KT-19 (1159482)
Текст из файла
19-Гамильтонова механика II-1Лекция 19-1Инвариантная форма уравнений Гамильтона.Как выглядят уравнения Гамильтона в произвольных координатах (или в бескоординатнойформе)?Определение. Замкнутая, невырожденная 2-форма ω на многообразии M называется симплектической структурой; пара ( M ,ω ) называется симплектичекским многообразием.Напомним, что невырожденность ω означает, что в любой точке q на M для любого ненулевого касательного вектора u ∈ Tq M , u ≠ 0 найдется касательный вектор v ∈ Tq M такой, чтоω (u, v) ≠ 0 .В силу кососимметричности ω на нечетномерном многообразии любая 2-форма вырождена.Т.е. симплектическое многообразие всегда четномерно.Теорема.
(Дарбу) В окрестности любой точки 2m -мерного симплектического многообразияM симплектическая структура в надлежащих координатах имеет вид ω = dp ∧ dq , где p, q ∈ R m .Такие координаты называются каноническими.Заметим, что ω сопоставляет любому векторному полю v на M дифференциальную 1форму ϕ :2mω : TM → T *M , ∀ векторного поля u , ϕ (u ) = ω (u , v)Это отображение невырождено, т.к. ω невырождена. Пусть J - обратный оператор:J : T *M → TMТогдаϕ (u ) = ω (u, Jϕ ) , ∀uПусть H - функция на симплектическом многообразии M .
Тогда dH - это 1-форма.Определение. Назовем гамильтоновым векторным полем vH с гамильтонианом H на сим-плектическом многообразии ( M ,ω ) векторное поле JdH . Иными словами, vH - такое векторноеполе, что для любого векторного поля u выполненоdH (u ) = ω (u , vH )Задача. Проверить, что в канонических координатах Гамильтоново векторное∂∂− Hq.привычный вид H p∂q∂pполеимеетРешение. (Решить!!!) Указание. Расписать ω в точке. Матрица для ω - это симплектическаяединица.Скобка Пуассона.Пусть ( M ,ω ) - симплектическое многообразие. Для любых двух функций H и F на Mположим{H , F } = ∂ v H F = dF (vH )Этот оператор по двум функциям порождает третью. Он называется скобкой Пуассона.Следующие свойства скобки Пуассона сразу вытекают из определения.1. Функция F является первым интегралом уравнений Гамильтона с гамильтонианом H тогда и только тогда когда {H , F } = 0 .2.
{H , F } = ω (vH , vF )3. Скобка Пуассона {⋅,⋅} билинейна и кососимметрична.4. В канонических координатах ∂ v H = H p ∂H ∂F ∂H ∂F {H , F } = ∑ −pqqp∂∂∂∂j jjjj 5. Тождество Якоби∂∂− Hq, поэтому∂q∂p19-Гамильтонова механика II-2{F ,{G, H }} + {G,{H , F }} + {H ,{F , G}} = 0Проверяется прямыми вычислениями в канонических координатах.Решение. (Решить!!!)Напомним, что Алгеброй Ли называется линейное пространство L с билинейной кососимметрической операцией [⋅,⋅] : L × L → L (коммутатором), удовлетворяющей тождеству Якоби:∀a, b, c ∈ L [a,[b, c]] + [b,[c, a]] + [c,[a, b]] = 0 .Примеры.1. Пространство квадратных матриц порядка n : L(n) - это алгебра Ли относительно коммутатора [ A, B ] = AB − BA .2.
Пространство C ∞ векторных полей на многообразии – алгебра Ли относительно коммутатора векторных полей [u , v] ↔ [∂ u , ∂ v ] = ∂ u ∂ v − ∂ v ∂ u . Здесь для поля v мы приняли обозначенияv ↔ ∂v = ∑ v j∂.∂z j3. Следствие. Пространство C ∞ функций на симплектическом многообразии является алгеброй Ли относительно скобки Пуассона {⋅,⋅} .Теорема.
[vF , vG ] = v[ F , G ] ., т.е. гамильтоново поле коммутатора двух функций равно коммутатору гамильтоновых полей этих функций.Доказательство. Из тождества Якоби получаем∂ v[ F ,G ] f = {{F , G}, f } = −{{G, f }, F } − {{ f , F }, G} == {F ,{G, f }} − {G{F , f }} = ∂ v F {G, f } − ∂ vG {F , f } == ∂ v F {G, f } − ∂ vG {F , f } = ∂ v F ∂ vG f − ∂ vG ∂ v H f == ∂ v F ∂ vG f − ∂ vG ∂ v H f = (∂ v F ∂ vG − ∂ vG ∂ v H ) f = [vF , vG ]( f )Доказательство завершено.Теорема. (Пуассон) Пусть F и G - первые интегралы автономной гамильтоновой системы( M ,ω , H ) . Тогда {F , G} тоже первый интеграл.Доказательство. Имеем {H , F } = {H , G} = 0 .
Следовательно, по тождеству Якоби{H ,{F , G}} = 0 . Доказательство завершено.Теорема Лиувилля о вполне интегрируемых системах.Функции F , G , такие, что {F , G} = 0 , называются коммутирующими, или, находящими винволюции.Пусть имеется гамильтонова система ( M ,ω , H ) с m степенями свободы, обладающая mпервыми интегралами F1 , K , Fm , находящимися в инволюции: {F j , Fk } = 0 . Рассмотрим многообразие уровняM f = {z ∈ M : Fj ( z ) = f j = const, j = 1, K , m}Заметим, что, если интегралы функционально независимы в точках M f , то это действительно гладкое многообразие.
Такая система называется вполне интегрируемой.Теорема. (Лиувилль-Арнольд) Пусть на M f функции F j функционально независимы. Тогда1. M f гладкое многообразие, инвариантное относительно действия фазового потока гамильтоновой системы z&H = vH .2. Каждая компактная компонента связности M f диффеоморфна m -мерному тору T m .19-Гамильтонова механика II-33. В некоторых координатах (ϕ1 ,K,ϕ m ) mod 2π на T m уравнения Гамильтона имеют видϕ& = v = v( f ) = const ( f ) .Схема доказательства.1. По теореме о неявной функции M f - гладкое многообразие.2. Векторные поля v j = vF j касаются M f . Действительно, ∂ v j Fk = {F j , Fk } = 0 .3.
Т.к. F j на M f независимы, то и векторные поля v j на M f независимы.4. Векторные поля коммутируют: [v j , vk ] = v[ F j , Fk ] = 0 .5. Остается применить следующий факт из геометрииЛемма. Компактное, связное m -мерное многообразие, на котором имеется m всюду независимых коммутирующих векторных полей диффеоморфно T m . Более того, на нем существуют угловые координаты (ϕ1 ,K,ϕ m ) mod 2π в которых все m векторных полей постоянны (имеют вид< v j , ∂ϕ > , v j = const ∈ R m ).Замечание. ω |M f = 0 . Такие многообразия называются Лагранжевыми. Т.е. M f - лагранжевомногообразие.Доказательство. Действительно, ω (v j , vk ) = {Fj , Fk } = 0 , ∀j.k . При этом v1 ,K, vm - образуют базис в касательном пространстве к M f в любой его точке.
Отсюда сразу следует утверждение.Доказательство завершено.Вопросы к материалу Лекция 19-1.• Инвариантная форма уравнений Гамильтона.• Симплектическое многообразие.• Формулировка теоремы Дарбу.• Гамильтоново векторное поле.• Скобка Пуассона и ее свойства.• Тождество Якоби.• Алгебры Ли. Примеры.• Связь коммутатора функций и гамильтоновых векторных полей.• Теорема Пуассона о первых интегралах.• Теорема Лиувилля о вполне интегрируемых системах.
Формулировка и схема доказательства.• Лагранжевы многообразия.Лекция 19-2Переменные действие-угол.Угловые переменные на торе в теореме Лувилля-Арнольда можно выбрать в целой тороидальной окрестности так, что замена будет канонической. Такие переменные называются переменными действие-угол.(А) Рассмотрим сначала случай системы с одной степенью свободы. Пусть D ⊂ R 2 = {q, p} область. Функция H : D → R - гамильтониан. Рассмотрим гамильтонову систему ( D, dp ∧ dq, H ) .Кривые γ h = {( q, p ) ∈ D : H (q, p ) = h} инвариантны под действием гамильтонова фазового потока.Для простоты будем считать, что γ h (т.е.
имеют только одну связную компоненту).19-Гамильтонова механика II-4Предположим, что для ∀h ∈ (a, b) γ h - замкнутая кривая. Определим переменную “действие” :I=12π∫ pdqγhЕсли γ h ограничивает область Dh ⊂ D , т.е. γ h = ∂Dh , то, по формуле Стокса,I=12π∫ dp ∧ dq =Dhплощадь( Dh )2πИмеем I = I (h) = I ( H (q, p )) .∂I≠ 0 , ∀h ∈ (a, b) , и, что H p = 0 лишь в конечном числе точек на каж∂hдой из кривых γ h , ∀h ∈ (a, b) (впрочем, от последнего предположения можно и избавиться).Построим переменную ϕ канонически сопряженную к I (т.е.
хотим, чтобы (ϕ , I ) являлиськаноническими переменными). Т.е. такую, что замена (q, p ) → (ϕ , I ) - каноническая. Пусть W (q, I )Будем считать, что- соответствующая производящая функция. Тогдаp = Wq (q, I ) , ϕ = WI (q, I )(*)Чтобы найти W , выразим из уравнения I = I ( H (q, p )) переменную p через q и I . Для этого нуж-∂I ∂I ∂H=≠ 0 . Согласно нашим предположениям, это выполнено везде на γ h кроме ко∂p ∂h ∂pнечного числа точек ( h ∈ (a, b) - любое).
Получаем функцию p = f (q, I ) . Точнее, набор функций∂Hf j , определенных там, где≠ 0.∂pно чтобыс-150Функции f j (q.I ) продолжаются по непрерывности в точки, где∂H= 0.∂pИмеем уравнения для W : Wq (q, I ) = f (q, I ) , точнее набор уравнений (W j ) q = f j . Значит,W j - первообразная по q от f j . Функции W j определены с точностью до слагаемых вида c j (I ) .Из (*) ϕ =∂W j∂I, причем c j (I ) следует подобрать так, чтобы функция ϕ была непрерывна∂H= 0 , кроме одной.
Переменная ϕ однозначно определена, если,∂p∂H= 0.например, положить ϕ = α ( I ) на одной из кривых∂pпри переходе через все кривые19-Гамильтонова механика II-5Итак, если мы хотим, чтобы ϕ была непрерывна на γ h она должна быть многозначна. Найдем приращение ϕ при обходе γ h .∆ϕ = ∫ dϕ = ∫ WIq dq =γhγh∂pdq = 2π∂I γ∫h(Б) Аналогично вводятся переменные действие-угол в случае разделения переменных:H = H ( f1 (q1 , p1 ),K, f m (qm , pm ))Пример.H=I=Гармонический осциллятор.p2 1 2 2+ k q , γ h = { p 2 + k 2 q 2 = 2h} - эллипс с полуосями2 212π1∫ kpdq = 2π площадь{ pγ2+ k 2 q 2 ≤ 2h} =h2h и2h.k12h h=π 2h2πkkТ.е.11I = p 2 + kq 2 2kОтсюдаp = ± 2kI − k 2 q 2 =∂W±∂qqW± (q, I ) = ± ∫ 2kI − k 2 s 2 ds + c± ( I )0qϕ=kq∂Wkds=∫+ c±′ ( I ) = arcsin+ c±′2I∂I2kI − k 2 s 20kq 2= sin ϕ2IЗначит, искомая замена координат такаяq=2I2Isin ϕ , p =cos ϕkkДинамика в переменных действие-угол.ВпеременныхдействиеуголI ∈ D ⊂ Rn ,ϕ ∈T n ,гамильтоновасистема(T × D, dI ∧ dϕ , H ( I )) .
Уравнения движенияϕ& = H I = k , I& = 0nВ общем случае траектория (обмотка тора) всюду плотно заполняет тор. Здесь k - это вектор частот.Резонансом называется случай, когда найдется такое целое l ≠ 0, l ∈ Z m , такое, что < l , k >= 0 . Вэтом случае траектория периодическая.Обозначим19-Гамильтонова механика II-6g k = {l ∈ Z m :< l , k >= 0}Это подгруппа в ( Z m , +) . rank g k - минимальное число образующих.(Развить!!!)Вопросы к материалу Лекция 19-2.• Переменные действие-угол.• Переменные действие-угол для систем с одной степенью свободы.• Переменные действие-угол для гармонического осциллятора..
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
