Решения задач (2002) (1160024), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Òîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäóvu 1uXtk=1jxkqk j2 =vu NuXtk=1jxkÒàêèì îáðàçîì, çàìûêàíèå âñþäó ïëîòíîå è37.qk j2 +x è q ðàâíî1Xk=N +1jxk j2 <s2" 2p N + "22N= ":L ñîâïàäàåò ñî âñåì `2 , òî åñòü ïî îïðåäåëåíèþ, L`2 ñåïàðàáåëüíîå.[]3] Ïóñòü A êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå X . Äîêàçàòü,÷òî äëÿ ëþáîãî x 2 X íàéäåòñÿ òî÷êà y 2 A òàêàÿ, ÷òî (x; A) = kxy k.Îïðåäåëèì ôóíêöèîíàë f (y ) = kxy k. Èç íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îí íåïðåðûâåí.
Î÷åâèäíî, f (y ) > 0. Òîãäà ó íåãî åñòüÐåøåíèå.òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü, ðàâíàÿm. Òîãäà, èç îïðåäåëåíèÿ òî÷íîé íèæíåé ãðàíè,21f (xk ) ! m; xk 2 A. Òàê êàê A êîìïàêò, òî ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü xkn ! y 2 A. Èç íåïðåðûâíîñòèôóíêöèîíàëà ñëåäóåò, ÷òî f (xkn ) ! f (y ). Òàê êàê lim f (xkn ) = lim f (xk ), òîn!1n!1f (y ) = M . Òàêèì îáðàçîì,ñóùåñòâóåò óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü9 y : kx yk = zinfkx zk = (x; A)2A38.[]3] Åñëè íà ìåòðè÷åñêîì êîìïàêòå (Ax; Ay) < (x; y) äëÿ ëþáûõ x; y, ïðèíàäëåæàùèõ êîìïàêòó, òî îïåðàòîðAèìååò åäèíñòâåííóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó.Ñóùåñòâåííî ëè óñëîâèå êîìïàêòíîñòè?Ðåøåíèå. Óñëîâèå ñóùåñòâåííî.
Ïðèâåäåì ïðèìåð: èíòåðâàëâèäíî, íå êîìïàêò. ÎïåðàòîðAîïðåäåëèì òàê:Axìàþùèé è èìååò åäèíñòâåííóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó39.=x0x.2(0; 1) R î÷å-Î÷åâèäíî, îí ñæè-= 0, íî âíå èíòåðâàëà(0; 1).[]3] Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ íà [0; 1] ôóíêöèéR1x(t) òàêèõ, ÷òî jx(0)j 6 K1 ; jx0 (t)j2 dt 6 K2 , ãäå K1 ; K2 > 0 ïîñòîÿííûå,0êîìïàêòíî â ïðîñòðàíñòâå C [0; 1].Ðåøåíèå. Ïî òåîðåìå Àðöåëà íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì åãî êîì-ïàêòíîñòè ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíàÿ îãðàíè÷åííîñòü è ðàâíîñòåïåííàÿ íåïðåðûâíîñòü.
Ïåðâîå ïîêàçàòü äîñòàòî÷íî ïðîñòî:xjx(t)j = (0) +Zt0x0 (t)dtZ16 jx(0)j + jx0(t)j dt06 K1 +Z1 0x01(t)2 dt + Z 1 dt 6 K + K2 + 1 :1 22220Ðàâíîñòåïåííóþ íåïðåðûâíîñòü ëåãêî óñòàíîâèòü ïðè ïîìîùè èíòåãðàëüíîãî22íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà:jx(t1 ) x(t2 )j =Zt2 x0t1dtZt2(t) 6 jx0 (t)j dt 6t160 t 1 12 0 tZ2Z2@ dtA @0 t 11 0 12Z2Z@ dtA @0t1t11 21jx0 (t)j2 dtAt11 12ppjx0 (t)j2 dtA 6 jt2 t1 j K2:" > 0 äîñòàòî÷íî âçÿòü Æ < K" , ÷òîáû äëÿ ëþáîéôóíêöèè èç äàííîãî ìíîæåñòâà è äëÿ ëþáûõ t1 ; t2 îòñòîÿùèõ äðóã îò äðóãà íàðàññòîÿíèè, ìåíüøåì ÷åì Æ , ðàññòîÿíèå ìåæäó îáðàçàìè t1 è t2 áóäåò ìåíüøå,÷åì ".2Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîãî40.2[]3] Áóäåò ëè êîìïàêòîì ìíîæåñòâî âñåõ ñòåïåíåé xn; n = 1; 2; : : : â ïðîñòðàíñòâå C [0; 1]?Ðåøåíèå. Íå áóäåò â ñèëó ñëåäóþùèõ ðàññóæäåíèé: âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ïî-fxmk g1m=1ñëåäîâàòåëüíîñòüèç ýòîãî ìíîæåñòâà.
Åñëè ýòî êîìïàêò, òî èç íååìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüsup jxmk`x2[0;1]îäíàêîsup jx2[0;1]41.xmk`xn0 mk`j > 12xn0xmk`P n!x , òî åñòü0j `!1! 0; n0 n0 `!112! 216= 0:[]3] Äîêàçàòü, ÷òî íå âñÿêîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå âïîëíå îãðàíè÷åíî.Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâîãäà åäèíè÷íàÿ ñôåðà`2 ñ ìåòðèêîé (x; y ) =s1P(xkk=1S , à èìåííî, âñå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âèäàe1 = (1; 0; : : : ; 0; : : : ); e2 = (0; 1; : : : ; 0; : : : ); : : :23yk )2 .
Òî-pp(en ; em ) = 2 8 n 6= m. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè " < 22 åãîíåëüçÿ ïîêðûòü êîíå÷íîé "-ñåòüþ (òàê êàê êàæäûé åå ýëåìåíò áóäåò áëèçîêòîëüêî ê îäíîìó ýëåìåíòó èç S .ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îãðàíè÷åííîå, íî íå âïîëíå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî. Ýòîñëåäóåò èç òîãî, ÷òî42.[]3] Äîêàçàòü, ÷òî â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå âñÿêîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíî.Ðåøåíèå.
ÏóñòüM Rn îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëü-[M ]. Òîãäà ïî òåîðåìå Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà (âåðíîé äëÿ êîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ) èç íåå ìîæíî âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ýòà ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê ýëåìåíòó èç [M ],òàê êàê [M ] çàìêíóòî. Ñëåäîâàòåëüíî, [M ] êîìïàêò, à M îòíîñèòåëüíîíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âêîìïàêòíî.43.[]3; ]2] Äîêàçàòü, ÷òî ñëåäóþùèå ôóíêöèîíàëû â ïðîñòðàíñòâå C [ 1; 1] ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè è íåïðåðûâíûìè è íàéòè èõ íîðìû:(a)(b)(c)f (x) = 13 [x( 1) + x(1)];R0R1f (x) = x(t)dtx(t)dt;10R1f (x) = tx(t)dt.1Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî âñå ôóíêöèîíàëû ëèíåéíû. Ýòî ñëåäóåò èç ëèíåéíîñòèèíòåãðàëû è ñóììû.
Ñîãëàñíî êðèòåðèþ íåïðåðûâíîñòè ëèíåéíûé ôóíêöèîíàëíåïðåðûâåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî çíà÷åíèÿ íà åäèíè÷íîé ñôåðå îãðàíè÷åíû â ñîâîêóïíîñòè. Òàê êàêkf k = sup jf (x)j, áóäåì èñêàòü ýòó òî÷íóþkxk61âåðõíþþ ãðàíü èç åå ñóùåñòâîâàíèÿ áóäåò ñëåäîâàòü íåïðåðûâíîñòü.(a)(b)jf (x)j = 13 jx( 1) + x(1)j 6 13 jx( 1)j + 31 jx(1)j 6 23 ; 8 x 2 S .
Êðîìå òîãî,2ïðè x(t) = jtj ýòà âåðõíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, kf k = .3R0R1jf (x)j 6 jx(t)j dt + jx(t)j dt 6 2; 8 x 2 S . Êðîìå òîãî, ïðè x(t) = sgn t10ýòà âåðõíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, kf k = 2.24(c)44.R1R1jf (x)j 6 jtj jx(t)j dt 6 jtj dt = 1; 8 x 2 S . Êðîìå òîãî, ïðè x(t) = 1 ýòà11âåðõíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, kf k = 1.[]3] Ïóñòü X ìíîæåñòâî ôóíêöèé f (x), îïðåäåëåííûõ íà âñåé âåùåñòâåííîéïðÿìîé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ðàâíà íóëþ âíå íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî èíòåðâàëà.Ââåäåì íîðìó, ïîëàãàÿ kf k = max jf (x)j. Áóäåò ëè ïðîñòðàíñòâî áàíàõîâûì?xÐåøåíèå. Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüäåëåííóþ ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó:fn (x) =Òîãäàe x ; x 2 [0; n];0; x 2= [0; n]:kfm fnk = maxjfm (x) fn(x)j = max(e m; e n)xm;nòî æå âðåìÿ, ÷òîfn ! fÒàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâî45.(Xffn(x)g1n=1, îïðå-(= e0;x;! 0.
Î÷åâèäíî âm;n!1x > 0;2= X:x<0íåïîëíî, à, ñëåäîâàòåëüíî, è íå áàíàõîâî.[]3] ßâëÿåòñÿ ëè ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõíà îòðåçêå[0; 1] ôóíêöèé ãèëü-áåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì, åñëè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå çàäàåòñÿ ñëåäóþùèìîáðàçîì:1(f; g) = R f (x) g(x)dx?0Ðåøåíèå. Ïðîñòðàíñòâî, î÷åâèäíî, ëèíåéíîå. Äëÿ ãèëüáåðòîâîñòè íåîáõîäèìîïðîâåðèòü àêñèîìû ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ:(a)(f; g) = (g; f ) î÷åâèäíî;(b) ëèíåéíîñòü âûòåêàåò èç ëèíåéíîñòè èíòåãðàëà Ðèìàíà;(c)(f; f ) > 0 âûòåêàåò èç ñâîéñòâà èíòåãðàëà Ðèìàíà, ÷òî èíòåãðàë îò íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè íåîòðèöàòåëåí.(d)1(f; f ) = 0 , R f 2(x)dx = 0 , f 2(x) 0 , f (x) 0; òàê êàê f (x) 2 C [0; 1].02546.[]3] Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xnñëàáî ñõîäèòñÿ ê x è kxn k ! kxk (x ! 1), òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ñõîäèòñÿñèëüíî.Ðåøåíèå.kxn xk2 = (xn x; xn x) = (xn; xn x) (x; xn x)= (xn x; xn ) (xn x; x) = (xn ; xn) (x; xn) (xn; x) + (x; x)= (xn ; xn) (xn ; x) (x; xn) + (x; x):Âîçüìåì f1 (y ) = (x; y ); f2 (y ) = (y; x).
Îíè, î÷åâèäíî, ëèíåéíû è íåïðåðûâíû.Òîãäà èç ñëàáîé ñõîäèìîñòè xn ê x ñëåäóåò, ÷òî f1 (xn ) ! f1 (x); f2 (xn ) ! f2 (x).88< kxn k ! kxk ;< (xn ; xn ) ! (x; x);f1 (xn ) ! f1 (x); ()(x; xn ) ! (x; x);::f2 (xn ) ! f2 (x)(xn ; x) ! (x; x)2=) kxn xk = (xn; xn ) (xn ; x) (x; xn ) + (x; x) n!1! 0;÷òî è îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü ïî íîðìå, òî åñòü ñèëüíóþ ñõîäèìîñòü.47.[]3] Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîé ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë â ãèëüáåðòîâîìïðîñòðàíñòâåHäîñòèãàåò íîðìû íà çàìêíóòîì åäèíè÷íîì øàðå.kf k = sup jf (x)j = M .
Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåékxk61ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fxk g, ÷òî f (xk ) % M . Òàê êàêÐåøåíèå. Ïóñòüãðàíè,xkm ,x0 åäèíè÷íîãî øàðà. Î÷åâèäíî, jf (x0 )j > jf (xkm )j, àåäèíè÷íûé øàð êîìïàêò, ñóùåñòâóåò ñõîäÿùàÿñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüêîòîðàÿ ñòðåìèòñÿ ê òî÷êåòàê êàê ôóíêöèîíàë íåïðåðûâåí, òîjf (x0 )j = mlimjf (xkm )j = klimjf (xk )j = M:!1!1Ñëåäîâàòåëüíî,48.jf (x0)j = kf k.[]3; ]2; ]1; ]4] Íàéòè íîðìó îïåðàòîðà A, äåéñòâóþùåãî â ïðîñòðàíñòâå C [0; 1](èëè â ïðîñòðàíñòâå L2 [0; 1]): Ax = t x(t).26L2 [0; 1]. Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî kxk 6 1 èìååì0 110 11ZZkAk = sup kAxk = sup @ t2x2 (t)dtA 6 @ x2 (t)dtA = kxk 6 1:kxk61kxk6100(p1 ; 1 1Æ 6 t 6 1; 0 < Æ < 1;ÆËåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ x(t) =íîðìà10;06t<1Æssr qR1 1R1 t111tkxk == 1 Æ + Æ3Æ dt = Æ Æ = 1, à íîðìà kAxk =Æ dt =Æ 3 11 Æ1 ÆÆâûáîðîì äîñòàòî÷íî ìàëîãî Æ ìîæåò áûòü ñäåëàíà êàê óãîäíî áëèçêîé ê 1.Òàêèì îáðàçîì, kAk = 1.Ñëó÷àé C [0; 1].Ðåøåíèå.
Ñëó÷àé12122231kAk = sup kAxk = sup sup jt x(t)j 6 1:kxk61Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿkAk = sup kAxk = 1.x(t) kxk61 t2[0;1]1 íîðìà kAxk = sup jtj = 1, ñëåäîâàòåëüíî,t2[0;1]kxk6149.[]3] Îïðåäåëèòü îïåðàòîð A 1 è íîðìû îïåðàòîðîâ A è A 1, åñëè A : `2 ! `2,ãäå A(x1 ; : : : ; xn ; : : : ) = (0; x1 ; : : : ; xn ; : : : ).Î÷åâèäíî, óðàâíåíèå Ax = y , ãäå y = (0; y2 ; y3 ; : : : ) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x = (y2 ; y3 ; : : : ), ñëåäîâàòåëüíî îïåðàòîð A îáðàòèì è ôàêòè÷åñêèÐåøåíèå.óæå îïðåäåëåí âûøå.kAk = sup kAxk = supkxk61A50.1 =kxk61sup Akyk611 y =vu 1uXtsupkyk61jxn 1 j2 = supn=1vu 1uXtn=2kxk61vu 1uXtn=0jxnj2 = sup kxk = 1;kxk61j(A 1 y)nj2 = sup kyk = 1:kyk61[]3] Îïðåäåëèòü ñïåêòð îïåðàòîðà A, äåéñòâóþùåãî â ïðîñòðàíñòâå `2 :x x xxn231A(x1 ; : : : ; xn ; : : : ) =1 ; 2 ; 3 ; :::; n ; ::: :27Ðåøåíèå.
Èùåì òàêèå, ÷òî óðàâíåíèåAx = x(1)èìååò íåíóëåâûå ðåøåíèÿ.  òàêîì ñëó÷àå èìååì ñèñòåìó óðàâíåíèé:8>>><x1 = x1 ;:::::::::xn= xn;>>>: n:::::::::1Î÷åâèäíî, ïîäõîäÿò òîëüêî âèäà ; k 2 N , äëÿ êîòîðûõ ðåøåíèåì (1) áóäåò,kíàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ), ãäå åäèíèöà ñòîèò íà k -îì ìåñòå, à âñå îñòàëüíûå íóëè. Ñëåäîâàòåëüíî, ñïåêòðîì îïåðàòîðà áóäóò ÷èñëàâèäà51.k = k1 ; k 2 N .[]3]  ïðîñòðàíñòâå C [0; 1] çàäàí îïåðàòîð A:(a) Ax(t) = t x(t);Rt(b) Ax(t) =x( )d ;0(c) Ax(t) = x(0) + tx(1).Áóäåò ëè îïåðàòîðA êîìïàêòíûì?Ðåøåíèå.
Êðèòåðèåì êîìïàêòíîñòè îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî ëþáîåîãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî îí ïåðåâîäèò â ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîå è ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíîå.  äàëüíåéøåì âñå äåéñòâèÿ ñ ôóíêöèÿìè ïðîèñõîäÿò íàîòðåçêå[0; 1].= fx(t) : jx(t) 6 1jg îãðàíè÷åíî. Î÷åâèäíî, ìíîæåñòâî Mtn .
Îíè ñîäåðæàòñÿ â A(M ), à òàê êàê, ñîãëàñíîçàäà÷å 40, îáðàçóþò íå ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíîå ìíîæåñòâî, A(M ) íå(a) ÌíîæåñòâîMñîäåðæèò ôóíêöèè âèäàÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì.(b) Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâîm : 8x 2 M) jx(t)j 6 m. Íî òîãäàZtMjAx(t)j 6 jx(t)j dt 6 mt 6 1;028 C [0; 1]. Ñóùåñòâóåòñëåäîâàòåëüíî,fAxg ïðè x 2 M ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî.Äîêàæåì åãî ðàâíîñòåïåííóþ íåïðåðûâíîñòü: çàôèêñèðóåì äëÿ ýòîãî ïðîèçâîëüíîå" > 0. Òîãäà ïðè t; t + 2 [0; 1]jAx(t) Ax(t + )j =Âçÿât+Zxt( )d 6t+Zjx( )j d 6 m:t(") = m" , ïîëó÷èì ðàâíîñòåïåííóþ íåïðåðûâíîñòü îáðàçà. Ñëåäîâà-òåëüíî,A ïåðåâîäèò ëþáîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî â ïðåäêîìïàêòíîå, èîí êîìïàêòåí.(c) Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâîm : 8x 2 Mòî åñòüÒîãäàAMM C [0; 1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
