В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Система множеств К(т, о) имеет непустое пересечение. Доказательство. Согласно (4) любое конечное число множеств К (т, о) имеет непустае пересечение. Такая система множеств называется центрированно]1. По известной теореме 1КФ, стр. 99] пересечение центрнрованной системы подмножеств компакта непусто. ° Таким образом, существуют (), Х,)Е й К(, о)= ' ' "(],,7,], ««а =ЯПТ«ПТ,ПХПКП й К(т, о). (6) «е!г», «и ю«а ~ Х,(А,(т, о)+В,(т, оЯ)О ] о (7) для всех т~[]", ] ]1 о 611. Это и есть искомые «универсальные«множители Лагранжа. Действительно, еч неравны нулю одновременно((й, Х«) б Я), удовлетворяют условиям согласования знаков и дополняющей нежесткости ((Х, Х«) Е х), удовлетворяют условиям Л« =О, 1=-0, 1, и Л„, =О ((), Х«)ЕТ«ПТ,ПХ) и, наконец, Б) Вывод принципа максимума.
Подставив (1) и (2) в неравенство (7), преобразуем его к виду Оя~ Х Х;~Ь~, (с, о) — ро,(т)Л~р(т, о)1+ с=а ЛЪ +~ч'. л,— "" а(г„)(лр(, ~=о =1(т, х(т), о) — 1(т, х(т), й(т))— — р(т)(ср(т, х( ), ) — ср(т, х(т), й( ))1= = — Н(с, х(т)„о, р(т))+Н(т, х(с), и(т), р(с)), (8) где р'(т, х, и) = '5", Х,р,(т, х„ и), с=о лг ГИ вЂ” — и(1, .) (10) с=о с=о — решение уравнения Эйлера — Лагранжа (8а) п. 4,2.2, как мы увидим далее, и Н(т, х, и, р)=рср(т, х, и) — 1(т, х, и) (!1) — функция Понтрягина (ср. (7) в п. 4 2 2). Неравенство (8), справедливое при всех т~11„(с( и о~И, равносильно принципу максимума (11) п 4.2.2 Н(т, х(т), й(т), р(т))= снах Н(т, х(т), о, р(с)). (12) В) Вывод условий стационар ности п о х ( ).
Дифференцируя (1О) и учитывая, что ро, (т) удовлет- воряют уравнениям (18) п. 4.2.3, а = — й (1, с) ср„(т), дС2(С т) (см. теорему п. 2.5.4), имеем ж с(р(тИт= Е )с ( — Ро (т)ср,(т)+~ (т))— в=о Ш О$ 4''д» в=о !=о 332 т. е р(:) является решением уравнения Эйлера — Лагранжа (8а) и. 4.2.2. Далее, прямо из (10) 3И Ж Р(1 ),~'У,ро,(1 ),'~, З. ГЗ(1, 1) 1=0 ~=о Р$ дф, д! — — = —, (13) дх» )х„ ' =о поскольку ро,(Г,)=0 в силу (18) п 4.2.3, а я(1, 1)=Е. Здесь, как и в (6) п.
4.2.2, 1(го х„1о х»)= Х ХМ (1о* хо 1~, х,) (14) — терминант, а полученное равенство (13) равносильно первому равенству (9а) из и. 4.2.2 . Наконец, условие Л,,=О, т. е. (10) п, 4.2.4, дает после подстановки значений производных (12) и (1б) п, 4.2.3 т О$ О=Л„,= ~чд Х,Р,„,+ 2; ).,Ч'„,= г=о =о т ~Л = —",»;. ~.,ро, А)+,'», Х.
~Ф .. +Ф., —,'" ~ = ,=о !=о т т ~И = — ~ Л,ро,(1,)+ Х )», Р,„, + ~ Х, Р.„,а (1„~,) = =- — р(г.)+1.„ так что верно и второе условие трансверсальности (9а) п. 4 2.2. Г) Вывод условий стацн опар ности по 1о После подстановки значений производных (10), (11), (14), (15) и. 4.2.3 в условия Ли=Ли=-0 (8) и (9) п. 4.2.4 получаем с учетом обозначений (9) — (11) и уже доказанного равенства (13) ~Л П2 О=Л,= Х ),Рд, + К х,грп = о=о ' ' ,=о П~ О2 = ~Ч; З.,Р,(У,)+~~'. )., ~~„,+~„, д," ~ = =о .=о » 1 =7М+1 .+1.Л(М =7(1») — р (1,) т(1,)+дч = — Н(1,)+Т,, ЗЗЗ О=А„= Х Х,.Ри,+ 2; Х,ГРи,= Сеа ы=в ~П /П =~ Х(1 —,Й(1.)+ри(1.) ср(1.)]+с'.~ ~ ~ф ~.
+Фи, — „1 = а=О с О = — Пг,)+ 2 Х;р (1,) р(1,)+1),+1.,à — 11(1„1.) у(1,)] = = — Р(1.)+р(1.) а(1.)+16=Й(1.)+(еи Этим доказаны обе формулы (12а) п. 4,2.2, Д) Непрерывность функции Й( ). Вместе с управлением й(1) функция. Й(1)=Н(1, х(1), й(1), р(1))= = — )'(1, х(1). и(1))+рЯ)р(1, х(1), й(1)) = = — ~ Ъ4)(1, х(1), й(1))+р(с) ср(1, х(8), й(1)) )=о непрерывна справа. Кроме того, каждая из функций Н(1, х(1), о, р(1)) непрерывна по 1 н, переходя к пределу в неравенстве Н(1, х(1), и, Р(т))(Н(1, х(1), и(1), р(1))=Н" (1) (И) мы получаем Н (т, х (с), о, Р (т)) ~ Ип) Й (1) = Й (т — 0), -0 откуда Й(т) =зпрН(т, х(1), и, р(т)) (Й(т — О).
(16) ЮЕП С другой стороны, Й (т — О) = 1пп Н (1, х (1), и (1), р (1)) = с-о = Н(с, х(т), и(т — О), р(т))= 1пп Н(т, х(т), и, р(т))- ю йи-а) ( Н (т, х (1), й ( с), р (т)) =- Й ( с) в силу того же неравенства (15). Вместе с (16) это означает, что Й(т — 0)=Й(т), т. е. Й(1) непрерывна и слева. ° 4.2.6. Доказательство леммы о пакете иголок. Напомним, что игольчатая вариация х (с; Г„х„а, т, о) оптимальной фазовой траектории х ( ) — это решение задачи Коши х=ср(С, х„и((; сс, т, и)), (1) х(1,) =х„(2) где в свою очередь вариация и(1; а, т, и) оптимального управления и(с) определяется при а,.
) О формулами о„т Е Лс = (тс+ са, тс+ са +ас), й(1), с ( вессс; а= ч~~~ ~ас. с с с=с Доказательство леммы о пакете иголок (лемма п. 4.2.3) удобно разбить на две части. В первой из них, выделенной в отдельное утверждение, мы доказываем равномерную сходимость проварьированных фазовых траекторий к х( ). Существенную роль здесь играет не столько кусочная непрерывность управлений, сколько интегральная сходимость соответствующих правых частей дифференциальной связи (см. ниже формулу (5)).
Чтобы оттенить это, мы распространяем утверждение также и на случай измеримых управлений (определив сначала подходящим образом понятие измеримости в случае, когда управления принимают значения в произвольном топо- логическом пространстве). Вторая часть доказательства леммы о пакете иголок непосредственно связана с кусочной непрерывностью и. опирается, на классйческую теорему о гладкой зависимости решений от начальных условий. О п р е д е л е н и е.
Пусть И вЂ” произвольное топологическое пространство и 1 — отрезок числовой прямой. Отображение ьс 1 11 называется измеримым (в смысле Лебега), если существует конечная или счетная последовательность непересекающихся измеримых подмножеств А. такая, что: а) ограничение и ~ А, продолжается до функции, непрерывной на замыкании А„; б) Г~ 1) А„ имеет лебегову меру нуль. н Ясно, что всякое кусочно-непрерывное отображение измеримо в смысле этого определения (в качестве А„ берем интервалы непрерывности). Почти также очевидно, что в случае, когда П~К'функция, измеримая в смысле етого определения, измерима и в обычном смысле (КФ, гл. ч', й 41.
Действительна, пусть и„( ) — функция, непрерывная на А„, и совпадающая с и( ) на А„. Полагая и„(г)= О вне А„, мы получаем измеримую функцию на К. Характеристическая функция )(л„( ) множества А„также измерима, а поскольку и(Г)=-~Хл„(()и„(1) почти всюду на У, измерима и и(г). Уп раж пенне. Докажите, что если Це- Н' и функция и: у -ь Ц измерима в стандартном левеговон смысле, то опа измерима и в смысле приведенного выше определеаия. Указан не: воспользуйтесь С-свойствоы Лузина (КФ, стр.
291). В формулировке следующей леммы Й вЂ” некоторое каусдорфово топологическое пространство (КФ, стр. 951. Л е м м а 1. Пусть функции р и ер, непрерывны в б х П х: (тз, (т1- К" — решение дифференциального уравнения х=ср(г, х й(т)) (4) и его график Г=((~, х(Е))! (е(Г~~Ет)е:б. Пусть далее б, > О и и„: (Га — б„(а+бе) — П вЂ” семейство измеримых управлений такое, что для всех ( и всех а ~Й значения и„(т) содержания в некотором компакте зье<=П Пусть, наконец, й(Г) =— иа (1) для некоторого а ЕЙ и 7,+з, Ищ ~ !тр(т, х((), и„(()) — юр((, х(т), й(())(В=О. (5) а-~аН вЂ” аь 'Тогда решения Х„((, („хе) задачи Копти х=ер((, х, и„(1)), х((,)=х, при некотором б > О определены на отрезке [та — б, т',— 51 для всех (1„х„а) из некоторой окрестности точки (г'„ х(ге), а) в КхК" ХЙ и пРи ге Г„ха — х(тз),а- а Х,„(1, е„хе)- х(г) равномерно по г ~ (1„1т).
336 Доказательство. Применим к рассматриваемому случаю теорему 2 п. 2.5.5, положив Р„(1, х)=ср(1, х, и„(1)). (6) А) Если А„— те множества, о которых говорится в определении измеримости, примененном к и„( ), то при фнксированном х функции 1» ~р(1, х, и„(1)) непрерывнц на А„, а следовательйо, 1 ~Г„(1, х) — измеримые функции и выполнено предположение А) п. 2.5.1. При фиксированном 1 функции Р„вместе с ~р дифференцируемы по х, так что выполнено и предположение Б) п.
2.5.1. Б) Для любого компакта зь'<:6 функции ~р и ~р, непрерывны на компакте УСхК„а следовательно, и ограничены. Обозначив М= шах 1~р(1, х, и)), М„=- тах!)ср„(1, х, и)р, ~х~', ЖхЖ'. мы видим, что выполняется условие В') теоремы 2 п. 2 5.5 с х(1) =М и й(1) ==М„поскольку по условию и„(1) ЕК,. Условие Г) той же теоремы, совпадает с,(5). Таким образом, к рассматриваемой ситуации применима теорема 2 п. 2.5 5, из которой и вытекает доказы* ваемое утверждение.
Я Доказательство леммы о пакете иголок. А) Проверим выполнение условий предыдущей леммы. Часть из них, относящаяся к ~р и х( ), входит в условия теоремы о принципе максимума. Выше мы уже предположили, что управление й( ° ) продолжено вне отрезка 11„111, так что при 1<(о и при 1) 1, это непрерывная функция. Поэтому мы будем считать далее, что и( ) определена на отрезке Л=(г,— б„ 11+6,), б, ) О, а ее точки разрыва лежат в интервале ((а 11) Пусть Р" < р" ( .
. < р" †э точки, г"" = г, †„ 1"'" = 1, + б,. Функция 1' и(1), Го "(1<1<', ( й (Р'> — 0), 1= (<'>, непрерывна на отрезке 1, = [1о '>, б'~1 и образ М, этого отрезка при непрерывном отображении и,: 1 — 11 компактен в П, поскольку 1,— компакт. В соответствии с фор- ззт мулами (3) значения управлений и(1; а, т, о) лежат в компакте $ .~. 1 уь,= 1) ус,О(о„...,ои). 1=1 Остается проверить условие интегральной скодимос- ти (5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
