Решения задач (2002) (1160024)
Текст из файла
Ìîñêîâñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé Óíèâåðñèòåòèìåíè Ì. Â. ËîìîíîñîâàÔàêóëüòåò Âû÷èñëèòåëüíîé Ìàòåìàòèêè è ÊèáåðíåòèêèÊàôåäðà Îáùåé ÌàòåìàòèêèÇàäà÷è ïî ôóíêöèîíàëüíîìóàíàëèçó(V ñåìåñòð)ëåêòîð äîöåíòðåøåíèÿ ñòóäåíòû 318 ãðóïïûÅ. À. Ïîïîâ, À. Ä. Ïîñïåëîâ, Ä. Â. Õîâðàòîâè÷Í. Þ. ÊàïóñòèíÌîñêâà 200211.[]2] Êàêîâà ìîùíîñòü âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà [a; b]?Îáîçíà÷èì C = ff (x) j f (x) 2 C [a; b]g.Ðåøåíèå.Ïîêàæåì äëÿ íà÷àëà, ÷òî ìîùíîñòüCíå ìåíüøå êîíòèíóóì. Äåéñòâèòåëüíî,c 2 R ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ f (x) = c 8 x 2 [a; b], ïðè÷åì äëÿ ðàçíûõc ýòè ôóíêöèè ðàçëè÷íû.Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ìîùíîñòü C íå ïðåâîñõîäèò êîíòèíóóì (ýòèì ìû ïîêàæåì, ÷òî ìîùíîñòü C â òî÷íîñòè ðàâíà êîíòèíóóì). Äåéñòâèòåëüíî, çàäàäèìñÿ íåêîòîðûì ôèêñèðîâàííûì äëÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé " > 0.
Ïóñòüf (a) = ; f (b) = . Òîãäà ôóíêöèè f (x) 2 C íà [a; b] ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèååå íåïðåðûâíîå ïðîäîëæåíèå íà îòðåçêå [a; b + "] ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó:äëÿ êàæäîãî(f (x);f 0 (x) =x"+ b ;"x 2 [a; b];x 2 (b; b + "] :Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî òàêîå ïðîäîëæåíèå íåïðåðûâíî. Çàìåòèì, ÷òî îíî âçàèìíîîäíîçíà÷íî: äåéñòâèòåëüíî, êàæäîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, çàäàííîé íà îòðåç-[a; b + "], ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå îäíîçíà÷íûì îáðàçîì íåïðåðûâíóþ[a; b] ïðîñòûì ñóæåíèåì îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ.0Çàìåòèì, ÷òî çíà÷åíèÿ f (x) íà êîíöàõ îòðåçêà îïðåäåëåíèÿ ñîâïàäàþò, ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäíèå ×åçàðî òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ôóðüå ýòîé ôóíêöèè0ñõîäÿòñÿ ðàâíîìåðíî ê f (x). Èíûìè ñëîâàìè, ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëîâûå ïî11ñëåäîâàòåëüíîñòè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë fan gn=0 ; fbn gn=0 , ÷òî1 Xa+b2na+b2n0x+ + b sinx+ :f (x) =a cosêåôóíêöèþ, çàäàííóþ íà îòðåçêån=0nb aa bnb aa bÑïîñîáîâ îïðåäåëèòü òàêóþ ôóíêöèþ íå áîëüøå, ÷åì ñïîñîáîâ âûáîðà ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåéfang1n=0; fbng1n=0.
Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà òàêèõðÿäîâ ðàâíà êîíòèíóóì, òàê êàê îíà ñîâïàäàåò ñ ìîùíîñòüþ ìíîæåñòâà ñïîñîáîâ âûáðàòü ñ÷åòíîå ÷èñëî âåùåñòâåííûõ êîýôôèöèåíòîâ.Äðóãèì ñïîñîáîì ïîêàçàòü âåðõíþþ îöåíêó íà ìîùíîñòü ÿâëÿåòñÿ óòâåðæäåíèå, ÷òî ëþáóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ äîñòàòî÷íî çàäàòü íà ìíîæåñòâå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðîå âñþäó ïëîòíî íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé. Êîíå÷íî, íåâñÿêîå òàêîå çàäàíèå îïðåäåëèò íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ, íî, òåì íå ìåíåå, ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ çàäàíèé ñîäåðæèò â êà÷åñòâå ïîäìíîæåñòâà âñå íåïðåðûâíûåôóíêöèè.
Äåéñòâèòåëüíî, ê ëþáîìó ÷èñëó íà ïðÿìîé ñõîäèòñÿ êàêàÿ-òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, òî åñòü çíà÷åíèå â ýòîé òî÷êå îäíîçíà÷íî2îïðåäåëåíî. Íî ìîùíîñòü ìíîæåñòâà òàêèõ çàäàíèé ðàâíà â òî÷íîñòè êîíòèíóóì, òàê êàê ñîîòâåòñòâóåò âûáîðó ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.2.[]2] Äîêàçàòü, ÷òî ïîäìíîæåñòâî M C [0; 1] òàêîå, ÷òîM = ff (x) j A 6 f (x) 6 B g; çàìêíóòîå â C [0; 1].Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ñèëüíî ñõîäÿùóþñÿ ôóíêöèîíàëüíóþ ïî-ñëåäîâàòåëüíîñòüÈçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáîãîx0 ,ffn(x)g1n=0 M:÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüíè÷åíà ñâåðõó è ñíèçó êîíñòàíòàìèAèBñîîòâåòñòâåííî, ñëåäîâàòåëüíî, ïîèçâåñòíîé òåîðåìå î ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ,lim (x0 ), åñëè îí ñóùå-fn!1 nñòâóåò, òàêæå îãðàíè÷åí ñâåðõó è ñíèçó êîíñòàíòàìèëþáûõAèB.Ýòî âåðíî äëÿx 2 [0; 1], ñëåäîâàòåëüíî, âûïîëíÿåòñÿ äâîéíîå íåðàâåíñòâîA 6 nlimf (x) 6 B!1 nÒàêèì îáðàçîì,8 x 2 [0; 1]:lim (x) 2 M è ffn(x0 )g1n=0 ñõîäèòñÿ ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè.fn!1 nÑëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ3.ffn(x0 )g1n=0 îãðà-M çàìêíóòî.[]2] ßâëÿåòñÿ ëè ìíîæåñòâî M íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ A < f (x) < B îòêðûòûì â C [0; 1]?Ðåøåíèå.
Ïîêàæåì, ÷òî êàæäàÿ ôóíêöèÿ èçMâõîäèò â íåãî âìåñòå ñ íåêîòî-ðûì ìíîæåñòâîì, äëÿ êîòîðîãî îíà ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé. Äåéñòâèòåëüíî,8 f (x) 2 C [0; 1]; A < f (x) < B =) 9 " > 0 : A + " 6 f (x) 6 B ":""âèäà f (x) + Æ âõîäÿò â M ,Èíûìè ñëîâàìè, äëÿ ëþáîãî2 6 Æ 6 02 ôóíêöèèòî åñòü äîñòàòî÷íî âçÿòü ìíîæåñòâî M =f (x) j A + 2" < f (x) < B 2" , äëÿêîòîðîãî4.f (x) áóäåò ÿâëÿòüñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé, ñîäåðæàùååñÿ â M .[]3] Äîêàçàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî m îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñ ìåòðèêîé (x; y ) = supjxiyi j ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ïðîñòðàíñòâîì.i3Ðåøåíèå.
Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ôóíäàìåíòàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüfxng1n=0:Ïî îïðåäåëåíèþ ôóíäàìåíòàëüíîñòè(xn ; xm )! 0 () sup j(xn )i (xm)i jm;n!1i!0n;m!1=) 8 " > 0 9 N : 8 n; m > N; 8 i ) j(xn)i (xm )ij < 2" :Èç ýòîãî ñëåäóåò ôóíäàìåíòàëüíîñòü, à, ñëåäîâàòåëüíî, è ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòèf(xn)i g1i=0 ê íåêîòîðîìó (x0 )i.  òàêîì ñëó÷àå, óñòðåìèâ â ïîñëåä-íåì íåðàâåíñòâåm ê áåñêîíå÷íîñòè, ïîëó÷èì, ÷òî8 " > 0 9 N : 8 n > N; 8 i ) j(xn)i (x0 )ij 6 2" < ":supj(xn )i (x0)i j n!1! 0, òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fxn g1n=0iñõîäèòñÿ ê x0 = ((x0 )1 ; (x0 )2 ; : : : ).
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîñòðàíñòâî m ïîëíîå.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî5.[]2] Ïóñòü A îòîáðàæåíèå n-ìåðíîãîïðîñòðàíñòâà â ñåáÿ, çàäàâàåìîå ñèñòånPìîé ëèíåéíûõ óðàâíåíèé yi =(aij xj + bj ) èëè Ax = Y b.  ïðîñòðàíñòâåj =1ââåäåíà ìåòðèêà äâóìÿ ñïîñîáàìè:(a)(x; y ) = maxjxii(b)(x; y ) =ãäånPi=1yi j, èjxi yij,x = (x1 ; x2 ; : : : ; xn ); y = (y1 ; y2 ; : : : ; yn). Äîêàçàòü, ÷òî óñëîâèånXi=1jaij j 6 < 1; j = 1; : : : ; nÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì, ÷òîáû îòîáðàæåíèå ÿâëÿëîñü ñæàòèåì.Ðåøåíèå.
Îáîçíà÷èìn-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî èç óñëîâèÿ ÷åðåç M . Íóæíî ïðî-âåðèòü óñëîâèå9 2 [0; 1) : 8 x; y 2 M =) (Ax; Ay) 6 (x; y):4(a) Ëåãêî ïðèâåñòè êîíòðïðèìåð: ïðåîáðàçîâàíèå33A çàäàåòñÿ ìàòðèöåé4 4 :0 0y= 0 0 T èx=3óñëîâèå ñæèìàåìîñòè íå âûïîëíÿåòñÿ: (x; y ) = 1 <2 = (Ax; Ay ).Îíî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ïîñòàíîâêè, íî äëÿ1 1TÏðåäñòàâëÿåòñÿ, ÷òî â ïîñòàíîâêå çàäà÷è äîïóùåíà íåòî÷íîñòü: â äàííîìñëó÷àå íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèå ñæèìàåìîñòè îòîáðàæåíèÿÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî âñå ñòðî÷íûå ñóììû íå ïðåâîñõîäÿò íåêîòîðîãî íàïåðåäçàäàííîãî < 1:nXjaij j 6 < 1; i = 1; : : : ; n:j =1Ðàññòîÿíèå ìåæäó îáðàçàìè â äàííîì ñëó÷àå ðàâíî(Ax; Ay ) = maxinXaij xjj =1(bj nX+ bj )j =1(aij yj + ) = maxinXaijj =1(xjyj :)A ñæàòèå è ñóùåñòâóåòk), ñóììà ìîäóëåé ýëåìåíòîâ êîòîðîé áîëüøå åäèíèöû.y âîçüìåì íóëåâîé ýëåìåíò, à â êà÷åñòâå x âåêòîð,Äîêàæåì íåîáõîäèìîñòü.
Îò ïðîòèâíîãî: ïóñòüñòðîêà (ñ íîìåðîìÒîãäà â êà÷åñòâåðàâíûé ñóììå âñåõ áàçèñíûõ âåêòîðîâ:(x; y ) = 1 < maxinXj =1jaij j = maxiñëåäîâàòåëüíî, îòîáðàæåíèånXj =1jaij (xj yj )j = (Ax; Ay);A íå ÿâëÿåòñÿ ñæàòèåì, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïî-ñûëêå.Òåïåðü ïîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèånXj =1Òîãäà äëÿ ëþáûõjaij j 6 < 1; i = 1; : : : ; n:x; y 2 M(Ax; Ay ) = maxinXaijj =1(xj6 maxinXj =1yj ) 6 maxinXj =1jaij j jxj yj jjaij j (x; y) = (x; y) maxinXj =1jaij j 6 (x; y):Òàêèì îáðàçîì, îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ñæàòèåì ñ êîíñòàíòîé5 = .(b) Ðàññòîÿíèå ìåæäó îáðàçàìè â äàííîì ñëó÷àå ðàâíî(Ax; Ay ) =n XnXaij xji=1 j =1(bj nX+ bj )j =1(aij yj + ) =n XnXaiji=1 j =1(xjyj :)A ñæàòèå è ñóùåñòâóåòk), ñóììà ìîäóëåé ýëåìåíòîâ êîòîðîãî áîëüøå åäèíèöû.
Òîãäà â êà÷åñòâå y âîçüìåì íóëåâîé ýëåìåíò, à â êà÷åñòâå x âåêòîð,ó êîòîðîãî k -ÿ êîîðäèíàòà ðàâíà åäèíèöå, à îñòàëüíûå ðàâíû íóëþ. ÍîÄîêàæåì íåîáõîäèìîñòü. Îò ïðîòèâíîãî: ïóñòüñòîëáåö (ñ íîìåðîìòîãäà(x; y ) = 1 <nXn XnXaiji=1 j =1jaik j =i=1ñëåäîâàòåëüíî, îòîáðàæåíèå(xjyj ) = (Ax; Ay);A íå ÿâëÿåòñÿ ñæàòèåì, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïî-ñûëêå.Òåïåðü ïîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèånXi=1Òîãäà äëÿ ëþáûõ(Ax; Ay ) ==n XnXj =1 i=1jaij j 6 < 1; j = 1; : : : ; n:x; y 2 Mn XnXaiji=1 j =1(xjjaij (xj yj )j =nXj =1yj )6jxjn XnXjaij (xj yj )ji=1 j =1nXyjaiji=1jj j6nXj =1jxj yj j = (x; y):Òàêèì îáðàçîì, îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ñæàòèåì ñ êîíñòàíòîé6. = .[]2] Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå èçìåðèìîå ìíîæåñòâî E íà ïðÿìîé ñ ìåðîé jE j = p > 0ñîäåðæèò èçìåðèìîå ïîäìíîæåñòâî ìåðû q; 0 < q < p.Ðåøåíèå.
Ðàçîáüåì âåùåñòâåííóþ ïðÿìóþ íà ñ÷åòíîå ÷èñëî ïîëóèíòåðâàëîââèäà[n; n + 1) äëÿ êàæäîãî öåëîãî n. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ,6êàæäûé èç íèõ èçìåðèì, è âñå îíè â îáúåäèíåíèè îáðàçóþò âñþ ïðÿìóþ. Òàêêàê ïåðåñå÷åíèå èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ èçìåðèìî, âñå ìíîæåñòâà âèäàAn = [n; n + 1) \ E E8n2Zèçìåðèìû. Òàêæå î÷åâèäíî, ÷òî îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ è â îáúåäèíåíèè äàþòìíîæåñòâîE . Åñëèñðåäè íèõ íàéäóòñÿ õîòÿ áû äâàAmèA` , èìåþùèåíåíó-jAm j = r > 0; jA` j = s > 0, òî ìíîæåñòâî Am áóäåòòàêæå èçìåðèìî è èìåòü ìåðó p 2 [r; ps], íåíóëåâóþ, è ñòðîãî ìåíüøóþ p. Âëåâóþ ìåðó, íàïðèìåð,ïðîòèâíîì ñëó÷àå, åñëè ëèøü îäíî èçAn èìååò ìåðó íå íîëü (âñå Aníå ìîãóòèìåòü ìåðó íîëü, òàê êàê îáúåäèíåíèå ñ÷åòíîãî ÷èñëà ìíîæåñòâ íóëåâîé ìåðû[n; n + 1) = B0.B1 ; B2 .
Åñëè îíè îáàèìååò íóëåâóþ ìåðó), òî ïåðåíåñåì äåéñòâèå íà ïîëóèíòåðâàëÐàçäåëèì åãî ïîïîëàì, ïðè ýòîì ïîëó÷èì äâà ìíîæåñòâàèìåþò ïåðåñå÷åíèå íåíóëåâîé ìåðû ñE , òî âûáðàñûâàÿ îäíî èç íèõ, ïîëó÷àåìïîäìíîæåñòâî ìåíüøåé ïîëîæèòåëüíîé ìåðû. Åñëè æå ëèøü îäíî èìååò íåíóëåâóþ ìåðó, òî ïîäåëèì åãî ïîïîëàì è ïîâòîðèì ðàññóæäåíèÿ. Âàæíî çàìåòèòü,÷òî â ñèëó òîãî, ÷òîEèìååò ïîëîæèòåëüíóþ ìåðó, íåïðåìåííî íàñòóïèò ìî-ìåíò, êîãäà îáà ïîëóèíòåðâàëà ðàçáèåíèÿ áóäóò èìåòü íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ñE , òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ïî ëåììå î âëîæåííûõ îòðåçêàõ, îíî ñîéäåòñÿê òî÷êå, òî åñòü ìíîæåñòâó ìåðû íóëü, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ çàäà÷è.7.[]3] Ïóñòü E èçìåðèìîå íà ñåãìåíòå [0; 1] è äëÿ ëþáîãî èíòåðâàëà èìååòìåñòî íåðàâåíñòâî jE \ j 6 jj; < 1.
Äîêàçàòü, ÷òî jE j = 0.Ðåøåíèå. Ïî îïðåäåëåíèþ èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà8.8 " > 0 9 A : j(E [ A) n (E \ A)j < "(1 ); A ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî.Ìåðà ðàçíîñòè ñ îäíîé ñòîðîíû ðàâíà jE [ AjjE \ Aj > jAj jAj, îòêóäàïîëó÷àåì, ÷òî jAj < ". Ñ äðóãîé ñòîðîíû ìåðà ðàçíîñòè ìîæåò áûòü îöåíåíàñíèçó êàê jE j jAj > jE j ". Îòñþäà âûðàæàåì ìåðó èñõîäíîãî ìíîæåñòâà:jE j < "(1 ) + " = ", ÷òî è îçíà÷àåò, ÷òî jE j = 0.[]1] Ïóñòü A1 è A2 èçìåðèìûå ïîäìíîæåñòâà ñåãìåíòà [0; 1] è jA1j + jA2j > 1.Äîêàçàòü, ÷òî jA1 \ A2 j > 0.Ðåøåíèå. Òàê êàêA1èA2èçìåðèìû, èõ îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå òàêæåèçìåðèìû, íî òîãäà1 > jA1 [ A2 j = jA1 j + jA2 j jA1 \ A2 j > 1 jA1 \ A2 j =) jA1 \ A2j > 0:79.[]2] Ìîæåò ëè îòêðûòîå íåîãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî èìåòü êîíå÷íóþ ìåðó?Ðåøåíèå.
Âîçüìåì âåùåñòâåííóþ ïðÿìóþ. Îíà ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì íåîãðàíè-÷åííûì ìíîæåñòâîì.  êà÷åñòâå ìåðû âîçüìåì âåðîÿòíîñòíóþ, íàïðèìåð, ïëîòíîñòü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìèZ1(E ) = p2 Ea è 2:x a)22 2 dx:(eÊàê èçâåñòíî, èíòåãðàë ïëîòíîñòè ïî âñåé ïðÿìîé ðàâåí åäèíèöû, òàê êàê ñîîòâåòñòâóåò âåðîÿòíîñòè îñóùåñòâëåíèÿ ëþáîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà:+1Z1(R ) = p2 1 ex a)22 2 dx(= 1:Òàêèì, îáðàçîì, îòêðûòîå íåîãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî ìîæåò èìåòü êîíå÷íóþìåðó.10.[]1]Ïóñòü çàìêíóòîå ìíîæåñòâî èìååò êîíå÷íóþ ìåðó.
Ìîæåò ëè îíî áûòüíåîãðàíè÷åííûì?Ðåøåíèå. Âîçüìåì âåùåñòâåííóþ ïðÿìóþ. Îíà ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì íåîãðà-íè÷åííûì ìíîæåñòâîì.  êà÷åñòâå ìåðû âîçüìåì âåðîÿòíîñòíóþ, íàïðèìåð,ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ Êîøè:Z1(E ) =E1 dx:1 + x2Êàê èçâåñòíî, èíòåãðàë ïëîòíîñòè ïî âñåé ïðÿìîé ðàâåí åäèíèöû, òàê êàê ñîîòâåòñòâóåò âåðîÿòíîñòè îñóùåñòâëåíèÿ ëþáîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà:+1Z1(R ) =1 dx = 1:1 + x21Òàêèì, îáðàçîì, îòêðûòîå íåîãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî ìîæåò èìåòü êîíå÷íóþìåðó.11.[]2] Äîêàçàòü, ÷òî íåïðåðûâíûå ôóíêöèè íà [0; 1] ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà îíè ðàâíû.8Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ëþáûå äâå ôóíêöèè (â òîì ÷èñëå è íåïðåðûâíûå)ðàâíû, òî îíè ýêâèâàëåíòíû, òàê êàê îíè ðàçëè÷àþòñÿ íà ïóñòîì ìíîæåñòâå, àf (x); g (x) 2 C [0; 1] ýêâèâàëåíòíûå, è ïóñòü ñóùåñòâóåò òî÷êà x0 : f (x0 ) 6= g (x0 ).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
