Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Это связано с тем, что большие кванты излучаются электронами с большими энергиями, сосредоточенными в хвосте максвелловского распределения по скоростям. е) Предполагается, что скорости ионов очень малы по сравнению со скоростями электронов. е з1 сВОБОднО-сВОБОдные пеРеходы В нАГРетом нонизОВ.
ГАзе 223 Интегральная лучеиспускательная способность для тормозного излучения равна «е $ е =1,42 10 з'ЯзТ'з)У,Ю, арг7смз сек (5Лб) 8яатз 1 П чз ез йе е — 1 зт (5.17) а ае — спектральный коэффициент истинного тормозного поглощения, рассчитанный на один ион и один электрон, движущийся со скоростью с, то количество излучения в интервале частот от т до т~. еет, поглощаемое при термодинамическом равновесии в 1 сек в 1 смз электронами со скоростями от О до с-, 'ееи, равно ет'+ет'еее',Реет с) (Р) еЬ-ае (1 — е "т).
(5.18) Множитель (1 — е зт ) учитывает эффективное уменыпение поглощения за счет вынуяеденного испускания (переизлучения; см. $ 4 гл. П). В условиях термодинамического равновесия поглощение и испускание в точности компенсируют друг друга, т. е. выражения (5.18) и (5Л4) равны. При атом скорости электронов, испускающих кванты еет и поглощающих эти кванты, свнзаны между собой законом сохранения энергии ЗЗР'З ЗЕСЗ вЂ” = — + Ьт. 2 2 ЗаМЕЧая, Чта СЫР = С'дс', а Ид = йтЕ)ае, НайдЕМ ОбщуЮ СаяЭЬ ЕдИНИЧ- ного коэффициента поглощения а, с сечением излучения еЬРС езе'з ео (с') а,= —— (5.19) 8зизи ат Пользуясь формулой (5.8) для е(д„получим 4я язее „Ез а„= — -= — = 1,80 10зе — смз.
ЗуЗ А з ° (5.20) Эта формула была выведена Крамерсом в 1923 г. Умножая а, на еУе.Л', и с помощью функции максвелловского распределения усредняя по скоростям электронов, получим спектральный коаффициент истинного (2 — температура в градусах Кельвина). Интегральное тормозное непускание довольно слабо зависит от температуры (оно пропорционально ~)е' Т). Если в газе имеются ионы разных зарядов Т, то формулы (5.15), (5.16) следует просуммировать по всем сортам ионов.
'Теперь найдем коэффициент тормозного поглощения света. Для этого воспользуемся принципом детального равновесия. Если П,р— равновесная спектральная плотность излучения„ определяемая формулой Планка (2ЛО), 224 ПОГЛО1ЦЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ ггл. У тормозного поглощения в газе при температуре электронов Т: 1 Ае зл '2 Ягез Е2 т 2,2 =41 10 2222 — + ' см ', х= ьт те 2 хе (5.21) В более строгой теории в формулах для коэффициента поглощения (5.20) и (5.21) (и соответственно всех других) фигурирует мноягитель Гаунта У, уЧИтЫВаЮщИй ОтКЛОНЕНИя От тЕОрИИ КраМЕреаг Х, .= (Хе)нрзхере'б.
Для небольших по сравнению с йТ квантов б= 1в н '= 1~27 (3~38+ 18Т, 1бЛе) Вспоминая определение среднего коэффициента поглощения, характеризующего лучеиспускательную способность (2.102), вычислим эту величину для тормозного механизма: (5. 22) т 2 Соответствующая средняя длина пробега равна /1 —— — - = 1,53 102322З см. те 2 (5.23) Вычислим еще н средний росселандов пробег (2,80) для случая, когда газ полностью ионизован и тормозной механизм поглощения является единственным (а все ионы обладают одинаковым зарядом 2) г т 2 1 48 10гз см.
Зггг+гг е (5. 24) Росселандов пробег / для тормозного механизма равен спектральному пробегу при энергии квантов Ьу = 5,8 /сТ. Как видно, в переносе лучистой энергии путем теплопроводности при тормозном механизме поглощения основную роль играют весьма большие кванты, находящиеся в виновской области спектра. Наоборот, при объемном излучении основную роль играют маленькие кванты. Средний коэффициент х, равен исправленному на вынужденное непускание спектральному коаффнциенту х, (1 — е-"'1гт), соответствующему /гу = 1,73 /сТ. Для того чтобы представить себе порядки величин оптических характеристик плазмы, соответствующих тормозному механизму, приведем конкретный пример. Рассмотрим водород при плотности о = 1,17.10 ' г/см' (такая плотность соответствует давлению 10 мм рт.
ст. при комнатной температуре) и температуре Т = 100 000' К. В этих условиях водород полностью диссоциирован и полностью ионизован, так что Л'.р = 1У, = 7 10" см з. Коэффициент поглощения красного света Х = 6500 А при атом равен х, = 5,7.10 з см ', а длина пробега /е = 1/х, = 175 см. 2 41 сечение ЭАхВАтА электРОКА иОнОм с испУскАнием кВАнтА 225 Росселандов пробег 1 = 3,1 104 см, Средний пробег, характеризующий лучеиспускательную способность, /2 —— 0,98 104 см.
Коли размеры тела гораздо меньше, чем длина /„то тело испускает как объемныгй излучатель (см. з 16 гл. 11) и скорость потерь энергии на излучение равна — — = —.е, Я(р 1 Ке где з — удельная внутренняя энергия. В нашем примере У = 2,2 х х 10" грг/смз сек. С учетом энергии диссоциации и ионизации з = = — 41,6 гв/атом, дз =- 4,66 10' зрг/см'.
Начальный масштаб времени лучистого охлаждения т = Оз/Х = 2,12 10 4 сек. $ 4. Эффективное сечение захвата электрона ионом с испусканием кванта Рассмотрим захват свободного электрона водородоподобвым «иовом» с излучением кванта и образованием водородоподобного «атома». Будем, как и в $2, исходить из полуклассических представлений. В классической механике без учета излучения переход от свободных состояний электрона к связанным является непрерывным. Состояние или орбита электрона характеризуются величиной полной энергии Е системы элек- Я О+ трон — ион и (в общем случае) вместо «прицельного ела расстояния» Π— моментом количества движения, также определяющим геометрические паРаметРы тРаектоРии.
Ряс. 5.3. Гиперболическая, параболическая При уменьшении энергии к эллиптическая орбиты электрона. и неизменном моменте гиперболические орбиты, соответствующие положительной энергии Е ) О, непрерывным образом переходят в параболическую (Е = 0) и далее, в связанном состоянии системы, характеризуемом отрицательной энергией, Е ( О, в эллиптические (рис. 5.3). В свете принципа соответствия захват свободного электрона и излучение кванта, энергия которого превышает начальную кинетическую анергию электрона Е, связаны о переходом электрона с гиперболической траектории на эллиптическую.
В классической механике энергия системы электрон — ион может быть произвольной. В квантовой механике энергетический спектр системы непрерывен только, если электрон свободен и Е ) О. В связанном состоянии, при Е ( О, энергия может принимать только дискретные значения. Энергетические уровни водородоподобного атома Е„характеризуются главным квантовым числом и, пробегающим значения от 1 до Оо, ее 2я»язе4 1н= — — = 2ае И» ~н22 и л2 »2 ° (5.25) 1 = 1ИЯ» = ~ Е« ~ — абсолютная величина энергии основного состояния, т. е.
потенциал ионизации. Энергия связи алектрона в п-м квантовом состоянии равна — Е„ = , 'Е„( = 1/п'. Схема уровней атома водорода изображена ва рис. 2.2 в 3 2 гл. 11. Как иавестно, при движении связанного 15 я. В. аельяееич, Ю. П. Райзер 226 ПОГЛОЩЕНИЕ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ 1Гл т электрона в кулоновском поле иона его кинетическая энергия в сред- нем по времени равна половине потенциальной, ваятой с обратным знаком, и равна полной, также взятой с обратным знаком: Е„к„= — Е (2 = = — Е(Е=Е3„„+Еэ„).
Следовательно, в среднем по времени т~4 1 1н23 Екин= — = — -= — —— 2 кР 31 Из этой формулы с учетом неравенства (5.18) видно, что движение элек- трона в сильно возбужденных квантовых состояниях с большим кванто- вым числом и квазиклассично. При рассмотрении тормозного излучения в т 2 мы применяли клас- сическую формулу (5.8) для эффективного излучения, описывая ею «пе- реходы» электрона с одной гиперболической орбиты на другую, отвечаю- щую меныпей энергии, причем распространяли формулу вплоть до пере- ходов на орбиту с бесконечно малой полон«ительной энергией, почти пара- болическую, что соответствовало излучению почти максимальной частоты ,„= Е!Ь. При этом начальная энергия Е предполагалась достаточ- но малой, Е < 1ИЯ», и « 2ИЯе»1Ь, чтобы движение в начальном состоя- нии было квазиклассичным. Движение в конечном состоянии тем более квазиклассично, так как электрон при переходе тернет кинетическую энергию и тормозится.
Поскольку малые отрицательные энергии, как мы только что видели, также соответствуют малым скоростям и отвечающие им эллиптические орбиты также близки к параболической (но только со стороны отрицательных энергий), естественно распространить формулу (5.8) И На СЛуЧай ИЗЛуЧЕНИя ЧаетОт, НЕСКОЛЬКО ПрЕВЫШИЮщиХ ум„, т. Е. на случай захвата электрона на высокие уровни. При этом следует учесть, что конечное состояние электрона попадает в дискретный спектр.
Эффек- тивное излучение в некотором малом, но конечном интервале частот Лу, Лд =. (дд,!ду) Лу, равно согласно квантовой трактовке ЬЕЛа„где ЛО, — эффективное сечение для процессов испускания квантов в малом интервале Лу. Но теперь непускание квантов от Ьу до Ьу + Л (Ьу) соот- ветствует захвату на определенное конечное число уровней Ли и эффек- тивное сечение захвата на них Ла, можно представить в виде произведе- ния О,„Ли, где а,„— среднее сечение захвата на какой-нибудь из уров- ней в этом интервале. Это сечение зависит от среднего номера и в малом интервале Ли. Таким образом, Аос 1 а«1 С Ед ~ Ау (5.26) Аи Ьу Лл Ьу~ 33 ) Аи Воспользовавшись формулой (5.25) для определения энергетического ~ лнп расстояния между уровнями при больших и: — '"1= — = 21ИУЧиз 431 Ап и формулой (5.8) для эффективного излучения, получим эффективное сечение захвата на уровень и свободного электрона, обладающего началь- ной энергией Е = 3ив»(2: 128з« 24«ю 1 2 1 10 м 1нх» 1Н23 ИС3 — — — — еж».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
