Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Череа алементарное кольцо площадью 2яо с(д около иона в 1 сгк проходит 1»',г 2яйг(й электронов. Каждый иа них иалучает энергию ЬЕ эрг. Иалучение этих электронов в 1 сгк равно рия электрона при ЛЕХ,и 2яр с(й грг/сгк. Излучение в 1 сгк электРо- пролетемимополонов, проходящих мимо иона по всевоаможным орби- жительиого иона. там, получится, если проинтегрировать ато выражение по о от 0 до оо. Полное количество энергии излучения, рассчитанное на одни ион и единнчныи поток электронов ЛГ,У = 1 см-е сгк-г, есть д = ~ йЕ.2лйс/д грг см'.
о (5.5) Можно говорить и о количестве энергии, излученной в интервале частот от» до у + ы», о так нааываемом эффективном иалучении Ыд» ( ~ с(д» = д» /. В соответствии с определением (5.3) аффективное »=е излучение, т. е. количество анергии, излученной в интервале частот сЬ иа расчета на один ион и единичный ноток электронов, равно дд„=д» ~ Я»2иодо грг сме. (5.6) о Эффективным излучением определяется спектральная лучеиспускательвая способность вещества, обяаанная тормозному иалучению. Еслн в 1 сме имеется й/е ионов определенного сорта и Ы/»', электронов со скоростями от и до в+ Ыи, то количество ввергни в интервале частот от» до т + 11», испускаемой в 1 сгк в 1 сме в реаультате торможения этих электронов в поле ионов, равно Л+Ы/)1,г с(д грг/яме ггк.
Оценим аффективное иалучение алектронов в кулововском поле иона. Есля ялектрон находится на расстоянии г от иона (радиус-век- *) В соответствии с астрофизичесиими традициями мы будем всегда польаоваться ве круговой частотой 1е = 2я», а обычной, ». **) Это соответствует предположению о том, что иглучеиие мало. 216 поглощвник и испгскАиик излгчкния в газах Ггл. ч тор з'), то иа него со стороны иона действует сила — Уезг/гз. Вызываемое этой силой ускорение равно нс = — яезгlгзт, где т — масса электрона.
Пусть электрон обладает начальной скоростью и и пролетает мимо иона иа прицельном расстоявии о. Время действия силы г д/и, а ускорение в течение этого времени ш Лез/аозт. В разло некии вектора ускорения в интеграл Фурье основную роль играют частоты ч порядка 1/2яз э/2яй *). Можно сказать, что частота т в основном излучается теми электронами, которые пролетают мимо иона па прицельном расстоянии о ° э/2яч, а частоты в интервале от ч до ч + ~/т испускаются главным образом электроиами с прицельными параметрами, заключеивыми в интерс э' вале с(9 — — зЬ 2я — й.
2ячз с Энергия, испускаемая каждым из таких электронов, 2 сз з 2 Язсз /)Е шзг сз 3 тзсзйз„ Зффективиое излучение частоты э соответствует излучеиию электроиов с прицельными параметрами от д до о + с(9, связанными с частотами указанным выше образом, так что 4я изсз НЗ 8яз 2зсз с(д, ЛЕ. 2щ пд — ' — — — — сЬ. 3 тзсзззс 3 тзсасз (5.7) Последовательное вычисление эффективного излучеиия по формулам (5.6), (5.4) с вектором ускорения, найденным из решеиия механической задачи о движении электроиа по гиперболической орбите около иона, проведено в книге Л.
Д. Ландау и Б. М. Лифшица (1). Оио дает: 32нз Язсз тсз й/ = — = —,— — ь '=3У З. з Ъ при» )) —, 2я2сз ' (5.8) 32я 2зсз тсз тсз Чс 3 тзсзсз 1,78ясЕсз Р 2яЕсз ' (5.9) *) Для большей точности мм сохраним чнслеввмй коэффэцнезт 2я. (Осноэвую роль э разложении играют «круговые» частоты, такие, что ом — 1.) Как видим, прп больших частотах точный результат отличается от простой оценки (5.7) только численным множителем 4/)ГЗ = 2,3. При малых частотах точная формула отличается от простой, помимо численного, еще и логарифмическим миожителем, зависящим от частоты. Дело в том, что малые частоты излучаются при далеких столкновениях с большими прицельными параметрами д, причем при ч — +.
О, о -ь. оо столкиовеиия с параметрами 9 ) — дают относительно все больший и больший 2яс вклад в излучеиие частоты т по сравнению со столкновениями с параметрами д —, которые только и учитываются при выводе простой 2яч ' формулы (5.7). Расходимость аффективного излучения со стороны малых частот характерна для медленно спадающего с расстоянием кулоиовского поля, благодаря чему и приобретают столь существенную роль далекие столкповеиия. Эта расходимость устраняется при учете экраиировки, всегда существующей в реальном иовизоваииом газе. Фактически по 9 в формуле (5.6) следует интегрировать ие до бесконечности, а, скажем, до 1 11 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ ИОНА 217 дебаевского радиуса с/, что ограничит излучение со стороны малых частот на частоте ую1, и/2яд. Следует, однако, заметить, что интегральное по спектру излучение д = ~ с)де сходится со стороны малых частот, так как расходимость С)д, ТОЛЬКО ЛОГаРИфМИЧЕСКаЯ Н ВКЛаД ПИКа Ыд, ПРИ и — ь О В ИНтЕГРаЛ по у невелик.
Поэтому если интересоваться интегральным излучением, вопрос об обреаании прицельных параметров р сверху, а частот — снизу не является столь существенным. Излучение больших частот в классической теории не аависит от частоты н аффективное излучение на единичный интервал частот дд,/Й остается конечным даже при и -э- оо *). Формально, полное излучение д = ~ Ыд расходится со стороны больших частот. Это противоречие теории связано с несовершенством классических представлений о движении электрона и устраняется в квантовой теории. Большие частоты, как мы видели, излучаются при пролете электрона мимо иона на маль1х прицельных расстояниях.
Но согласно кваптомехавическим представлениям электрон, обладающий начальным импульсом р = ти, не может быть локализован точнее, чем это диктуется принципом неопределенности /АРЛр — Ь/2я. Поскольку неопределенность в импульсе ие может превышать самого импульса, иет смысла говорить о пря- цЕЛЬИЫХ раССтОяНИяХ МЕНЬШИХ, ЧЕМ дю1о Ь/2ятг. МаКСИМаЛЬНая частота, излучаемая при таких минимальных прицельных параметрах ПО ПОРЯДКУ ВЕЛИЧИНЫ, РаВНа тю,а Р/2пдю1а ПЬРЗ/Ь. ЭтО ОГРаНИЧЕ- ние ивлучаемой частоты сверху имеет весьма наглядный физический смысл.
В квантовой теории тормозное излучение представляется следующим образом. Свободный электрон, обладающий начальной энергией Е =- тэз/2, пролетая мимо иона, может испустить световой квант Ьу. Если после испускания кванта он остается свободным, т. е. удалившись от иона, обладает положительной энергией Е', то, очевидно, электрон не может испустить квант, превышающий начальную энергию Е. Таким Е таз обРазом У аз = —.=- — --, что с точностью До несУЩественного мношах— жителя 1/2 совпадает с ограничением частоты, диктуемым принципом неопределенности.
В квантовой механике свободный электрон представляется плоской волной и понятие прицельного расстояния не имеет строго определенного смысла. Можно говорить о вероятности испускания кванта той или иной частоты, вернее, об эффективном сечении испускания квантов с энергиями от ЬУ до ЬУ + Ы 1ЬУ). Количество энергии, излученной в интервале частот Ыу единичным потоком электронов, взаимодействующих с одним ионом, равно произведению энергии кванта Ьу на аффективное сечение испускания с)а,. Эта величина и соответствует аффективному излучению классической теории: Нд,=йу Йт, эре см'. (5.10) В свете принципа соответствия эффективное излучение частоты т свяаано с переходом электрона с одной <стационарной гиперболической орбитые, отвечающей энергии электрона Е, на другую, отвечающую а) Это справедливо только при условии, что сталкивающиеся частицы обладают разяоимеивыми зарядами (электрон — положительный иои).
При взаимодействии частиц с зарядами одного анака Пд /Ну -1- 0 при и -э. со. 218 ПОГЛОЩЕНИЯ И ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗАХ 1гл. ч энергии Е' = Š— Ьч. Эффективное сечение Ыо„а следовательно, и эффективное излучение Ыд вычисляются в квантовой механике обычными методами, через матричные элементы энергии взаимодействия электрона с ионом. Однако прежде чем приводить реаультат квантовомеханичвского расчета тормоаного излучения, посмотрим, каковы пределы применимости классических формул (5.8), (5.9) и когда, собственно, их нужно заменять квантовомеханическими.
Согласно классическому выводу, формула (5.8) для больших частот справедлива при условии ч )) тпо/2ЛУе». При атом, конечно, нет смысла распространять ее на частоты, превышающие верхний предел, диктуемый квантовыми энергетическими представлениями, ч „„= Е/Ь = то»/2Ь. Перепишем эти ограничепия, накладываемые на частоту в формуле (5.8), в виде Ьчюой Ьч Ь жоо Йо ШВХ ) Ь' Е Е 2пхе» пйе» ' (5.11) Но неравенство Ьг/НЯе» « 1 с точностью до двойки представляет собой не что иное, как условие квазиклассичности движения электрона в кулоновском поле (см., например, !2)) « 1. (5 12) Поэтому классической формулой (5.8) для эффективного излучения частоты ч, ограниченной сверху и сниау неравенствами (5.11), приближенно можно пользоваться при всех тех скоростях электронов, которые удовлетворяют неравенству (5.12).
Если выполнено условие квазнклассичности (5.12), то область применимости формулы (5.8) простирается вплоть до очень малых частот, таких, что Ьч/Е Ьп/я2е» ~ 1. Поскольку обычно интерес представляют кванты, не очень малые по сравнению с МТ, т. е. с энергиями электронов, и вклад пика при ч — ~ 0 в интегральное излучение невелик, формулу (5.8) с успехом можно распространить вплоть до ч =- О, заменив ею формулу (5.9) и тем самым устранив формально расходимость Ыд, при ч -» О. Преобразуем условие квазиклассичности (5 12), которое является условием применимости формулы (5.8), так, чтобы получить условие, накладываемое на энергию электрона, 2«о где ао = Ь'/4я'те' — боровский радиус, а /н = 13,5 ее — потенциал иовизации атома водорода *). Например, в случае водородной плазмы формула (5.8) справедлива вплоть до температур порядка 10 ее 100 000' К; в газе из более тяжелых элементов она справедлива до еще более высоких температур, так как вследствие многократной ионизации возрастают ааряды ионов 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
