Решения задач (2002) (1160024), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Òàêèì îáðàçîì, ïðèt > 1 íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë Ðèìàíà ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, ÷òî âëå÷åò çà ñîáîé ñóùåñòâîâàíèå èíòåãðàëà Ëåáåãà, à ïðè 6 1 íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë Ðèìàíà àáñîëþòíî ðàñõîäèòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë Ëåáåãà íå ñóùåñòâóåò.1322.[]2] Äîêàçàòü, ÷òî åñëè f (x) > 0 íà ìíîæåñòâå E èRC > 0, òî ôóíêöèÿ óäîâëå1òâîðÿåò íåðàâåíñòâó ×åáûøåâà: jE [f (x) > C ]j 6C f (x)dx.EÐåøåíèå.
Äåéñòâèòåëüíî,Zf (x)(dx) =EZE [f (x)>C ]Zf (x)(dx) +E nE [f (x)>C ]Z>23.f (x)(dx)E [f (x)>C ]f (x)(dx) > C jE [f (x) > C ]j :[]1] Ñóùåñòâóåò ëè èíòåãðàë Ëåáåãà îò f (x) = pxp11Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿf (x)xíà[0; 1]?íåîòðèöàòåëüíà è íåïðåðûâíà íà âñåé ñâîåé îáëàñòèîïðåäåëåíèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà íåîáõîäèìîè äîñòàòî÷íî íàëè÷èÿ ñõîäèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëàÐèìàíà:Z10Z112dtpxp1 x = p1 t2 = 2 arcsin t0 = :0dxÒàêèì îáðàçîì, èíòåãðàë Ëåáåãà ñóùåñòâóåò è ðàâåí24..[]1] Áóäåò ëè ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó íà [0; +1), åñëèf (x) =(1x ;0;Ðåøåíèå. Åñëè ñóùåñòâóåò èíòåãðàë îòZ+10f (x)dx =Zx2[0;+1)\{Qx 2 R n Q;x2Q?f (x), òîZ1 dx +xx2[0;+1)\Q0 dx =Z+101 dx;xòàê êàê äîáàâëåíèå èíòåãðàëà ïî ìíîæåñòâó ìåðû íîëü íå ìåíÿåò ôàêòà åãî ñóùåñòâîâàíèÿ, à òàêæå åãî çíà÷åíèÿ.
Òàê êàê ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íåîòðèöàòåëüíà è íåïðåðûâíà, äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà íåîáõîäèìî è14äîñòàòî÷íî íàëè÷èÿ ñõîäèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëàÐèìàíà. Îäíàêî, èçâåñòíî, ÷òî èíòåãðàë Ðèìàíà îò ýòîé ôóíêöèè ðàñõîäèòñÿïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõêàêèõ25.., ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë Ëåáåãà íå ñóùåñòâóåò íè ïðè[]2] Ïðè êàêèõ è ñóùåñòâóåò èíòåãðàë Ëåáåãà íà [0; +1) îò ôóíêöèèf (x) = x ln x?Ðåøåíèå. Òàê êàê ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà, èíòåãðàë Ëåáåãà ñó-ùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë Ðèìàíà ñõîäèòñÿàáñîëþòíî:+1Z x0ln x dx = I < +1:Ïîëüçóÿñü íåîòðèöàòåëüíîñòüþ ïåðâîãî ñîìíîæèòåëÿ, à òàêæå, âûïîëíÿÿ çàìåíó ïåðåìåííîéI=Z10=x = 1t , èìååì:x x dxln+1Z1+ln x(x + xZ+1x1ln x dx2 )dx ==+1Z1Z+11t2 ln t dt +ln x x dx +Z+11Z+11ln x xx ln x dx2 dx = I1 + I2 :Òàê êàê âñå ïîäûíòåãðàëüíûå ôóíêöèè íåïðåðûâíû è íåîòðèöàòåëüíû, äëÿîïðîâåðæåíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿèíòåãðàëîâIäîñòàòî÷íî ïîêàçàòü ðàñõîäèìîñòü îäíîãî èçI1 ; I2 , à äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà íåîá-õîäèìî è äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ñõîäèìîñòü îáîèõ èíòåãðàëîâ.
Ñëåäóåò ðàçëè÷àòü äâà ñëó÷àÿ:(a)(b) < 0.  ýòîì ñëó÷àå ïðè < 1 ðàñõîäèòñÿ I2 , ïðè > 1 ðàñõîäèòñÿI1 .  ñëó÷àå æå = 1 îáà èíòåãðàëà ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà <1. > 0.  ýòîì ñëó÷àå ïðè < 1 ðàñõîäèòñÿ I2 , ïðè > 1 ðàñõîäèòñÿ I1 ,à ïðè =1 ðàñõîäÿòñÿ îáà ýòè èíòåãðàëà.Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàë Ëåáåãà ñóùåñòâóåò ïðèæå ñëó÷àÿõ èíòåãðàë Ëåáåãà íå ñóùåñòâóåò.15=1; < 1, â îñòàëüíûõ26.[]1] Ñóùåñòâóåò ëè èíòåãðàë Ëåáåãà íà [2; +1) îò ôóíêöèè f (x) = x ln1 x ?2Ðåøåíèå. Òàê êàê ôóíêöèÿ ïîëîæèòåëüíà è íåïðåðûâíà íà âñåé îáëàñòè îïðå-äåëåíèÿ, äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ñõîäèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà Ðèìàíà:+1Z2dxx ln2 x=Z12d(ln x)ln2 x+11= ln x 2 = ln2;ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë Ëåáåãà ñóùåñòâóåò è ðàâåí27.ln2.[]1] Ïðèâåñòè ïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñõîäÿùåéñÿ ïî ìåðå íà èçìåðèìîìE , íî íå ñõîäÿùåéñÿ íè â îäíîé òî÷êå ìíîæåñòâà E ?Ðåøåíèå.
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèéâàëå[0; 1):h(ffn(x)g1n=1 íà ïîëóèíòåðb nc2b nc ;x 2 n1+2blog nc ; 1+1+n blognc1;fn (x) =0;log 22log 22èíà÷å.Îíà ïî ìåðå ñõîäèòñÿ ê íóëþ, òàê êàê ìåðà ìíîæåñòâà, ãäåíóëÿ11+blog2 ncñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðènfn (x)òåëüíîñòü íå ñõîäèòñÿ íè â îäíîé òî÷êå, òàê êàê äëÿ ëþáîãîïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòèfnk (x)èfn` (x),îòëè÷íà îò! 1.  òî æå âðåìÿ ýòà ïîñëåäîâàxíàéäóòñÿ äâåîäíà èç êîòîðûõ ñîñòîèò èç åäèíèö, àâòîðàÿ èç íóëåé.28.[]2] Ïîêàçàòü, ÷òî èç ñõîäèìîñòè( ïî÷òè âñþäó íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòè â ñðåäíåì.n; 0 < x < n1 ;Ðàññìîòðåòü ïðèìåð: fn (x) =0; èíà÷å.Ðåøåíèå. Ñõîäèìîñòü ïî÷òè âñþäó î÷åâèäíà: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ, íàêîòîðîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ ìîíîòîííî âîçðàñòàåò è ñòðåìèòñÿ êî âñåé ïðÿìîé.
Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî òî÷åê, íà êîòîðîì ôóíêöèÿ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ( 1; 0] [ n1 ; +1 ìîíîòîííî çàïîëíÿåò âñþïðÿìóþ, çà èñêëþ÷åíèåì ìíîæåñòâà ìåðû íîëü (îäíîé òî÷êè). Ïî îïðåäåëåíèþýòî îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü ïî÷òè âñþäó.16 òî æå âðåìÿ ñõîäèìîñòè â ñðåäíåì íåò:Z1(f (x)fn (x))2 dx =R29.Zn0f 2 (x)dx =1 n2 = n ! +1:n[]2] Ïîêàçàòü, ÷òî èç ñõîäèìîñòè â ñðåäíåì íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòè ïî÷òè âñþäó.kkÏðèìåð: äëÿ ëþáîãî n = 2 + m, ãäå 0 6 m < 2 îïðåäåëèìfn (x) =(1;0;6 x 6 m2+1k ;m+1mx 2= 2k ; 2k :m2kÐåøåíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî çäåñü ñõîäèìîñòü ïî÷òè âñþäó íå èìååò ìåñòà, òàêêàêfn (x)[0; 1], òî åñòü íà ìíîæåñòâåíå ñõîäèòñÿ íè â îäíîé òî÷êå îòðåçêàïîëîæèòåëüíîé ìåðû.
Îäíàêî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ â ñðåäíåì ê íóëþ,òàê êàêZR30.m+1fn2 (x)dx =Z2km2k1 dx = 21k = blog1 nc2! 0:n!1[]3] Ïîêàçàòü, ÷òî èç ñõîäèìîñòè ïî ìåðå íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòè ïî÷òè âñþäó.Ðàññìîòðåòü ïðèìåð çàäà÷è 29.Ðåøåíèå. Ñõîäèìîñòü ïî ìåðå ê íóëþ ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî8 0 < Æ < 1 =) fx : jfn(x) > Æjg = 21k 6 n2! 0:n!1= 2k + bx0 2k c, ãäå x0 ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà [0; 1]; k 2 N . Òîãäà ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî 8k ) fnk (x0 ) = 1, àfnk +1 (x0 ) = 0. Òàê êàê nk áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, à x0 ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà [0; 1], ïîëó÷àåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) íå ñõîäèòñÿ íè âîäíîé òî÷êå èç [0; 1], è, î÷åâèäíî, íå ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó.Òåïåðü îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü17nk31.[]3] Ïîêàçàòü, ÷òî èç ñõîäèìîñòèkÏðèìåð: ïðè n = 2 + mfn (x) =(ïî ìåðå íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòè â ñðåäíåì.2k ;0;6 x 6 m2+1k ;mm+1x 2= 2k ; 2k :m2kÐåøåíèå.
Ñõîäèìîñòü ïî ìåðå ê íóëþ ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî8 0 < Æ < 1 =) fx : jfn(x) > Æjg = 21k 6 n2! 0:n!1Òåì íå ìåíåå,Zm+1jfn(x)j2 =RZ2k22k dx = 21k 22k = 2k = 2blog nc2mk! +1;n!12òî åñòü ñõîäèìîñòè â ñðåäíåì íåò.32.[]3] Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ìåðà ìíîæåñòâà E áåñêîíå÷íà, òî( èç ñõîäèìîñòè ïî÷òè1; n 6 x 6 n + 1;âñþäó íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ïî ìåðå. Ïðèìåð: fn (x) =0; èíà÷å.Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî8 x0 2 R ) 9 N 2 N : fn(x0 ) = 0; 8n > N;òî åñòü;lim jfn(x0 )j = 0;n!1èíûìè ñëîâàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ, íà êîòîðûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüôóíêöèé îñòàåòñÿ íóëåì, ìîíîòîííî âîçðàñòàåò è ïîêðûâàåò âñþ ïðÿìóþ.
Òåìíå ìåíåå,8 0 < Æ < 1 ) nlimfx : jfn (x)j > Æ g = nlimf[n; n + 1]g = 1 6= 0;!1!1ñëåäîâàòåëüíî, ñõîäèìîñòè ïî ìåðå íåò.33.[]3] Ïîêàçàòü,( ÷òî èç ñõîäèìîñòèâ L1 [0; 1] íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòè â L2 [0; 1]. Ïðè1 1 n ; x 2 n; n 1 ;ìåð: f (x) =0; x 2= 1 ; 1 :32n n118Ðåøåíèå. Ñõîäèìîñòü âL1 [0; 1]ê íóëþ ïî îïðåäåëåíèþ ïðèñóòñòâóåò ïî ïðè-÷èíå ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà ËåáåãàZ10Ñõîäèìîñòè âáåñêîíå÷åí:jfn(x)j dx =11n32dx = n ( n3211n) =11nL2 [0; 1]Z1034.Znpnn1! 0:n!1íåò ïî ïðè÷èíå òîãî, ÷òî ñëåäóþùèé èíòåãðàë Ëåáåãàjfn(x)j dx =Zn11n3 dx =1nn3n(n1)! +1:n!1[]3] Äîêàçàòü ïîëíîòó ïðîñòðàíñòâà C [0; 1].Ìåòðèêà â ïðîñòðàíñòâå C [0; 1] îïðåäåëÿåòñÿ êàê(x(t); y (t)) = max jx(t) y (t)j :t2[0;1]Ðåøåíèå.Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ôóíäàìåíòàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü(xm ; xn )! 0:fxn (t)g1n=0,m;n!1Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî8 " > 0 9 N 2 N : 8 m; n > N; 8 t0 2 [0; 1] ) jxm (t0 ) xn (t0)j < ":Èç ýòîãî ñëåäóåò ôóíäàìåíòàëüíîñòü, à, ñëåäîâàòåëüíî, è ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòèxn (t0 ).
Ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó ïðè m ! 1, ïîëó÷èì, ÷òî8 n > N 8 t0 2 [0; 1] ) jxn(t0 ) x0 (t0)j 6 ";ãäåx0 (t) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî(xn ; x0 ) n!1! 0:19x0 (t) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå t è òàêîåÆ , ÷òî t + Æ 2 [0; 1]. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå " > 0. ÒîãäàÄîêàæåì, ÷òîjx0 (t + Æ) x0(t)j = jx0 (t + Æ) xn(t + Æ) + xn(t + Æ) xn(t) + xn(t) x0 (t))j6 jx0 (t + Æ) xn(t + Æ)j + jxn(t + Æ) xn(t)j + jxn(t) x0 (t)jn, ÷òî (xn ; x0 ) <"32" + jx (t + Æ) x (t)jn3 n"áåðåì Æ : jxn (t + Æ )xn (t)j < îíî ñóùåñòâóåò èç íåïðåðûâíîñòè xn (t)3áåðåì òàêîå< <":Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíî, ÷òî8 " 9 Æ : jx0 (t) x0 (t + Æ)j < ";ñëåäîâàòåëüíî,x0 (t) íåïðåðûâíà.Ïîêàçàíî, ÷òî ëþáàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçòàêæå ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè.
Ñëåäîâàòåëüíî,35.C [0; 1] ñõîäèòñÿC [0; 1] ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî.[]2] Áóäåò ëè ïîëíûì ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ íà ñåãìåíòå [0; 1], åñëè ìåòðèêàââîäèòñÿ ïî ôîðìóëå (x; y ) = max jx(t)y (t)j.06t61Ðåøåíèå. Äîêàæåì, ÷òî îíî íåïîëíî. Âîçüìåì ôóíäàìåíòàëüíóþ ïîñëåäîâà-òåëüíîñòüfun(x)g1n=0 : un(x) =ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå[0; 1],n kPx .k!k=0Èçâåñòíî, ÷òî äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿñëåäîâàòåëüíî, ïî êðèòåðèþ Êîøè ñõîäèìîñòèôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åãî ÷àñòè÷íûõ ñóììôóíäàìåíòàëüíà.un ñõîäèòñÿ ê ex , êîòîðàÿ íå ïðåäñòàâèìà ìíîãî÷ëåíîì P (x).Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòüex= P (x) =X̀k=0akxk=)1Xk=0bk xk = 0 =) 8 m > `1 = 0;m!÷òî íåâåðíî.
Òàêèì îáðàçîì, ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîæåò ñõîäèòüñÿ ê ýëåìåíòó íå èç ýòîãî ïðîñòðàíñòâà, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î åãî íåïîëíîòå.2036.[]2] Äîêàçàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî `2 ñåïàðàáåëüíî.Ðåøåíèå. Ïîñòðîèì â`2 âñþäó ïëîòíîå ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî, òåì ñàìûì ïî îïðå-äåëåíèþ äîêàæåì åãî ñåïàðàáåëüíîñòü.ÏóñòüL ìíîæåñòâî âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, â êàæäîé èç êîòîðûõ âñå ÷ëå-íû ðàöèîíàëüíû, è ëèøü êîíå÷íîå (ñâîå äëÿ êàæäîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè) ÷èñëî÷ëåíîâ îòëè÷íî îò íóëÿ.
Îíî ñ÷åòíîå, òàê êàê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñ÷åòíîå ÷èñëîìíîæåñòâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ó êîòîðûõ íå áîëåå, ÷åì êîíå÷íîå ÷èñëî ïåðâûõ÷ëåíîâ ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, à âñå îñòàëüíûå íóëè. Ýòè ìíîæåñòâà ïðîñòîn-ÿ (äåêàðòîâà) ñòåïåíü ìíîæåñòâà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðîå ñ÷åòíî, àñëåäîâàòåëüíî, è òàêèõ ìíîæåñòâ ñ÷åòíîå ÷èñëî. Ïîñêîëüêó îáúåäèíåíèå ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ ñ÷åòíî,Lâñþäó ïëîòíîå. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüçàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå1Xk=1" > 0:jxk j2 < +1 =) 9 N2N :Ln=1 2 `2 è ñ÷åòíîå. Äîêàæåì, ÷òî1Xfxng12k=N +1jxk j2 < "2 :Òàê êàê ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë âñþäó ïëîòíî íà âåùåñòâåííîé îñè,äëÿ êàæäîãîxk ; k = 1; Níàéäåòñÿ ñâîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëîqkòàêîå, ÷òîjxk qk j < p " ; k = 1; N:2NÐàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòüfqng1n=1 2 L, ÷ëåíû êîòîðîé ïðè n > N + 1ðàâíû íóëþ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
