В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Элементарная игольчатая вариация управления й (1), или просто чэлементарная иголкаэ, отвечающая паре (т, о), определяется равенствами с начальным условием и (т) =- !р (т, х (т) о) †!р(т (т) и (т)) (4) Следуя п. '2.5.4, мы будем здесь и в остальной части параграфа обозначать через Й(1, т) фундаментальную матрицу решений уравнения (3). Кроме того, для сокращения записи введем специальное обозначение для правой части. равенства (4): Л!р(т, о) = ср (т, х (т), о) †!р (т, х(т), и (т)).
(5) В этих обозначениях у(1)=х„(1; О, т, о)=Я(1, т)Л!р(т, о). (6) В п. !.5.4 мы смогли обойтись рассмотрением одной «иголки». Теперь нам понадобится целый их «накет», поскольку задача стала сложнее, и нам нужно иметь в распоряжении больше свободных параметров. В пакете объединяется любое конечное число иголок с параметрами (то о„с«!), ! = 1... У.
При этом существенна, что некоторые из этих иголок могут различаться только значениями управления о; при одних и тех же т,. Поэтому задавать иголки формулами, вида (1) теперь нельзя: при одинаковых т, разные иголки будут накладываться друг на друга. Чтобы избежать этого, мы сдвинем полу- интервал действия !'-й иголки на величину !а=! ч~~ а» /=! так что теперь это будет Ь!=1т!+и«, т,+!а+а!1 (очевидно, что если а > О и достаточно малы, то Л, не перекрываются). Согласна сделанным в п.
4.2.1 предположениям оптимальное управление й( ) непрерывно слева в точке 1, и справа — в точке !,. Продолжим й( ) вне отрезка 1«„1!1 с сохранением непрерывности (например, положив й(1) = =й(3,) при 1< 1» и и(1)— = й(1,) при 1> 1,) и впредь не будем этого оговаривать, Пусть все с«! > О. Определим игольчатую вариацию управления й( ) формулами и(1;а,т, о)= 324 и Я, 16(1,— 6, 1,+6)', 0 Ьо !=! оо 1 ~ Л!-— — т;+! ~~'., а!, т;+! ~~'~ ау+а! у=! /=! (7) Соответствующее семейство фазовых траекторий х(г1 Г„х„а, т, о) определим как решение задачи Коши х=~р(Г, х, и(/; сь, т, о)), х((,)=к,.
(8) Для краткости далее х,=х(Г,). Лемма о пакете иголок. 1) При достаточно малых а, ) О, 6 > О решение задачи Коши (8) такое, что ) г,— /,) < з„(х,— х,( < е„О <ау < е„(9) определено для /,— 6</ -.(1+6. 2) Если Г,— Г„х,— х, и сст(О, то х(Г; Г„х„а, т, о) — х(Г) равномерно на отрезке [/„г1). 3) Отображение (/о Гь, х„а) ь х(Г,; /„х„сь, с1 о) может быть продолжено до отображения, определенного и непрерывно дифференцируемого в некоторой окрестности точки (Г„ /ь, х„О), и пРи этом дх/д/1=хи(/б Гь* хь О т, о)= = ср(г„х (/1), и (г1)) = ~р (Г,), (10) дх/д/, = хп ( Г,; Г„х„О, т, о)— = — а(г„г,) р(г„~„~(г,)) = — и(г„г,) р(/,), дх/дх,=х„(Г,; /м х„О, т, о)=й(/„Гь), (12) дх/дсьь= хаь (Гх, 'Гь х О, т, о) = = ьг (Г„ /,) Л Р (т, ОЬ), (13) где ь1 (Г, т) — фундаментальная матрица решений системы уравнений в вариациях (3) и /)ир(т, о) определено формулой (5).
Доказательство этой леммы будет приведено в п. 4.2.6. Ясно, что она обеспечивает иам дифференцируемость терминальных членов, входящих в, условия задачи и. 4.2.2. Что же касается интегральных членов, то, как и в п. 1.5.4, мы посвятим им отдельную лемму. Лемма об интегральных функционалах, Пусть функции /;(/, х, и) удовлетворяют тем же условиям, что и в формулировке теоремы п. 4.2.2. Если и(/, я, т, о) определено при а, ) О формулами (7), а х(Г; /„х„сь, г, о) — решение задачи Коши (8), 326 то функции с""; (1„(„,х„а) = = ~ )е (1, х (1; 1„х„а, т, о), и (1; сс, т, о)) й(, 1=0,1, ..., т, могут-быть продолжены до непрерывно дифференцируемых в некоторой окрестности точки (то ~„, х„О) функций и при етом дР,!д1,=Ри,(1„~„, х„О) =~,((о х(1,), й(1,))=~;(1,), (14) д~'ьФ(ь = Ри, ((г гч 'сч О) = = — ~г(~., хы й((ь))+Ры((ь) ЮИ., х„й(гь)) = 6Ю+Ры((ю)Ф((ю) (15) дР„'дхю — — Ры, (1~ (о ~со 4)) = — Ры (1,), (15) дР,Уда„= с ш„( й,; г„х„О) = Л~, (т„, оь)— — ры (тд) Ь% (ть, оь), (! 7) где ры(г) — решение задачи' Коши йрас(т)Мт= — ры(т) <р„(т, х (т), и (т))+ +Ры(т, х(т), и(т))„(18) ры(Ф;) =О для неоднородной линейной системы, сопряженной к системе уравнений в вариациях (3), а Ьгг(т, о) определяется формулой, аналогичной (5).
Доказательство этой леммы приведено в п. 4.2.7. 4.2.4. Редукция к конечномериой задаче. График оптимальной фазовой траектории х(1) лежит в области б и в силу второго утверждения леммы п. 4.2.3. (о пакете иголок) график решения х(1; г„х„а, т, о) задачи Каши (8) того же пункта также лежит в этой области при 1Е'11„1,1, если выполнены неравенства (9) п. 4.2.3 с достаточно малым а,. Значит, четверка (х(; г„хы а, с, о), и(; а, т, о), 1„1,) является управляемым процессом для задачи (1) — (3) и. 4.2.2.
326 Положим ! ~ ((о ~о Хоо а) — ф о(!о Хо ~» Х( ло оо Хоо ~~ то О))' ( ) Ег((л~ "оу х„а)=~ ~,.((, х((; г„хо а то о)~ и(! а т о))о(Г~ ~о (=0,1, ...,и; (2) В силу третьего утверждения леммы о пакете иголок и по теореме о супсрпозицип, функции (1) непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (1„(„ х„О)'. Для функций (2) то же самоа следует из леммы об интегральных функционалах п. 4.2.3, Теперь мы можем рассмотреть конечномерную экстремальную задачу †сужен задачи (1) †(3) п. 4.2.2 на построенное семейство управляемых процессов. ~о((и (о ло а) = х'о(!о (о хо а)+Ч~((о оо, хо, а) !П1, (3) 1, (г„г„х„а) = Р, (1„(„х„а)+Ч', ((„1„х„а) ~~ О, (4) ао.-ьО, й =1, 2, ..., йг. (5) Для этой задачи точка (3„ К„ х„ 0) является локальным решением.
Действительно, если выполнены ограничения (4), то четверка (х(; о„х„а, т, о), и(.; а, т, о), 1„г,) является допустимым управляемым процессом задачи (!) — (3) п, 4.2.2. Если а, в неравенствах (9) п. 4.2.3 достаточно мало, то в силу второго утверждения леммы о пакете. иголок выполняются неравенства (4) п. 4.2.1. Следовательно, верно неравенство (5) и. 4.2.1, откуда 7,(1„(„х„а) = =Го(х(; („х„а, т, о), и(, а, т, о), 1„(,)~ =«Уо(х( ), и ( ) Гм (о) =-Уо((„Го, хо, О), а это и означает, что ((,, („х„О) — локальное решение задачи (3) — (5).
Применяя к задаче (3) — (5) правило множителей Лагранжа из 9 3.2, получаем следующее утверждение. Лемма (правило множителей Лагранжа для вспомогательной конечномерной за- 327 чающие всем возможным парам (т, о), тогда как наш «пакет» содержит любое, но конечное нх число. Положение спасают простые топологические соображения, основанные на компактности. Применяя «лемму о центрированиой системе», мы можем выбрать «универсальные» множители Лагранжа, пригодные для всего множества иголок. А) Существование «универсальных» множителейл ей Л а г р а нж а. Изучим подробнее условия (8) — (13) п. 4 2.4, внеся в них значения производных функций Р, и Ч'„вычисленные при помощи двух лемм п.
4.2.3, и уделяя особое внимание членам, в которые входят параметры иголок (т„, о»). Производные функций Р; даны прямо в' лемме об интегральных функционалах и, обозначив Аг(т, о) =-1;(т, х(т), о) — 1',(т, х(т), й(т))— — рм(т)~«р(т, х(т), о) — ч (т, х(т), й(т)1= =ЬГ(т, о) — рм(т) Ь<р(т, о), мы видим, что г1а» =Ау(т»1 о») а ии в одну из остальных производных параметры иголок ие входят, так что эти производные имеют одно и то же значение для любого «пакета иголок» п. 4.2.3. Аналогично производные функций Ч',(1„(„х„, а) =ф,(1„х„(о х(1„1„х„а, т, о)) вычисляются по теореме о суперпозиции и лемме о пакете иголок, причем от параметров иголок зависят лишь Ч",„.
Если обозначить '8~ (т4 о) Д (Го~ х(Г») (1 х(1~)) 12 (Го т) ~ф(т> х(т), о)— — Ч>(т, х(т), Й(т))) =ф~,Я((о т) Аср(т, о), (2) то Ч'«„=В,(т,, о,), а значения производных Ч'ио Ч',и, Ч«„, одни и те же для любого «пакета иголок». 329 Теперь имеем Л. = Х Л,р,. + Х Лч ° +р,= о=о ' " =е =,У', Л,(А,(т„, и„)+В;(тм и„))+Р». и=о Поскольку, согласно условиям (12) и (11) п. 4.2.4, р„ ~ 0 н Ле„ =-О, должны выполняться неравенства ~ Л,~А,(т,, ие)+В,(т, и,)~=ьО. (3) о=о Рассмотрим теперь в пространстве К'"+'и следующие множества: лз ((Л Ла) ~ Х Л~ 1Ь ю=о К(т, и) =((Л, Ле)( ~~'„, 'Ле(А, (т, и)+В;(т, и))) О), ,=е Т,=((Л, Л,)~Х Л,(Р„, +Ч„,)=О), 1=0, 1, ~=о х=((л, л,)( ~ л,(Р„, +р„,)=о), и, наконец, множество Я, состоящее из тех (Л, Л,), для которых Л,) О, а Л„(=-1, ..., гп, удовлетворяют условиям согласования знаков и дополняющей нежесткости (12) и (13) п.
4.2.4, тождественных условиям (13) и (14) п. 4.2.2. Все этн множества замкнуты, а сфера 5 еще и компактна, как замкнутое ограниченное подмножество конечномерного пространства К'"+'". Условия стациоиарности (8) — (10) п, 4.2.4 соответствуют включениям (Л, Л,) Е Т„Т„Х, условия согласования знаков и дополняющей нежесткости — включению (Л, Л,) Е Я (все эти условия одинаковы для всех пакетов иголок). Зависящие от иголок условия (11) п. 4.2.4 выполняются, когда (Л, Л,)еК(т„, и„), к=1, ..., У.
Наконец, по- ззо скольку множители Лагранжа определены с точностью да пропорциональности н не могут одйовременно обращаться в нуль, их можно пронормировать так, чтобы было (Х, Х,) ~Я. Поэтому утверждение леммы предыдущего пункта означает, что ЯПТ«ПТ,ПХПЕП й К(тю о«)Ф.З' (4) «=! Рассмотрим систему замкнутых подмножеств К(т, о) =ЯйТ,ПТ,йХПЯПК(т, о), т Е )го 1«]~ о 6 ]г~ (5) компактного множества Я. Лемма о центр и ров анной системе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
