В.П. Носко - Эконометрика для начинающих (1160539), страница 20
Текст из файла (страница 20)
долларов. Тогдапрогнозируемый по подобранной модели объем совокупныхрасходов на личное потребление в 1980 году равенC$1980 = −66.595 + 0.978 * 1030 = 940.75 ,так что если выбрать уровень доверия 0.95 , тоt crit = t1− 0.05 (n − 2) = t 0.975 (8) = 2.3062и доверительный интервал для соответствующегоDPI ∗ = 1030 значения C$1980 имеет вид940.75 − 2.306 * 9.8228 ≤ C$≤ 940.75 + 2.306 * 9.8228 ,1980т. е.940.75 − 22.651 ≤ C$1980 ≤ 940.75 + 22.651 ,или918.099 ≤ C$1980 ≤ 963.401 .Заметим, что интервал достаточно широк и его нижняяграница допускает даже возможность некоторого сниженияуровня потребления по сравнению с предыдущим годом.В действительности, в 1980 г.
совокупный располагаемыйдоход достиг 1021 млрд. долларов, а совокупное потребление —931.8 млрд. долларов. Тем самым, ошибка прогноза составила940.75 − 9318.⋅ 100 = 0.96%.9318.69Если бы мы исходили при прогнозе из действительногозначения DPI 1980 = 1021 , а не из DPI ∗ = 1030 , топрогнозируемое значение для C1980 равнялось бы 931.94 иошибка прогноза составила всего лишь93194. − 9318.⋅ 100 = 0.015%.9318.Проиллюстрируем, наконец, как изменяется в этомпримере длина 95%-доверительных интервалов в интерваленаблюдавшихся значений объясняющей переменной DPI . Награфике приведены отклонения нижней и верхней граництаких интервалов от центра интервала:3020100BAND_DOWNBAND_UP-10-20-308008509009501000DPI_72В случае модели множественной линейной регрессииpyi = ∑ θ j xi j + ε i , i = 1,K , n,j =1pточечныйпрогноззначенияy ∗ = ∑ θ j x ∗j + εj =1(∗соответствующего фиксированному набору x ∗ = x1∗ ,K , x ∗pзначений объясняющих переменных, дается формулойpY$ ∗ = ∑ θ$ j x ∗j ,j =170,)θ$ 1 ,K ,θ$ p — оценки наименьших квадратовпараметров θ 1 ,K , θ p .
Интервальный прогноз имеет видгдеY$ ∗ − t 1− α ( n − p) ⋅ sY$ ∗ − Y ∗ ≤ Y ∗ ≤ Y$ ∗ + t 1− α ( n − p) ⋅ sY$ ∗ − Y ∗2где2((s 2Y$ ∗ −Y ∗ = S 2 1 + x ∗ X T X) (x )−1∗ T)дисперсииошибкипрогноза,а— оценка2S = RSS (n − p) - несмещенная оценка дисперсииσ 2 случайных ошибок.71ЧАСТЬ 3. ПРОВЕРКА ВЫПОЛНЕНИЯСТАНДАРТНЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ ОБОШИБКАХ В ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИНАБЛЮДЕНИЙ.
КОРРЕКЦИЯСТАТИСТИЧЕСКИХ ВЫВОДОВ ПРИНАРУШЕНИИСТАНДАРТНЫХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙОБ ОШИБКАХ3.1. ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ ПОДОБРАННОЙМОДЕЛИ ИМЕЮЩИМСЯ СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ:ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫВесь рассмотренный нами комплекс процедур получениястатистических выводов для линейной модели регрессии(простой или множественной) опирается на вполнеопределенные предположения о модели наблюдений.В связи с этим, большие значения коэффициентадетерминации R 2 (близкие к 1) или статистическаязначимость коэффициентов вовсе не обязательно говорят отом, что подобранная модель действительно хорошосоответствует характеру статистических данных(адекватна статистическим данным).В этом отношении весьма поучителен искусственныйпример с четырьмя различными множествами данных,которые имеют качественно различные диаграммы рассеянияи в то же время приводят при использовании моделинаблюденийyi = α + β xi + ε i , i = 1,K , n,к одним и тем же (в пределах двух знаков после запятой)оценкам параметров, значениям коэффициента R 2 и t статистик.
Эти множества данных приведены в следующейтаблице.i1234567891011Множество 1xy2016.061613.902615.161817.622216.662819.921214.4888.522421.68149.641011.36Множество 2xy2018.281616.282617.481817.542218.522816.201212.2686.202418.261414.52109.48Множество 3xy2014.921613.542625.481814.222215.622817.681212.16810.782416.301412.841011.46Множество 4xy1613.161611.521615.421617.681617.941614.081610.503825.001611.121615.821617.98Для всех четырех множествподобранная модель линейной связи имеет видy = 6.00 + 0.50 x ,α$ имеет (оцененную) стандартную ошибку sα$ = 112.
,β$ имеет (оцененную) стандартную ошибку sβ$ = 012. ,t -статистика для проверки нулевой гипотезы H 0 : α = 0равна 2.67, что соответствует P -значению 0.026,t -статистика для проверки нулевой гипотезы H 0 : β = 0равна 4.24, что соответствует P -значению 0.002,R 2 = 0.67 .4Y2 vs. X2252020Y2Y1Y1 vs. X12515101510555101520253051015X1202530X2Однако диаграммы рассеяния различаются кореннымобразом:Y3 vs. X3Y4 vs.
X430302525Y4Y320201515105105101520X32530152025303540X4Уже чисто визуальный анализ четырех диаграмм рассеянияпоказывает, чтотолько первое множество данных можно признатьудовлетворительноописываемымлинейноймодельюнаблюденийyi = α + β xi + ε i , i = 1,K , n .5Для второго множества более подходящей представляетсямодельyi = α + β xi + γ xi2 + ε i , i = 1,K , n .В третьем множестве выделяется одна точка (3-енаблюдение), которая существенно влияет на наклон иположение подбираемой прямой.Четвертое множество совершенно непригодно для подборалинейной зависимости, поскольку подобранная прямаяфактически определяется наличием одного выпадающегонаблюденияМетод наименьших квадратов достаточно устойчив кмалым отклонениям от стандартных предположений, в томсмысле, что при таких малых отклонениях статистическиевыводы на основе анализа модели в основном сохраняются.Однакосущественныеотклоненияотстандартныхпредположений могут серьезно исказить выводы на основестатистического анализа модели.
В связи с этим необходимоиметь возможность обнаружения отклонений отстандартных предположений,иметь инструментарий для коррекции выявленныхотклонений от стандартных предположений, позволяющийпроводить строгий и информативный анализ статистическихданных.Эффективным средством обнаружения отклонений отстандартных предположений о линейной модели наблюденийyi = θ 1 xi 1 +K+θ p xi p + ε i , i = 1,K , n,является анализ остатков, т.
е. анализ разностейei = yi − y$ i , i = 1,K , n .Наблюдаемые разности yi − y$ i мы, в силу случайностизначений ε i в модели наблюдений, можем рассматривать как6значения соответствующих случайных величин Yi − Y$i , закоторыми сохраним те же обозначения ei .Если выполнены наши стандартные предположения омодели наблюдений, то остатки ei , рассматриваемые какслучайныевеличиныe = Y − Y$ ,имеютнулевыеiiiматематические ожиданияE ( ei ) = 0 , i = 1,K , n ,и дисперсииD( ei ) = σ 2 (1 − pi i ), i = 1,K , n ,где pi i — i -й диагональный элемент квадратной (n × n) матрицы(P= X XTX)−1XT .Таким образом, несмотря на то, что дисперсии ошибок ε iравны между собой при наших предположениях (все ониравны σ 2 ), дисперсии остатков, вообще говоря, различны.Для выравнивания дисперсий можно перейти крассмотрению нормированных остатковeiei=, i = 1,K , n ,D( ei ) σ 1 − pi iдля которых e i = 1 , i = 1,K , n .D D( e ) i Поскольку значение σ 2 опять не известно, вместонормированныхостатковприходитсяиспользовать«стьюдентизированные» остатки7eidi =S 1 − pi i,i = 1,K , n ,где, как обычно, S 2 = RSS / ( n − p) .Во многих пакетах программ величины pi i в знаменателеправой части выражения для d i игнорируются, что приводит ктак называемым «стандартизованным» остаткамeci = i , i = 1,K , n ;Sтак сделано, например, в пакете EXCEL.
Практическийанализ показывает, что графики остатков d i и c i обычно малоотличаются по характеру поведения. Поэтому дляпредварительного графического анализа адекватности вполнеможно удовлетвориться значениями c i , i =1,K,n. К тому же,можно показать, чтоn∑pii=pi =1( p — количество объясняющих переменных), так что еслиp << n ( p много меньше n), то «в среднем» значения pi iдостаточно малы.Графикистандартизованных(стьюдентизированных)остатков позволяют выявлять типичные отклонения отстандартных предположений о модели наблюдений похарактеру поведения остатков. При этом имеется в виду, что,по крайней мере при большом количестве наблюдений,поведение остатков e i , i =1,K,n, должно имитироватьповедение ошибок ε i , i =1,K,n.
Иначе говоря, поскольку мыпредполагаем, что ошибки ε i , i =1,K,n — независимые всовокупности случайные величины, имеющие одинаковое8нормальноераспределение(N 0, σ2),тоожидаем,чтоповедение последовательности остатков e i , i =1,K,n должноимитировать поведение последовательности независимых всовокупности случайных величин, имеющих одинаковоенормальное распределение N 0, σ 2 . Соответственно, от()стандартизованных остатков можно было бы ожидатьповедения, похожего на поведение последовательностинезависимых в совокупности случайных величин, имеющиходинаковое стандартное нормальное распределение N (0,1) .Строго говоря, последнее ожидание не вполне верно.Именно, хотя стандартизованные остатки и имеютраспределения, близкие (хотя бы при больших n ) кстандартному нормальному, они не являются взаимнонезависимыми случайными величинами.
Это можно понятьхотя бы из того, что (как мы помним) при использованииоценок наименьших квадратов алгебраическая сумма остатковравна нулю, так что каждый остаток линейно выражается черезостальные остатки. Тем не менее при большом количественаблюдений наличие такого соотношения между остаткамипрактически не делает картину поведения стандартизованныхостатков сколь-нибудь существенно отличной от поведенияпоследовательности независимых в совокупности случайныхвеличин, имеющих одинаковое стандартное нормальноераспределение N (0,1) .Наиболее часто для диагностики (проверки на наличие)типичных отклонений используют графики зависимостистандартизованных остатков (как ординат) отоцененных значений y$ i = θ$ 1 xi 1 +K+θ$ p xi p ;отдельных объясняющих переменных;9номера наблюдения, если наблюдения производятся впоследовательные моменты времени с равными интервалами.График зависимости c i отy$ i = θ$ 1 xi 1 +K+θ$ p xi pпозволяет выявлять три довольно распространенных дефектамодели:Выделяющиеся наблюдения (outliers) — наличиеотдельных наблюдений, для которых либо математическое( i) существенно отличается от нуля либоD(ε ) существенно превышает величинуiожидание ошибки E εдисперсия ошибкиσ2дисперсий остальных ошибок.
Подобные наблюдениямогут обнаруживать себя на указанном графике какнаблюдения со «слишком большими» по абсолютной величинеостатками. Такая ситуация возникает, например, при подборепрямой по третьему (из четырех рассматривавшихся выше)множеству данных:RESID03_STAND vs. Y3F3RESID03_STAND210-14681012Y3FНеоднородность дисперсий (heteroscedasticity), например,( i) отв форме той или иной функциональной зависимости D εвеличины θ 1 xi 1 +K+θ p xi p .
Так, если рассматриваемый графикимеет вид104RESID_STAND20-2-4050100150200YFто это скорее всего отражает возрастание дисперсийошибок с ростом значений θ 1 xi 1 +K+θ p xi p .Неправильная спецификация модели в отношениимножества объясняющих переменных, приводящая кнарушению()E ε ≡0,iсоотношения( )такчтоE Y$i ≠ θ 1 xi 1 +K+θ p xi p . Такая ситуация возникает, например,при оценивании второго множества данных из четырехрассматривавшихся выше:RESID02_STAND vs. Y2F2RESID02_STAND10-1-24681012Y2FГрафикзависимостиciотзначенийx ijj-йобъясняющейпеременнойполезендлявыявлениянелинейной зависимостиy от j-й объясняющей11переменной.Например,длявторогоискусственных множеств данных имеемизчетырехRESID02_STAND vs. X22RESID02_STAND10-1-2246810121416X2График зависимости остатков от номера наблюденияполезен в случае, когда наблюдения производятсяпоследовательно во времени (через равные интервалывремени).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
