Решения задач (2002) (1160024), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Ñóùåñòâóåò) jx(t)j 6 m. Íî òîãäàjAx(t)j 6 jx(0)j + t jx(1)j 6 mt + m 6 2m; ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîå. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå8 x 2 M; 8 Æ : t; t + Æ 2 [0; 1]jAx(t + Æ) Ax(t)j = j(t + Æ)x(1) tx(1)j = jx(1)j Æ 6 mÆ:" > 0.Æ = m" , ïîëó÷èì îïðåäåëåíèå ðàâíîñòåïåííîé íåïðåðûâíîñòè äëÿ âñåõx 2 M . Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî ïåðåâîäèòñÿîïåðàòîðîì A â ïðåäêîìïàêòíîå, ñëåäîâàòåëüíî, A êîìïàêòåí.Âçÿâ52.[]3]  ïðîñòðàíñòâå `2 çàäàí îïåðàòîð A: x xxA(x1 ; x2 ; : : : ; xn ; : : : ) = c; 1 ; 2 ; : : : ; n ; : : : :1 2nÄîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð A êîìïàêòåí è íàéòè åãî ñïåêòð.Ðåøåíèå.

Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî â`2 . Îíî ñîäåð-a, êîòîðûé ïåðåâîäèòñÿ ýòèì îïåðàòîðîì âA : x1 = c; jx2 j 6 a; jx3 j 6 a2 ; : : : ; jxn j 6 a nm1 : : : äëÿ ëþáîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè (x1 ; : : : ; xn ; : : : ) èç øàðà. Èçâåñòíî, ÷òî ïîëó÷åííîå ìíîæå-æèòñÿ â íåêîòîðîì øàðå ðàäèóñàïàðàëëåëåïèïåäñòâî âïîëíå îãðàíè÷åííî, à, ñëåäîâàòåëüíî, è ïðåäêîìïàêòíî.

Ñëåäîâàòåëüíî,A êîìïàêòåí.29Íàéäåì ñïåêòðA. Ñèñòåìà (1) â äàííîì ñëó÷àå ïðèìåò âèä8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:x1 = c;x2 = x1 ;x2x3 =2;:::::::::::xn 1xn =;n 1:::::::::::Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ:(a)c= 0. Òîãäà ïîëó÷àåì, ÷òî x1 = 0 = 0;x2= x1 = 0;: : :,òî åñòüðåøåíèåì áóäåò ëèøü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íóëåé.(b)c 6= 0. Òîãäà 8 6= 0 ñóùåñòâóþò íåíóëåâûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1):3 4n2c; c; c; c; : : : ;c; : : : :2 3n 1Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî ðåøåíèÿ.Òàêèì îáðàçîì, ïðè53.c = 0 ñïåêòð ?, à ïðè c 6= 0 ñïåêòð R n f0g.[]3] Ïðèâåñòè ïðèìåðû ëèíåéíûõ, íî íå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèîíàëîâ.Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî L2 [0; 1].

Îïðåäåëèì ôóíêöèîíàë f (x(t)) =x(1). Î÷åâèäíî, îí ëèíåéíûé. Òåì íå ìåíåå, îí íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì, òàêêàê åäèíè÷íîìó øàðó â L2 [0; 1] ïðèíàäëåæèò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé(pn; t 2 1 n1 ; 1 ;xn (t) =0; èíà÷å.Ðåøåíèå.Î÷åâèäíî,Z10x2n (t)dt 6 18n;pn íå îãðàíè÷åí íà åäèíè÷íîì øàðå, ñëåäîâàòåëüíî, îíà ôóíêöèîíàë f (xn ) =íå íåïðåðûâåí.30.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)