3 О 8061 + 0 051о 0 0024Ло Лл ьг (0,139 — 0,002х + 0,0008И) При заданной функции (У(х) изменения скорости внешнего потока вдоль рассматриваемого контура дифференциальное уравнение (4.17) можно решать только либо графически, либо численным методом.
Если положить параметр Л равным нулю, то получим случай пограничного слоя на пластинке, разобранный в 5 2. )Лля этого случая из (4,!7) будем иметь: е( 21,88 лх и' Проводя интегрирование и определяя постоянное интегрирования из условия обращения в нуль толщины слоя у переднего края пластинки, получим: 8=4,6 т и и' (4.18) ь Сопоставлял правую часть (4.18) с правой частью (2.19), мы видим, что рааличие в числовом коэффициенте имеет порядок 8о) .
Рассмотренный пример использования интегральных соотношений является наиболее простым по своей схеме, однако доведение до конца интегрирования уравнения (4.17), хотя бы и численным методом, связано с большими трудностями благодаря тому, что правая для коэффициентов полученного уравнения (4.14) из (4.9) будем иметь: У'(0) = 1,5+0,25Л, г )"У(0) г0=0,625+0,021л, о 1 ) 7~(т))о(т) = 0,486+ 0,02ЗЛ вЂ” О,оообдв о ! 1 3 7'(")"") — ~ ПО) 70 = — О, И9+0,002Л вЂ” 0,0006Лэ, о 1 г 2Фв() М~ — "~ У() М вЂ” «+7 (О)=1,5-0,4ОЗЛ+ о о +0 025Лв О 0012Лз 272 (гл. шп ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ часть этого уравнения имеет особую точку при (! = О.
Кроме того, этот метод ваведомо неприменим к пограничному слою при замедленном течении жидкости во внешнем потоке. В ряде статей предложены другие методы использования интегральных соотношений. Из этих методов наиболее простым и широким по охвату различных случаев является метод Н. Е. Кочина и Л. Г.
Лойцянского '). й'5. Приближенный метод решения уравнений пограничного слоя В предшествующем параграфе был рассмотрен самый простой метод использования интегральных соотношений для ламинарного пограничного слоя, но расчеты оказались вполне удовлетворительными лишь для тех случаев, в которых продольный перепад давления оказывался либо отрицательным, либо был небольшим положительным. )Аля больших положительных перепадов давления в пограничном слое он мало пригоден, Кроме того, этот метод требовал графического или численного интегрирования нелинейного уравнения (4.17) для каждого распределения скорости внешнего потока вдоль пограничного слоя. Эти два обстоятельства и побуждали многих исследователей искать другие приближенные методы решения уравнений для пограничного слоя.
Большая группа этих методов, получивших наибольшее применение к решению отдельных задач, основывается на специальном выборе независимых безразмерных переменных, позволяющем аифференциальнью уравнения с частными проивводными (! .13) сводить либо к одному нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению с числовыми коэффициентами, либо к некоторой нос тедовательности обыкновенных дифференциальных уравнений также с числовыми коэффициентами, В этих методах численно решается обыкновенное уравнение или группа уравнений и составляются соответственные таблицы. Эти таблицы затем могут быть использованы для целой группы соответственных задач (а не Одной какой-либо аадачи).
Чтобы показать конкретно сущность этих методов, рассмотрим подробно метод сведения уравнений (1.13) к одному обыкновенному уранению для случая степенного закона изменения скорости внешнего потока, развитый в работах Фокнера и Скэна, з) Хартри з), Л. Г. Лойцянского') и др. Пусть на внешней границе ламинарного пограничного слоя скорость частиц во внешнем потоке распределяется в продольном напра- ') Кочин «!. Е. я Лойцянский Л. Г„Об одном приближенном Методе расчета ламннариого пограничного слоя, Доклады АН СССР, т. ХХХН1, № 9, !942.
В Р з ! и и е г Н. М. а и д 3 и и и 3. '1Н., АКС К АМ № 131 4, 1930. ') Н а г ! г е е ««. й., Ргое. о1 Гае Сзшьгщйе РЫ1, 3ос, 33, !937. ч) Лей цянс к ий Л. Г., Механика жидкости н газа, Гостехнздат, 1930. 5) пвивлижйнный метод гашения тглвнвний погвлничного слоя 273 еленин по закону и(х)=с», (5. 1) уравнения пограничного слоя (1,13) при использовании (3.12) и (5,1) представятся в виде ди ди „,„г дэи и — + о — = сетха'" ' .+ э —,, дх ду дул' — -'- — = О.
дх ' ду (5.3) От размерных координач х и У перейден к безразмерным, полагая х = (х„ г (5.4) У= „— Ут Если в выражении числа Рейнольдса ьт К=в (5. 5) заменить скорость через коэффициент (5.2), то получим: (5.6) Полагая и = (гин и используя (5.6), уравнения (5.3) можно представить в виде ииэ диг „„,, дэиг и, +о,д-.— глх л + —,, х, д"'+ д" =-О. Решения уравнений (5.8), вообще говоря, должны быть функциями бевразмернык координат х ' и у,, Поэтому при переходе к размер- ным координатам размерные решения уравнений (5.3) будут зависеть от масштаба длины Е Так как коэффициенты уравнений (5.3) не (5.8) где с — размерный коэффициент, свяаанный с размерностью длины .и скорости соотношением с= —.
(5. 2) Ги л74 (гл. сш тьогия погяанияиого слоя созсрагат я инион внлс нзсшглбз ллинн ), тз ножно потрсбояать, чгоби бсзрззмсрныс скорости а, и о, лапнсегит не от отъ .и.нюх без. разнерннк коорлинаг .т, и у,. а от такой ич кочбннзцнн. ирн которой исключалась Гнз ззьнсичость рз цгернюз скоростей ог насш таба ллигц» !. Если обрати»»се к псряпчу рзненству (5 4~ и кн и орикс рзвснс гну(5 6).
то чо«но ззнстнть ьго ~ анис~и еп»й личГ»ишки~я, ис солертизц(сй нлсшгзбз ллинц нрн нерстоле к ззлчсрнцн лоорлннттзч. б)лит; « ° 3 ! На»тои оснояаиии ииотин новос нсззн!шнчое безрлзнсрное переменноее т„голл г ли / г.е" оя / ("(л) т,-ь тр - -- — у $г ( 1.0) ! ле з — и»ко!орос постоянное число, 1(з (5.9) бу гьч ниеть д / С'(.ь) дУ 'Р (5.10) дг 1, 1 1 (: глс шгрнс н прзюш иль~и озцюю г лифф»ренцкронзьис но т, 1!з осионзнии успения црилицз,ня и того. ч:о низ,няя грзиипл с,ню ирелстзвляст сосюз линию го»ш 6) теч ичг ть слету»нцнс с(ломия лли неизвестной функции ф(г): при т, = 0 Ф(0) ..
О. Ф'(О) — И (5 12) 1'.спользуя спи»кои~с,цгя (5.10) и (5 11). Г»улсь нче!ь. дц . У (и Ги и) нц С(',,:, <»уз ~ 5. 1 3 г !!з урз»испи» нссьичаснсстгц )ьловня обрзщсшш и нуль скор югн с иа с:енле у -. 0 н пер»иго рззсцстпз ().!О) погбякч » гз / .- ! ди ч геп»рь причем. чго п(толею»игя сосгззляюшзи»слгорл скорости и иограничиои слог чоац г бог ь прс.юглнлс»а и ьи ш и (.т, у) — (,' нт) г! '(т,ц (5. 11) й 5! пяивлижйнный метод гашения твлвняиий погганичного слоя 275 Подставляя значение — из (5,13) и испольауя условия (5.12), будем ди дх иметгп -,—,г 1 и()и .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
