В.П. Носко - Эконометрика для начинающих (1160539), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Запишем линейнуюмодель наблюдений в видеBELi = θ 1 + θ 2 ZVETi + ε i , i = 1,K , n .Получаем:КоэффициентS 2 = RSS ( n − 2) = 0161231.(17 − 2) = 0.010749 .θ оценивается величиной θ$ = 0125265.;2( )дисперсия D θ$222θ$оценивается величиной s2= ( 0.062286) .2Для построения 95% — доверительного интервала для θ 2остается найти квантиль уровня 1 − 0.052 = 0.975 распределенияСтьюдента сn − p = 17 − 2 = 15степенями свободы.15Используя, например, Таблицу А.2 из книги Доугерти(стр.368), находим: t 0.975 (15) = 2.131 . Соответственно, получаем95% -доверительный интервал для θ 2 в видеθ$ − t (15) s ≤ θ ≤ θ$ + t (15) s ,2θ$ 20.975т. е.-0.0075 ≤ θДля θ122θ$ 20.975≤ 0.2580 .имеем θ$ = 2.293843 ,21sθ$ = 0.410396 ;95% -1доверительный интервал для θ 1 имеет видθ$ 1 − t 0.975 (15) sθ$ ≤ θ 1 ≤ θ$ 1 + t 0.975 (15) sθ$ ,11т.
е.1.4193 ≤ θ 1 ≤ 31684..В связи с этим примером, отметим два обстоятельства.(а) Доверительный интервал для коэффициента θ 2допускает как положительные, так и отрицательные значенияэтого коэффициента.(б) Каждый из двух построенных интервалов имеетуровень доверия 0.95 ; однако это не означает, что с той жевероятностью 0.95 сразу оба интервала накрывают истинныезначения параметров θ 1 , θ 2 .Справиться с первым затруднением в данном примереможно, понизив уровень доверия до 0.90 . В этом случае ввыражении для доверительного интервала квантильt 0.975 (15) = 2.131 заменяется на квантиль t 0.95 (15) = 1753., такчто левая граница доверительного интервала для θ 2становится положительной и равной 0.0164 .
Однако этодостигается ценой того, что новый доверительный интервалбудет накрывать истинное значение параметра θ 2 в среднемтолько в 90 случаев из 100, а не в 95 из100 случаев.16Что касается второго затруднения, то наиболее простойпуть взятия под контроль вероятности одновременногонакрытия доверительными интервалами для θ 1 , θ 2 истинныхзначений этих параметров связан с тем, чтоP{ оба интервала накрывают θ 1 и θ 2 , соответственно } =1 − P{ хотя бы один из них не накрывает соответствующее θ1 − [ P{ доверительный интервал для θ 1 не накрывает θP{ доверительный интервал для θ2не накрывает θP{ оба интервала не накрывают свои θj} ]=21}−j}+}=1 − [α + α − P{ оба интервала не накрывают свои θ j } ] ≥1 − α − α = 1 − 2α .Следовательно, если построить доверительный интервалдля θ 1 и доверительный интервал для θ 2 с уровнями довериякаждого, равными α ∗ = α 2 , то тогда правая часть полученнойцепочки соотношений будет равна 1 − 2α ∗ = 1- α .Это означает, что в нашем примере мы можемгарантировать, что вероятность одновременного накрытияистинныхзначений θ 1 , θ 2соответствующимидоверительными интервалами будет не менее 0.95 , есливозьмем α ∗ = 0.025 .
Но тогда при построении этих интерваловпридется использовать вместо значенияt1− α (15) = t 0.975 (15) = 2.1312значениеt a ∗ (15) = t1− 0 .025 (15) = t 0.9875 (15) = 2.49 ,1−22так что каждый из исходных интервалов увеличится в2.9 2.131 ≅ 117.раза. Это, конечно, приводит к еще более17неопределенным выводам относительно истинных значенийпараметров θ 1 , θ 2 .2.7. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗО ЗНАЧЕНИЯХ КОЭФФИЦИЕНТОВВ только что рассмотренном примере мы построили95% — доверительный интервал для параметра θ 2 в видеθ$ − t (15) s $ ≤ θ ≤ θ$ + t (15) s $ ,20.975θ2220.975θ2т.
е.-0.0075 ≤ θ 2 ≤ 0.2580 .Существенно, что при любом истинном значениипараметра θ 2вероятность накрытия этого значенияпостроенным доверительным интервалом равна 0.95 .Рассмотрим значение θ 2 = 1 ; построенный интервал его ненакрывает. Однако если θ 2 действительно равняется 1, товероятность такого ненакрытия равна 1 − 0.95 = 0.05 . Такимобразом, факт ненакрытия значения θ 2 = 1 построенныминтерваломпредставляет(вслучае,когда θ 2 = 1 )осуществление довольно редкого события, имеющего малуювероятность 0.05 , и это дает нам основания сомневаться в том,что в действительности θ 2 = 1 .То же самое относится и к любому другомуфиксированному значению θ 02 , не принадлежащемууказанному 95% -доверительному интервалу: предположение отом, что в действительности θ 2 = θ 20 , представляетсямаловероятным.Подобного рода предположения называют в этомконтекстестатистическимигипотезами(statistical18hypothesis).
О проверяемой гипотезе говорят как об исходной— «нулевой» (maintained, null) гипотезеи обозначают такую гипотезу символом H 0 , так что впоследнем случае мы имеем дело с гипотезойH 0 : θ 2 = θ 02В соответствии со сказанным выше, такую гипотезуестественно отвергать (отклонять), если значение θ 02 непринадлежит 95% -доверительному интервалу для θ 2 , т. е.интервалу[-0.0075, 0.2580] .Вспоминая, как этот интервал строился, мы замечаем,что θ 02 не принадлежит этому интервалу тогда и только тогда,когдаθ$ 2 − θ 02> t 0.975 (15) ,sθ$2т. е. когда наблюдаемое значение отношенияθ$ 2 − θ 02sθ$2«слишком велико» по абсолютной величине. Последнееозначает «слишком большое» отклонение оценки θ$ 2 отгипотетического значения θоценкой sϑ$значения2параметра θ 2 , в сравнении с02( )D θ$2корня из дисперсии оценкиэтого параметра.Итак, если19θ$ 2 − θsθ$02> t 0.975 (15) ,2мы отвергаем гипотезу H 0 : θ 2 = θ 02 . Однако выполнениеэтого неравенства для некоторого значения θ 02 вовсе неозначает, что гипотеза H 0 :θ 2 = θ 20 обязательно не верна.Если в действительности θ 2 = θ 20 , то все же имеетсявероятность 1 − 0.95 = 0.05 того, что это неравенство будетвыполнено.В последнем случае, в соответствии с выбраннымправилом, мы все же отвергнем гипотезу H 0 , допустив приэтом «ошибку 1-го рода».
Такая ошибка происходит в среднемв 5 случаях из ста.Если бы мы выбрали произвольный доверительныйуровень 1 − α , то тогда мы отвергали бы гипотезу H 0 :θ 2 = θ 20при выполнении неравенстваθ$ 2 − θ 02> t1− α (15) ,2sθ$2и ошибка 1-го рода происходила в среднем в 100α случаевиз 100. Точнее, вероятность ошибки 1-го рода была бы равнаα:P{ H 0 отвергается H 0 верна } = α .Само правило решения вопроса об отклонении илинеотклонении статистической гипотезыH 0 называетсястатистическим критерием проверки гипотезы Н0, авыбранное при формулировании этого правила значение αназывается уровнем значимости критерия.20Выбор большего или меньшего значения α определяетсястепенью значимости для исследователя исходной гипотезыH 0 . Скажем, выбор между значениями α = 0.05 и α = 0.01 впользу α = 0.01 означает, что исследователь заранее настроенв пользу гипотезы H 0 и ему требуются очень весомыеаргументы, свидетельствующие против этой гипотезы, чтобывсе же отказаться от нее.
Выбор же в пользу уровнязначимости α = 0.05 означает, что исследователь не стольсильно отстаивает гипотезу H 0 и готов отказаться от нее ипри менее убедительной аргументации против этой гипотезы.Всякий статистический критерий основывается наиспользовании той или иной статистики (статистикикритерия), т. е. случайной величины, значения которой могутбыть вычислены (по крайней мере, теоретически) наоснованииимеющихсястатистическихданныхираспределение которой известно (хотя бы приближенно).В нашем примере критерий проверки гипотезыH 0 :θ 2 = θ 20 основывался на использовании t-статистикиθ$ 2 − θ 02,sθ$2значение которой можно вычислить по даннымнаблюдений, поскольку θ 02 — известное (заданное) число, аθ$ и s 2 вычисляются на основании данных наблюдений.2θ$ 2Каждому статистическому критерию соответствуеткритическое множество R значений статистики критерия,при которых гипотеза H 0 отвергается в соответствии спринятым правилом.
В нашем примере таковым является21множество значений указанной t -статистики, превышающихпо абсолютной величине значение t1− α (15) .2Итак, статистический критерий определяется заданиемa. статистической гипотезы Н 0;b. уровня значимости α;c. статистики критерия;d. критического множества R.Можно подумать, что пункты b) и d) дублируют другдруга, поскольку в нашем примере критическое множество Rоднозначно определяется по заданному уровню значимости α .Однако, как мы увидим в дальнейшем, одному и тому жеуровнюзначимостиможносопоставитьразличныекритические множества, что дает возможность выбиратьмножество R наиболее рациональным образом, в зависимостиот выбора гипотезы H0 (выбор наиболее мощного критерия).Компьютерные пакеты программ статистическогоанализа данных первоочередное внимание уделяют проверкегипотезыH0 : θ j = 0в рамках нормальной модели множественной линейнойрегрессииyi = θ 1 xi1 +K+θ p xip + ε i , i = 1,K , n,с εi()∼ i.
i. d. N 0, σ 2 . Эта гипотеза соответствуетпредположению исследователя о том, что j -я объясняющаяпеременная не имеет существенного значения с точкизрения объяснения изменчивости значений объясняемойпеременной y , так что она может быть исключена измодели.Для соответствующего критерия22H0 : θa.j= 0;b. уровень значимости α повыбирается равным 0.05 ;c. статистика критерия имеет видθ$ j − θ 0j θ$ j=;sθ$sθ$jумолчаниюобычноjесли гипотеза H 0 : θj= 0 верна, то эта статистика имеетt - распределение Стьюдента с n − p степенями свободы,θ$ j∼ t ( n − p) ,sθ$jв связи с чем ее обычно называют t-статистикой (tstatistic) илиt-отношением (t-ratio);d) критическое множество имеет видθ$ j> t1− α (n − p) .2sθ$jПри этом, в распечатках результатов регрессионногоанализа (т. е.
статистического анализа модели линейнойрегрессии) сообщаются:• значение оценки θ$ j параметра θ j в графе Коэффициенты(Coefficient);• значениеsθ$знаменателяt-статистикивграфеjСтандартная ошибка (Std. Error);• значение отношения θ$ j sθ$ в графе t-статистика (tjstatistic).23Кроме того, сообщается также• вероятность того, что случайная величина, имеющаяраспределение Стьюдента с n − p степенями свободы,примет значение, не меньшее по абсолютной величине, чемнаблюденное значение θ$ s — в графе Р-значение (Рθ$ jjvalue или Probability).В отношении полученного при анализе Р-значениявозможны следующие варианты.Если указываемое P-значение меньше выбранного уровнязначимости α , то это равносильно тому, что значение tстатистики θ$ j sθ$ попало в область отвержения гипотезы H 0 ,jт.θ$е.jsθ$ > t1− α (n − p) .
В этом случае гипотезаj2H0отвергается.Если указываемое P-значение больше выбранного уровнязначимости α , то это равносильно тому, что значение tстатистики θ$ j sθ$ не попало в область отвержения гипотезыjH 0 :θj= 0 , т. е. θ$jsθ$ < t 1− α (n − p) . В этом случае гипотезаj2H 0 не отвергается.Если (в пределах округления) указываемое P-значениеравно выбранному уровню значимости α , то в отношениигипотезы H 0 :θ j = 0 можно принять любое из двух возможныхрешений.В случае, когда гипотеза H 0 :θ1),говорят,чтопараметр θjj= 0 отвергается (вариантстатистическизначим(statistically significant); это соответствует признанию того, чтоналичие j-й объясняющей переменной в правой части модели24существенно для объяснения наблюдаемой изменчивостиобъясняемой переменной.Напротив, в случае, когда гипотеза H 0 :θ j = 0 неотвергается(вариант2),говорят,чтопараметр θjстатистически незначим (statistically unsignificant).
В этомслучае в рамках используемого статистического критерия мыне получаем убедительных аргументов против предположенияо том, что θ j = 0 . Это соответствует признанию того, чтоналичие j-й объясняющей переменной в правой части моделине существенно для объяснения наблюдаемой изменчивостиобъясняемой переменной, а следовательно, можно обойтись ибез включения этой переменной в модель регрессии.Впрочем, выводы о статистической значимости (илинезначимости) того или иного параметра модели зависят отвыбранного уровня значимости α : решение в пользустатистической значимости параметра может измениться напротивоположное при уменьшении α , а решение в пользустатистической незначимости параметра может измениться напротивоположное при уменьшении значения α .Пример.
В уже рассматривавшемся выше примере суровнями безработицы в США получаем в распечаткеR 2 = 0.212375 и следующую таблицу:Переменная1ZVETКоэф-т2.2940.125Ст. ошибка0.4100.062t-статист.5.5892.011P-знач.0.00010.0626Соответственно, при выборе уровня значимости α = 0.05коэффициентприпеременнойZVETпризнаетсястатистически незначимым ( P -значение больше уровнязначимости). Однако, если выбрать α = 010. , то P -значениеменьше уровня значимости, и коэффициент при переменнойZVET придется признать статистически значимым.25Пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
