В.П. Носко - Эконометрика для начинающих (1160539), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Из проведенного рассмотрения виднаважность не только абсолютных отклонений оценок θ$ j отгипотетических значений параметров θ j , но и точностей( )оценок θ$ j , измеряемых дисперсиями D θ$величинамиsθ$ .Действительно,jи оцениваемыхабсолютныевеличиныjотклонений в рассмотренном примере равны−0.8289 + 1 = 01711.и 11432.− 1 = 01432.,соответственно, т. е. отличаются не очень существенно.Однако sθ$ примерно в 4.3 раза меньше, чем sθ$ , и именно23такое большое отличие sθ$ и sθ$ и приводит, в конечном счете,23к противоположным решениям в отношении гипотезH 0 :θ 2 = −1 и H 0 :θ 3 = 1 .Итак, на основании построенной процедуры гипотезаH 0 :θ 2 = −1 отвергается.

А что же тогда принимается?50Формально, альтернативой для H 0 :θ 2 = −1 в построенномкритерииявляетсягипотезаH 0 :θ 2 ≠ −1 , посколькукритическое множество содержит в равной степени какбольшие положительные, так и большие (по абсолютнойвеличине)отрицательныезначенияtстатистики$$θ 2 + 1 sθ$ . В то же время, значение θ 2 + 1 sθ$ = 4.740 ,()2()2соответствующее отклонению θ$ 2 − ( −1) = 01711, скорее.говорит в пользу того, что в действительности θ 2 > −1 .В этой связи, естественным представляется болееопределенный выбор альтернативной гипотезы, а именно,сопоставление нулевой гипотезе H 0 :θ 2 = −1 одностороннейальтернативы H A :θ 2 > −1 (односторонняя альтернатива— в отличие от двухсторонней альтернативы H 0 :θ 2 ≠ −1 ).При такой постановке задачи отвержение нулевой гипотезыH 0 :θ 2 = −1 в пользу альтернативы H A :θ 2 > −1 производитсятолько при больших положительных отклонениях θ$ − ( −1) , т.2е.

при больших положительных значениях t -статистики.Если мы отнесем к последним значения, превышающиеt 1− α (14 ) = t 0 . 95 (14 ) = 1.761 , то получим статистическийкритерий, у которого ошибка первого рода (уровеньзначимости) равна 0 .05 . Его критическое множествоопределяется соотношениемθ$ 2 + 1> 1.761 ;sθ$2справа стоит теперь значение 1.761 , а не 2 .145 , как этобыло при двухсторонней альтернативе. Поскольку у51()нас θ$ 2 + 1 sθ$ = 4.740 , мы отвергаем гипотезу H 0 :θ22= −1 впользу гипотезы H A :θ 2 > −1 .Построим аналогичную процедуру для параметра θ 3 .Именно, построим критерий уровня 0 .05 для проверкигипотезы H 0 :θ 3 = 1 против односторонней альтернативыH A :θ 3 > 1 . Критическое множество такого критерия должносостоятьиззначенийt -статистики,превышающихt 0 .

95 (14 ) = 1.761 . У нас значениеθ$ 3 − 1= 0.918 < 1.761sθ$3опять меньше порогового, так что гипотеза H 0 :θ 3 = 1 неотвергается в пользу H A :θ 3 > 1 .Обратим теперь внимание на то, что при рассмотрениипары конкурирующих гипотезH 0 :θ 3 = 1 , H A :θ 3 > 1мы выделяем в гипотезу H 0 только одно частное значениеθ 3 = 1 , хотя по-существу дела проблема состоит скорее ввыборе между гипотезамиH 0 : 0 ≤ θ 3 ≤ 1 , H A :θ 3 > 1 .Последняя ситуация коренным образом отличается отпредыдущей: H 0 оказывается сложной гипотезой, т. е.гипотезой, допускающей более одного значения параметра, вданном случае даже бесконечно много значений параметраθ 3 . В противоположность этому, в предыдущей ситуациигипотеза была H 0 простой.Какие осложнения возникают при использовании сложнойнулевой гипотезы?52Возьмем, для примера, частную гипотезу H 0 :θотвергли бы ее в пользу H A :θ 3 > 1 приθ$ 3 − 0.5> t 0.95 (14) = 1761..sθ$3= 0.5 .

Мы3В то же время, частную гипотезу H 0 :θв пользу той же H A :θ 3 > 1 приθ$ 3 − 1> t 0.95 (14) = 1761..sθ$3= 1 мы отвергаем3Иначе говоря, при различных частных гипотезах,входящих в состав сложной нулевой гипотезы H 0 : 0 ≤ θ 3 ≤ 1 ,мыполучаемразличныекритическиемножества,обеспечивающие заданный уровень значимости (ошибку 1-города) 0 .05 . Построение каждого такого множестванепосредственно использует конкретное гипотетическоезначение θ 3 = θ 30 , тогда как в рамках гипотезыH 0 : 0 ≤ θ 3 ≤ 1 отдельное гипотетическое значение параметраθ 3 не конкретизируется.Возникающее затруднение преодолевается, исходя изследующих соображений.

Коль скоро мы не в состояниипостроить единое для всех 0 ≤ θ 3 ≤ 1 критическое множество,вероятность попадания в которое равна α = 0.05 присправедливости каждой отдельной частной гипотезы, следуетпопытаться построить единое для всех 0 ≤ θ 3 ≤ 1 критическоемножество, вероятность попадания в которое при выполнениикаждой отдельной частной гипотезы была бы не большеα = 0.05 . Такая задача реализуется путем использованиякритического множества, соответствующего граничномузначению односторонней гипотезы, в данном случае θ 3 = 1 .53Действительно, пусть мы берем критическое множество$θ 3 −1> 1.761 , соответствующее граничной частной гипотезеsθ$3θ 3 = 1 , так чтоθ$ − 1P 3> 1761.

 = 0.05 .s θ$ 3Тогда, если в действительности верна частная гипотезаθ 3 = 0.5 , тоθ$ − 1P 3.> 1761θ 3 = 0.5 sθ$ 3θ$ − 05.05.= P 3> 1761. +.θ 3 = 05sθ$ sθ$ 33θ$ − 0.5< P 3> 1761.θ 3 = 0.5 = 0.05. sθ$ 3Вообще, какая бы частная гипотеза θ3= θ 30(0 ≤ θ03)≤1ни была верна, вероятность отвергнуть ее в рамках указаннойпроцедуры не превысит 0.05 .В этом контексте, α = 0.05 по-прежнему называетсяуровнем значимости критерия, тогда как понятие ошибки 1го рода уже теряет смысл для критерия в целом.

Уровеньзначимости ограничивает сверху ошибки 1-го рода,соответствующие частным гипотезам, входящим в составсложной нулевой гипотезы.54Основной вывод из сказанного: при указанном подходе кпостроению критериев проверки сложных нулевых гипотезвидаH 0 : θ j < −1 (эластичность при θ j ≤ 0) ,H0 : − 1 ≤ θH0 : 0 ≤ θH0 : θjjj≤ 0 (неэластичность при θ≤ 1 (неэластичность при θ> 1 (эластичность при θjjj≤ 0) ,≥ 0) ,≥ 0)против соответствующих односторонних альтернативможно пользоваться критериями уровня α , построенными дляработы с теми же альтернативами, но при простых гипотезахθ j = −1 , θ j = −1 , θ j = 1 , θ j = 1 , соответственно.Замечание. То же относится и к другим аналогичнымпарам гипотез, в которых вместо значения 1 берутся другиефиксированные граничные значения.2.11.

НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕС ПРОВЕРКОЙ ГИПОТЕЗ О ЗНАЧЕНИЯХКОЭФФИЦИЕНТОВИтак, фактически, мы уже построили критерий проверкигипотезыH 0 : θ 2 < −1против альтернативыH A: − 1 ≤ θ 2 ≤ 0 .Это тот же критерий с уровнем значимости 0.05 , которыйбыл предназначен для проверки гипотезы H 0 : θ 2 = −1 противальтернативы H A : θ 2 > −1.Такой критерий отвергаетгипотезу H 0 при55θ$ 2 + 1sθ$> 1.761 ,2что и имеет место в нашем примере. Соответственно,нулевая гипотеза эластичности потребления текстиля по ценеотвергается.Мы также фактически построили критерий проверкигипотезыH0 : 0 ≤ θ 3 ≤ 1против альтернативыH A: θ 3 > 1 .Это тот же критерий с уровнем значимости 0.05 , которыйбыл предназначен для проверки гипотезы H 0 : θ 3 = 1 противальтернативы H A : θ 3 > 1.Такойкритерийотвергаетгипотезу H 0 приθ$ 3 − 1> 1.761 ,sθ$3что не выполняется в нашем примере.

Соответственно,нулевая гипотеза неэластичности потребления текстиля подоходу отвергается.Представляет, однако, интерес то, какие решения будутприняты, если поменять местами нулевую и альтернативнуюгипотезы.В отношении эластичности по цене возьмем теперь паругипотезH 0 : − 1 ≤ θ 2 ≤ 0 H A : θ 2 < −1 .При построении соответствующего критерия достаточнообратиться к критерию для парыH 0 : θ 2 = −1 H A : θ 2 < −1 ,56который отвергает гипотезу H 0 приθ$ 2 + 1< t α (14) = t 0.05 (14) = −1761.sθ$2(на левом хвосте распределения t (14) ).

Но у насθ$ 2 + 1>0,sθ$2такчтогипотеза H 0 : θ 2 = −1 ,азначит,и H 0 : − 1 ≤ θ 2 ≤ 0 не отвергаются в пользу H A : θ 2 < −1 .Итак, здесь нулевая гипотеза о неэластичностипотребления по цене не отвергается, и это решениесогласуется с отклонением нулевой гипотезы об эластичностипотребления по цене.Рассмотрим, наконец, пару гипотезH 0 :θ 3 > 1 , H A : 0 ≤ θ 3 ≤ 1 .Здесь мы исходим из критерия, предназначенного дляпарыH 0 :θ 3 = 1 , H A : θ 3 < 1 ,и, с учетом использования знаков равенства в этих парах,отвергаем гипотезу H 0 :θ 3 > 1 приθ$ 3 − 1≤ t α (14) = t 0.05 (14) = −1.761 .sθ$3В нашем случаеθ$ 3 − 1= 0.918 > −1761.,sθ$3так что гипотеза H 0 :θ 3 > 1 не отвергается.Итак, здесь нулевая гипотеза эластичности потребления подоходу не отвергается.

Но ранее мы установили, что и нулевая57гипотеза неэластичности потребления по доходу также неотвергается.Из рассмотренного примера мы должны сделатьважнейший вывод:Решения об отклонении или неотклонении одной издвух соперничающих гипотез могут быть различными, взависимости от того, какая из двух гипотез принимаетсяза основную (нулевую).При решении вопроса о характере зависимостипотребления текстиля от его относительной цены оба вариантавыбора нулевой гипотезы дали согласованные результаты:основная гипотеза неэластичности не отвергается, а основнаягипотеза эластичности отвергается.Однако при решении вопроса о характере зависимостипотребления текстиля от располагаемого дохода неотвергаются ни основная гипотеза эластичности ни основнаягипотеза неэластичности. В такой ситуации каждый изисследователей,придерживающихсяпротивоположныхаприорных позиций относительно эластичности илинеэластичности потребления текстиля по доходу, можетсчитать,чтоимеющиесястатистическиеданные«подтверждают» именно его гипотезу, хотя правильнеезаключить, что имеющиеся статистические данные «непротиворечат» его гипотезе в рамках соответствующегостатистического критерия.Мы должны теперь сделать еще одно важнейшеезамечание.

ПустьH0 : θ j ≤ θ 0 H A : θ j > θ 0 .Тогда t — статистика критерия равна58t=θ j −θsθ$0.jГипотеза H 0 отвергается в пользу H A , еслиθ$ j − θ 0> t1−α (n − p) .sθ$jНо t1−α (n − p) > 0 при α < 0 . 5 , и это означает, что еслиθ$ j ≤ θ 0 , то гипотеза H 0не может быть отвергнута впользу H A .Следовательно, если мы сначала оценим по имеющимсястатистическим данным коэффициент θ j , и только послеэтого выберем указанную пару гипотез для некоторогозначения θ 0 ≥ θ$ j , то в такой ситуации построенный по темже данным указанный t -критерий никогда не отвергнетгипотезу H 0 в пользу H A .Аналогично, если мы, оценив θ j , формулируем паругипотезH0 : θ j ≥ θ0H A: θ j < θдля некоторого θ0≤ θ$0j, то тогда соответствующийодносторонний t -критерий, построенный по тем же данным,никогда не отвергнет гипотезу H 0 в пользу H A .В случае двухстороннего t -критерияθ$ j − θ 0> t1−α (n − p)sθ$j59формулирование гипотезы H 0 : θ j = θ 0 с θ 0 = θ$ j ,где θ$ j — оцененное значение параметра θ j , приводит к тому,что эта гипотеза заведомо не будет отвергнута ( t статистика принимает нулевое значение).Логическая ошибка в последних трех случаях состоит втом, что теория статистических критериев строится впредположении, что гипотезы H 0 и H A фиксируются дообращения к статистической обработке данных.В последней ситуации априори нельзя абсолютно точносказать, будет ли значение θ$ j больше или меньше заранеевыбранного гипотетического значения θ 0 .Пример.

Пусть C - совокупные расходы на личноепотребление в США, Y - совокупный располагаемый доход(1970—1979 г. г., млрд. долларов в ценах 1972 г.).Подобранная модельC = −67.655 + 0.979 ⋅ Y .Уже зная, что θ$ 2 = 0.979 , бессмысленно (или нечестно)ставить задачу проверки гипотезы H 0 : θ 2 < 1 противH A : θ 2 ≥ 1 , поскольку на основанииальтернативыимеющихся наблюдений гипотеза H 0 заведомо не будетотвергнута.Онаотвергаетсялишьприбольшихположительных значениях t -статистикиθ$ 2 − 1,sθ$2а у нас числитель последнего отношения принимаетотрицательное значение.

Характеристики

Список файлов книги