Спец часть (часть 3) (3 поток) (2015) (by Кибитова) (1161603), страница 5
Текст из файла (страница 5)
β1 β0 , то вычисление an может быть сведено к вычислению послеiдовательности значений qi = a(2 ) , i = 0, 1, ..., k (каждый следующийэлемент последовательности получаем возведением в квадрат преды- Сложность в среднем15. Сложность в среднем. Сложность рандомизированногоалгоритма.
§ .. ПонятиеПонятие сложностисложности вв среднемсредне짧 .Понятие сложностив среднемДо сихсих порпор мымы исследовалиисследовали сложностьсложность в худшемхудшем случае,случае, теперьтеперь обраобраДоДосих пормы исследовалисложность ввхудшемслучае, теперьобратимся кк сложностисложности в среднем.среднем. МыМы ограничимсяограничимся ситуацией,ситуацией, когдакогда припритимсятимсяк сложности вв среднем.Мы ограничимсяситуацией, когдаприкаждом фиксированномфиксированномзначениизначенииsssразмераразмеравходавходасамисамисоответствусоответствукаждомфиксированномзначенииразмеравходасамисоответствукаждомющие входывходы образуютобразуют конечноеконечноемножествомножествоXXXs=={x∥==s}.БудемБудемющиевходыобразуютконечноемножествоБудемs=ющие{x{x: :∥: x∥∥∥xx∥=s}.s}.sпредполагать, чточто каждомукаждомуxxx∈∈∈XXXssприписанаприписананекотораянекотораявероятностьвероятностьпредполагать,чтокаждомуприписананекотораявероятностьпредполагать,s(x):PPsss(x):(x):P!PPP(x)(x)!!!1,1,1,s(x)000!!ssпри этомэтомэтом!ии при!!(x) =1.1.PPP(x)ss(x)==1.x∈ Xxx∈∈XXs sssТаким образом,образом, припри каждомкаждомдопустимомдопустимомзначениизначенииs ssразмераразмеравходавходаТакимобразом,прикаждомдопустимомзначенииразмеравходамножество XXXss превращаетсяпревращается в вероятностноевероятностноепространство;пространство;попопоумолмножествопространство;умолмножествоумолs превращается вв вероятностноечанию считается,считается,чточтовероятностьвероятностьраспределенараспределенаравномерно:равномерно:считается,чтовероятностьраспределенаравномерно:чанию1NNs s(x)==11, ,,PPPss(x)=s (x)Ns(.)(.)(.)где NNsss——количествоколичествоэлементовэлементовмножествамножестваXXsX.ss.Функции.
ФункцииФункцииотототs ssгде—количествоэлементовмножества!!!!!!TS SS (x)P (x)(x)PPP(x) иCCCATATA(x)CCC(x)PP(x)A(x)s (x)s (x)ss(x) ииss(x)AAx∈∈XXXxx∈s ss (.)(.)(.)x∈X∈sXXssxx∈называютсявременнойвременнойи,и,соответственно,соответственно,пространственнойпространственнойсложноназываютсясложноназываютсявременнойи,соответственно,пространственнойсложностьювсреднемалгоритмаA.Болееподробно:стью в среднемсреднем алгоритмаалгоритма A.A. БолееБолееподробно:подробно: Определение..ПустьприлюбомдопустимомзначенииsмноОпределениеОпределение .... ПустьПусть припри любомлюбомдопустимомдопустимомзначениизначенииs sмномножествоXвсехвходовразмераsявляетсявероятностнымпространжествоXвсехвходовразмераsявляетсявероятностнымпространжество Xsss всех входов размера s является вероятностным пространством, ввв силусилу чегочеговременныевременныеииипространственныепространственныезатратызатратыалгориталгоритством,ством,силучеговременныепространственныезатратыалгоритTSTSма Aдлявходоввходовxxx(т.(т.е.е.CCCATA(x)(x)ииCCS(x))(x))размераразмераs являютсяs являютсяслучайнымаслучайнымаAA длядлявходов(т.е.A (x) и CAAA(x)) размера s являются случайными величинамивеличинаминанаXXXs .s..СложностьюСложностьюв всреднемсреднемназываетсяназываетсяматематичемиматематичемивеличинаминаs Сложностью в среднем называется математическоеожиданиесложности(перваяилииливтораясуммасуммаизиз(.))(.))соответствующейсоответствующей ожидание(перваяскоеожидание(перваяиливтораясуммаиз(.))соответствующей§ское.
Понятиев втораясреднемслучайной величины.величины.случайнойслучайнойвеличины. Сложность в среднем может принимать и нецелые значения, дажеесли функция затрат целочисленна.Для временной и пространственной сложности в среднем алгоритма A мы будем использовать обозначения ¯T¯A (·), S̄¯ A (·). Теорема .. Для любого алгоритма A при любом распределениивероятностей на множестве X s , где s — некоторое допустимое значение размера ∥ · ∥, сложность в среднем не превосходит сложностив худшем случае:¯T¯A (s) ! TA (s), S̄¯ A (s) ! S A (s).Доказательство. Докажем, например, первое неравенство:!!¯T¯A (s) =C AT (x)Ps (x) !(max C AT (x))Ps(x) =x ∈ Xsx ∈ Xsx ∈ Xs=!TA (s)Ps (x) = TA (s)!Ps (x) = TA (s).Сложность в среднем может принимать и нецелые значения, даже(n + 4)(n − 1)¯T¯I целочисленна.(n) =− ln n + O(1)(.)если функция затрат14Для временной и пространственной сложности в среднем алгорити, проще, в виде¯T¯A (·), S̄¯ A (·).ма A мы будем использовать обозначения2¯T¯I (n) = n + O(n).(.)4Теорема ..
Для любого 1 алгоритмаA при любом распределениивероятностейнасложностьмножествев среднемX s , где s —допустимоезна-ваТаким образом,по некотороечислу сравненийпервогочение∥ · ∥, сложностьсреднем некакпревосходитсложностириантаразмерасортировкипростыми ввставками,и сложностьв худшем2вслучае,худшеместьслучае:величина порядка n , но при больших n первая сложность примерно вдвоеменьшевторой.¯T¯A (s)! TA (s),S̄¯ A (s)Формула! S A (s). (.) показывает, что,вообще говоря, вопреки бытовым представлениям сложность в среднапример,первоенеравенство:немДоказательство.не есть среднее Докажем,арифметическоезатратв худшеми в лучшем слу!!TTчае:такоесреднееарифметическоедлярассматриваемой¯T¯A (s) =C A (x)Ps (x) !(max C A (x))PsГлава(x) = .
Сложностьсортировкив среднемx ∈ Xsявляетсяфункциейотnинеможетописыватьсяэтойx ∈ Xрациональнойx∈Xss!!формулой,Этоговоритсодержащейо том,чтологарифм.сложностьпо числу делений!"исследуемая=TA (s)P= TA (s) 1 P2s (x) = Tn−(s).s (x)1 mвместоЕсли рассмотретьслучайныхвеличинξn , ξn , ..., ξnA 1 слу/2в среднем есть Ω2икакфункцияотmэтасложностьнемоx∈Xx∈Xsчайные величины mη1n , η2n , ..., ηnn−1 ,s соответствующим образомотражаВтороенеравенстводоказываетсяаналогично.бытьоцененакакO(md ) сортировкини прикакомdчислу∈Сложность!. перемещений,жетГлавав среднемто,ющиезатратыисследуемойпо. очевидно,иметьНиже в будемэтом параграфемы рассмотримвременную функциясложностьвОпределение..
Вещественнаянеотрицательнаяf (m),Каждаяиз сложностейв среднем какпо числу сравнений,так ипосреднем ряда алгоритмов.определеннаядля дляцелыхаргумента,назыξin ! ηin ! ξinсортировки+ 1,значенийпростымичислуперемещенийдвухположительныхвариантоввстав2ваетсяполиномиальноограниченной,если существуетполиномP(m)..былоуже установлено(пример.),бинарныйi = Пример1,(всего2, ..., nчетыре− 1.КакПоэтомусложностьв nсреднемпокаждаячислуперемещенийкамисложности)есть+O(n);изсложно∗салгоритмвещественнымикоэффициентамитакой,f (m)"−P(m)для всех4возведенияв степень n требуетλчто(n) +λ (n)2 умножеn2+естьстейвсреднемпообщемучислусравненийиперемещенийдлядвухтоже+O(n).Нетруднопоказать,чтоисложностивсреднемm∈!.(Очевидно,чтомыполучимэквивалентноеопределение,еслиний; если в 4качестве размера взять m = λ(n), то сложность 2в худшемnдополнительнопотребуем,чтобывсеполиномаP(m)по числусравненийперемещенийвтороговариантасортислучаебудетравна2mи− числу2.
Подсчитаемсложностьв среднем,привлевариантовэтойсортировки(всегодве коэффициентысложности)есть+O(n).22m−1n 2былидругиеэквивалентныевариантыопределекаяm неотрицательными;какразмер вставкамивхода. Всегоимеетсянеотрицательныхцелых поровкипростымиравны+ O(n).Сложностьв среднемdO(1)рассматриваМожновспомнить,чтовпримере.,вкотороммы4ния:f (m)= O(mm;) еслидля некоторого∈ !числаи f (m)=m.)битовойдлинысчитать все dэтиравновероятными,тосуммарномучислу сравненийи простымиперемещенийи для ихпервого,и для лидлядвухвариантовсортировкивставкамисложностиискомая сложность есть 2n сформулироватьДоказанноеможнотак:в второгохудшемслучаечислупосколькусравненийи2!наm намиmперемещений,вариантаесть+ O(n),дляслучайных2!−по1 суммарному−любых121непохожая ситуация,1 повторимся,∗∗блюдаласьчемуимеется,простое(λ(n)+ λ (n)на− 2)=алгоритмаm − 2 + вероятностномλ делений,(n).
пространвеличинξ, η, определенныхкаком-либоПустьразмеравходапред12mв−1качестве2mξ−пробныхобъяснение:вотличиеот(.),равенствоmax(+η)=m−1m−1 max ξ + max η,n=2n=2стве, выполняетсяназначенногодля распознавания простоты натурального числа n,вообщеговоря,не изимеет.E(чиселξ временные+ η)битовой= Eξ +сложностиEη.(.)Первая цифра mместакаждогодлиныm этогоравна алгоритма1; колипривлекается= λ(n). ТогдаОбщаяформулировкаустановленногонами соотношения:чествочисел,имеющихкроместаршейцифрыещеk,0!k!m−1, как в худшем случае, так и в среднемпо#числу делений не являются"m−1полиномиальноограниченнымифункциямиоте.
m.Теорема двоичных.. Сложностьсреднемнекоторогоалгоритмапо сумненулевыхцифр, вравно(т.числусочетанийизkГлава.Сложностьвсреднеммарномуоперацийнесколькихразличныхтиповравнасуммеm −КраткоеГлава. Сложностьв среднем1 по числуk).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
