Решения задач (2002) (1160024), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Òîãäà â ñèëó ëîêàëüíîãî ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõîíî èìååò ìåðó íóëü. Ïóñòüôóíêöèé ñóùåñòâóåò è îêðåñòíîñòü (èíòåðâàë), íà êîòîðîì ýòè äâå ôóíêöèèðàçëè÷àþòñÿ. Íî òîãäàf (x) íå ìîæåò áûòü ýêâèâàëåíòíîé g (x), òàê êàê èõ çíà-÷åíèÿ ðàçëè÷íû â ýòîé îêðåñòíîñòè, êîòîðàÿ èìååò ïîëîæèòåëüíóþ ìåðó.12.[]2] Äîêàçàòü, ÷òî íåïðåðûâíûå íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå E ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿèçìåðèìûìè.Ðåøåíèå. Ïî êðèòåðèþ èçìåðèìîñòè ôóíêöèé íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ïðîâå-= fx j f (x) > ag. ÏðåäñòàâèìE â âèäå îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâà E1 è E2 , ãäå ìíîæåñòâî E2 òèïà FÆ (ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ), ïðè ýòîì jE2 j = jE j ) jE1 j = 0.
Òàêêàê f (x) íåïðåðûâíà íà E2 , îíà íà íåì èçìåðèìà (âî âñÿêîå çàìêíóòîå ìíîæå-ðèòü èçìåðèìîñòü çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ âèäàEañòâî îíà îòîáðàæàåò çàìêíóòîå, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîîáðàçîìEa áóäåò ÿâëÿòüñÿñ÷åòíîå îáúåäèíåíèå çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ, î÷åâèäíî, èçìåðèìîå). Îñòàëîñü çà-f (x) èçìåðèìà íà âñåì ìíîæåñòâå E , òàê êàê, êàê è ëþáàÿ ôóíêöèÿ,îíà èçìåðèìà íà ìíîæåñòâå E1 ìåðû íîëü.ìåòèòü, ÷òî13.[]2] Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f (x) èìååò ïðîèçâîäíóþ íà ñåãìåíòå [a; b], òî ïðîèçâîä0íàÿ f (x) èçìåðèìà.Ñ÷èòàÿ, ÷òî f (x) ïðîäîëæåíà âïðàâî îò òî÷êè x = b äèôôåðåíöèðó0åìûì îáðàçîì (íàïðèìåð, f (a + ) = f (b) + f (a)), ïîëîæèì 1' (x) = n f x +f (x) :Ðåøåíèå.nÒîãäàf 0 (x)nÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíûõè, ñëåäîâàòåëüíî, èçìåðèìûõ ôóíêöèé:f 0 (x)èçìåðèìîé.14.= nlim' (x), ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ!1 n[]2] Ïðèâåñòè ïðèìåð îãðàíè÷åííîé, èçìåðèìîé ôóíêöèè, íå ýêâèâàëåíòíîé íèêàêîé ôóíêöèè, èíòåãðèðóåìîé ïî Ðèìàíó.9A íà îòðåçêå [0; 1] ñ íàïåðåä çàäàííîé ïîëîæèòåëüíîé ìåðîé > 1.
Ñíà÷àëà óäàëèì èç [0; 1] âñå òî÷êè èíòåðâàëàÐåøåíèå. Ïîñòðîèì ìíîæåñòâî1 1 ; 1 + 1 2 4 2 41 ñ öåíòðîì â òî÷êå 1 . Èç äâóõ îñòàâøèõñÿ îòðåçêîâ 0; 1 1 è22411 , êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò1 1 1 , óäàëèì ñðåäíèå2 èíòåðâà+äëèíó2 41 1 2 1 2 1 , óäàëèì ñðåäíèå èíòåðëû, äëèíà êàæäîãî èç êîòîðûõ ðàâíà4 1 24âàëû, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò äëèíó. Èç âîñüìè32 îñòàâøèõñÿ îòðåçêîâ,1111äëèíà êàæäîãî èç êîòîðûõ ðàâíà8 1 2 1 4 8 , óäàëèì ñðåäíèå èíòåðâàëû, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò äëèíó128n . Ïîñëå n øàãîâ ìåðà óäàëåííûõ11èíòåðâàëîâ áóäåò ðàâíà 2 + 4 + + 2 , è, ñëåäîâàòåëüíî, ìåðà ñîâîêóïäëèíûíîñòè óäàëåííûõ èíòåðâàëîâ ïîñëå áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óäàëåíèéáóäåò ðàâíà.
Ìåðà îñòàâøåãîñÿ ìíîæåñòâà A áóäåò ðàâíà 1 . Îíî ÿâëÿåòñÿñîâåðøåííûì è íèãäå íå ïëîòíûì.Ðàññìîòðèì õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ìíîæåñòâàf (x) =(1;0;A:x 2 A;x 2= A:Îíà îãðàíè÷åíà è èçìåðèìà (òàê êàê ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåéèçìåðèìîãî ìíîæåñòâà). Íî òàê êàê ìíîæåñòâî åå òî÷åê ðàçðûâà åñòüìíîæåñòâàA è ìåðàA ïîëîæèòåëüíà, òî f (x) íå èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó (â ÷àñòè÷íûõñóììàõ ìåðà îòðåçêîâ ðàçáèåíèé, ñîäåðæàùèõ òî÷êè ðàçðûâà, ïîëîæèòåëüíà,ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî äîáèòüñÿ ðàçíûõ çíà÷åíèé âåðõíåé è íèæíåé ñóìì Äàðáó).
Åñëè çíà÷åíèÿ ôóíêöèèf (x) èçìåíèòü íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå ìåðû íîëü,òî ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà âíîâü ïîëó÷åííîé ôóíêöèè òàêæå áóäåò èìåòü ïîëîæèòåëüíóþ ìåðó, ñëåäîâàòåëüíî, îíà ñíîâà íå áóäåò èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó.Ñëåäîâàòåëüíî, íèêàêàÿ ôóíêöèÿ, ýêâèâàëåíòíàÿìàíó (îäíàêî èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó íà15.A).f (x), íå èíòåãðèðóåìà ïî Ðè-[]2] Ïðèâåñòè ïðèìåð íåèçìåðèìîé ôóíêöèè. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî è åãîõàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ èçìåðèìû èëè íå èçìåðèìû îäíîâðåìåííî.[0; 1] îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè: x y, åñëèx y 2 Q .
Ïóñòü A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì (0; 1], ñîäåðæàùèì ïî îäíîìó ýëåìåíòó èç êàæäîãî êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè. Äëÿ r 2 (0; 1] îïðåäåëèì ìíîæåñòâîAr (0; 1], ïîëó÷àþùååñÿ èç A ñäâèãîì íà r ïî ìîäóëþ 1:Ar ([r + A] [ [(r 1) + A]) \ (0; 1]:Ðåøåíèå. Îïðåäåëèì íà îòðåçêå10(0; 1] ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ fAr g, ãäå r 2 Q \ (0; 1].
Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè A èçìåðèìî, òî åãîËåãêî âèäåòü, ÷òî èíòåðâàëìåðà ñîâïàäàåò ñ ìåðîéAròàê êàê èíòåðâàë ÿâëÿåòñÿr. Ìåðà A íå ìîæåò áûòü ðàâíà íóëþ,îáúåäèíåíèåì Ar , à îíî èìååò ìåðó íîëü. Ìåðà Aäëÿ ëþáîãîòàêæå íå ìîæåò áûòü ïîëîæèòåëüíîé, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ìåðà îáúåäèíåíèÿAráåñêîíå÷íà. Ñëåäîâàòåëüíî,A íåèçìåðèìî.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâàêàê åå îáðàç ñîäåðæèò ëèøü äâå òî÷êè:A íåèçìåðèìà, òàê0 è 1. Äîñòàòî÷íî, íàïðèìåð, âçÿòüïðîîáðàç åäèíèöû (ðàâíûé íåèçìåðèìîìó ìíîæåñòâóA), ÷òîáû óáåäèòüñÿ â ååíåèçìåðèìîñòè.Óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî ìíîæåñòâî èçìåðèìî èëè íåèçìåðèìî âìåñòå ñî ñâîåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé, ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî äîïîëíåíèå ìíîæåñòâàèçìåðèìî èëè íåèçìåðèìî îäíîâðåìåííî ñ ñàìèì ìíîæåñòâîì, è òîãî, ÷òî ïðîîáðàçàìè èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ñàìîìíîæåñòâî, åãî äîïîëíåíèå, à òàêæå ïóñòîå ìíîæåñòâî è óíèâåðñóì.16.[]1] Áóäåò ëè èçìåðèìà ôóíêöèÿ f (x) = x(x1 1) íà [0; 1]?hiE x(x1 1) > (â äàëüíåéøåì âåçäå áåðåòñÿ ïåðåñå÷åíèå ýòèõ ìíîæåñòâ ñ îòðåçêîì [0; 1]).
ÂîçìîæíûÐåøåíèå. Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü èçìåðèìîñòü ìíîæåñòâäâà ñëó÷àÿ:(a)6 4.  ýòîìhñëó÷àå1E x(x 1) > i=x:x2î÷åâèäíî, èçìåðèìî, è åãî ìåðà ðàâíà ïðîñòî(b)>4.  ýòîì ñëó÷àå Eh1x(x 1) > iq11 + 4 .p1+24;p1+ 1+ 42,= ?. Ïóñòîå ìíîæåñòâî èçìåðèìî.Òàêèì îáðàçîì, ïðîîáðàçàìè óêàçàííûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿþòñÿ èçìåðèìûå ìíîæåñòâà, ñëåäîâàòåëüíî, ïî èçâåñòíîìó êðèòåðèþ, ýòà ôóíêöèÿ èçìåðèìà.(17.[]2] Áóäåò ëè èçìåðèìà ôóíêöèÿ f (x) = n;1;x = mn 2 Q ; (m; n) = 1;x2R nQ ?Ðåøåíèå.
Îáðàçîì ýòîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷è-ñåë ñ íóëåì. Åñëè â êà÷åñòâå ïîäìíîæåñòâà îáðàçà âçÿòü êàêîå-òî ìíîæåñòâîíàòóðàëüíûõ ÷èñåë, òî åãî ïðîîáðàçîì áóäåò ÿâëÿòüñÿ êàêîå-òî ïîäìíîæåñòâî11ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, èìåþùèõ ìåðó íîëü.  ñèëó ïîëíîòû ìåðû Ëåáåãà ëþáîåòàêîå ïîäìíîæåñòâî èìååò òàêæå íóëåâóþ ìåðó. Åñëè â êà÷åñòâå ïîäìíîæåñòâàîáðàçà âçÿòü òî÷êó0, òî åãî ïðîîáðàçîì áóäåò ÿâëÿòüñÿ âñå ìíîæåñòâî èððà-öèîíàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðîå èçìåðèìî. Åñëè â êà÷åñòâå ïîäìíîæåñòâà îáðàçàâçÿòü òî÷êó íîëü, è âäîáàâîê åùå êàêîå-òî ïîäìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë,òî ïðîîáðàç áóäåò èçìåðèì êàê îáúåäèíåíèå èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà è ìíîæåñòâà ìåðû íîëü.Òàêèì îáðàçîì, ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìîé.18.[]2] ÏóñòüE íåèçìåðèìîå ìíîæåñòâî íà èíòåðâàëå 0; 2(0; x 2 {E; èçìåðèìîé?f (x) =sin x; x 2 E.
Áóäåò ëè ôóíêöèÿÐåøåíèå. Íå áóäåò â ñèëó ñëåäóþùèõ ðàññóæäåíèé: ìíîæåñòâîèçìåðèìûì íà èíòåðâàëåïîëíåíèå; ,02{E íå ÿâëÿåòñÿòàê êàê åñëè îíî áûëî áû èçìåðèìûì, åãî äî-E áûëî áû òàêæå èçìåðèìûì. Òîãäà â êà÷åñòâå ïîäìíîæåñòâà îáðàçàäîñòàòî÷íî âçÿòü òî÷êó íîëü. Îíà ñîñòàâëÿåò èçìåðèìîå ìíîæåñòâî ìåðû íîëü.Åå ïðîîáðàçîì ÿâëÿåòñÿ íåèçìåðèìîå ìíîæåñòâî19.{E .[]2] Ïðèâåñòè ïðèìåð îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè, ðàçðûâíîé â êàæäîé òî÷êå îòðåçêà [a; b] è èíòåãðèðóåìîé ïî Ëåáåãó.
Áóäåò ëè ýòà ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà ïîÐèìàíó?Ðåøåíèå. Ýòî ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ åäèíèöå â êàæäîé àëãåáðàè÷åñêîé òî÷êå îò-ðåçêà[a; b], è ðàâíàÿ íóëþ â êàæäîé òðàíñöåíäåíòíîé òî÷êå ýòîãî æå îòðåçêà.Îíà íå áóäåò èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó, òàê êàê íèæíèå ñóììû Äàðáó áóäóò ðàâíû íóëþ, à âåðõíèå åäèíèöå, íî áóäåò èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó, òàê êàê ÷èñëîàëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë ñ÷åòíî, ñëåäîâàòåëüíî, èõ ìåðà ðàâíà íóëþ, è ôóíêöèÿÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé è èçìåðèìîé.20.[]1] Ïðèâåñòè ïðèìåð ôóíêöèè, èíòåãðèðóåìîé ïî Ëåáåãó íà [0; 1], íî íåîãðàíè÷åííîé íà ëþáîì îòðåçêå [; ] [0; 1].Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Ðèìàíà:f (x) =(n; x = mn 2 Q ; (m; n) = 1;1; x 2 R n Q :12Îíà ýêâèâàëåíòíà òîæäåñòâåííîìó íóëþ, ñëåäîâàòåëüíî, îíà èíòåãðèðóåìà ïîËåáåãó, è èíòåãðàë îò íåå ðàâåí íóëþ.
 òî æå âðåìÿ îíà íåîãðàíè÷åíà, òàêêàê ñðåäè ÷èñåë ëþáîãî îòðåçêà[; ] [0; 1] ñóùåñòâóþò íåñîêðàòèìûå äðîáèñî ñêîëü óãîäíî áîëüøèì çíàìåíàòåëåì.21.[]2] Ïðè êàêèõ è [0; 1]?ôóíêöèÿf (x)= x sin(x ) èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó íàÐåøåíèå. Çàìåòèì äëÿ íà÷àëà, ÷òî ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ âñþäó íåîòðè-öàòåëüíà. Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé:Z10xsin( )dx =xZ+1 +211t sin 1tdtÎòäåëüíî ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ:(a) 6>0.
 ýòîì ñëó÷àå èíòåãðàë Ëåáåãà îòf (x) íà [0 ;1] ñóùåñòâóåò1, òàê êàê ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ 1t +2 sin 1t 6 1t +2 èZ+1 +2 t11ïðè dtt sin 1ñõîäèòñÿ (êàê íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë Ðèìàíà), à, êàê èçâåñòíî, èç àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà Ðèìàíà âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî èíòåãðàëà Ëåáåãà. Îáðàòíî, ïðè61 èíòåãðàëàáñîëþòíî ðàñõîäèòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå èíòåãðàë Ëåáåãà íåñóùåñòâóåò.(b) > 0.  ýòîì ñëó÷àå èíòåãðàë Ëåáåãà îò f (x) íà [0; 1] ñóùåñòâóåò ïðè > 1 èíå ñóùåñòâóåò ïðè 6 1, òàê êàê ïî ïðèçíàêó ñðàâ++2+221íåíèÿ6 1t sin 1t 6 1t ++2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
